本文主要介紹小波分解與重構法、非線性小波變換閾值法、平移不變量小波法以及小波變換模極大值法這4種常用的小波去噪方法。將它們分別用于仿真算例的去噪處理，并對這幾種方法的應用場合、去噪性能、計算速度和影響因素等方面進行比較。

選擇了Matlab軟件中的仿真信號Blocks作為原始信號，信號長度（即采樣點數(shù)）N=2048，如圖1a所示。由于該信號中含有若干不連續(xù)點和奇異點，因此用以下幾種方法對圖1b中疊加了高斯白噪聲的Blocks信號（信噪比為7）進行去噪處理，能夠很清楚地比較出這幾種方法的去噪性能。

圖1 ?原始信號和含噪信號的時域波形

一、小波去噪方法

1、小波分解與重構法去噪

小波分解與重構的快速算法，即Mallet算法。據(jù)這一算法，若fk為信號f（t）的離散采樣數(shù)據(jù)，fk=c0，k，則信號f（t）的正交小波變換分解公式為：

其中，cj，k為尺度系數(shù);dj，k為小波系數(shù);h、g為一對正交鏡像濾波器組（QMF）;j為分解層數(shù);N為離散采樣點數(shù)。

小波重構過程是分解過程的逆運算，相應的重構公式為：

小波的多分辨分析特性能將信號在不同尺度下進行多分辨率的分解，并將交織在一起的各種不同頻率組成的混合信號分解成不同頻段的子信號，因而對信號具有按頻帶處理的能力。應用小波分解與重構的方法去噪具體步驟是：根據(jù)需要，將含有噪聲信號在某一尺度下分解到不同的頻帶內，然后再將噪聲所處的頻帶置零（或直接提取有用信號所在的頻帶），進行小波重構，從而達到去噪的目的。

圖2是用小波分解與重構法進行去噪的結果。采用的小波是近似對稱的Symmlet8小波，小波分解層數(shù)是4，其中圖2a是將圖1b中的含噪信號進行4層小波分解的結果。從中可以看出，信號的能量主要集中于低頻的少數(shù)小波系數(shù)上，而噪聲的能量則分散于整個小波變換域。圖2b是提取圖2a中的前256個小波系數(shù)進行重構，也就是提取尺度4上的低頻系數(shù)和高頻系數(shù)進行重構的結果。

圖2 ?小波分解與重構法去噪

2、非線性小波變換閾值法去噪

非線性小波變換閾值法也稱為“小波收縮”（waveletshrinkage），其去噪方法如下：

假設一個疊加了高斯白噪聲的有限長信號可以表示為

其中，zi是一個標準的高斯白噪聲，即z～N（0，1），R是噪聲級。若要從被噪聲污染的信號yi中恢復出原始信號xi，則Donoho的去噪方法分為以下3個步驟：

（1）計算含噪聲信號的正交小波變換。選擇合適的小波和小波分解層數(shù)j，將含噪信號運用（1）式進行小波分解至j層，得到相應的小波分解系數(shù)。

（2）對分解得到的小波系數(shù)進行閾值處理，其閾值的處理方法有2種：

（3）進行小波逆變換。將經閾值處理過的小波系數(shù)用（2）式重構，得到恢復的原始信號估計值xd。

小波變換具有一種“集中”的能力，它能將信號的能量集中到少數(shù)小波系數(shù)上;而白噪聲在任何正交

基上的變換仍然是白噪聲，并且有著相同的幅度。相對來說，信號的小波系數(shù)值必然大于那些能量分散且幅值較小的噪聲的小波系數(shù)值。選擇一個合適的閾值，對小波系數(shù)進行閾值處理，就可以達到去除噪聲而保留有用信號的目的。該方法能得到原始信號的近似最優(yōu)估計，并且具有非常廣泛的適應性。

圖3和圖4分別是采用Donoho的非線性小波變換閾值法以及平移不變量小波法去噪得到的結果。這2種方法均選用Haar小波，小波分解層數(shù)是5。二者均采用軟閾值，閾值大小t=2log（N），其中N為信號長度。

圖3 ?軟閾值法去噪

圖4 ?平移不變量小波法去噪