本篇文章將開啟一個(gè)全新的綜合性博客系列，探討高頻電磁場的多尺度模擬方法。在首篇文章中，我們將介紹必要的支撐理論和定義。后續(xù)的文章將探討如何使用COMSOL Multiphysics? 軟件在不同場景下對高頻電磁場進(jìn)行多尺度模擬。

應(yīng)用范圍：天線和無線通信

多尺度模擬是現(xiàn)代仿真技術(shù)的一個(gè)挑戰(zhàn)性課題，它指的是當(dāng)一個(gè)模型具有截然不同的尺度時(shí)產(chǎn)生的問題。舉例來說，你的手機(jī)大約長15 cm，但是它需要從20，000 km 外的衛(wèi)星接收GPS 信息，在一個(gè)仿真中同時(shí)處理這兩個(gè)長度往往并不簡單。天氣、化學(xué)以及許多其他領(lǐng)域的仿真應(yīng)用也會(huì)遇到類似的問題。

雖然多尺度模擬是一個(gè)泛泛的話題，不過我們選擇將重點(diǎn)放在天線和無線通信的實(shí)例上。當(dāng)通過天線進(jìn)行無線數(shù)據(jù)傳輸時(shí)，傳輸過程可以分為三個(gè)主要階段：

1、天線將本地信號轉(zhuǎn)換為自由空間輻射。

2、輻射向遠(yuǎn)離天線的方向傳播，經(jīng)過一段相對較長的距離。

3、另一個(gè)天線檢測到輻射，并將其轉(zhuǎn)換成接收信號。

現(xiàn)代通信通過天線進(jìn)行遠(yuǎn)距離無線數(shù)據(jù)傳輸。

數(shù)據(jù)傳輸過程中的兩個(gè)長度尺度是輻射波長和天線間的距離。我們想象一個(gè)具體的場景：FM 收音機(jī)的波長約為3 m，當(dāng)你坐在汽車中收聽廣播時(shí)，通常距離無線電塔十公里以上。許多天線（例如偶極天線）的尺寸與波長相近，因此不必將天線尺寸看作一個(gè)不同的長度尺度。綜上所述，涉及的尺度包括：發(fā)射天線的長度尺度，信號從源傳送到目的地的另一種長度尺度，然后又是接收天線的原始長度尺度。

在同一個(gè)高頻電磁模型中處理多個(gè)尺度之前，我們先重溫一些最核心的方程式、術(shù)語和注意事項(xiàng)。

弗里斯傳輸方程

弗里斯（Friis）傳輸方程計(jì)算的是兩個(gè)由無損耗介質(zhì)隔開的天線間的視距通信的接收功率，公式為

其中，下標(biāo)r 和t 區(qū)分了發(fā)射天線和接收天線，G 是天線增益，P 是功率，Γ 是天線與傳輸線之間阻抗失配的反射系數(shù)，p 是極化失配因子，λ 是波長，r 是天線之間的距離，它與所謂的自由空間路徑損耗相關(guān)聯(lián)， θ 和 Φ 是兩個(gè)天線的角球坐標(biāo)。

請注意，我們明確地引入了兩個(gè)阻抗失配項(xiàng)，因此：

· Pt 指發(fā)射天線提供給傳輸線的功率

· Pr 指接收天線從傳輸線接收的功率

許多文本注明了弗里斯傳輸方程的推導(dǎo)過程，所以我們在這里略過。

發(fā)射天線和接收天線增益的可視化圖像。在使用弗里斯傳輸方程時(shí)，我們必須了解天線的方向，才能獲得正確的增益參數(shù)。天線之間的距離為r。

球面坐標(biāo)

下面，我們來討論球面坐標(biāo)（r，θ，Φ），原因是球面坐標(biāo)極其適用于研究天線輻射，而且我們會(huì)在下文中反復(fù)使用它們。從笛卡爾坐標(biāo)（x，y，z）出發(fā)，我們可以利用很方便地得到以下表達(dá)式。

為了方便起見，我們使用了真實(shí)的COMSOL Multiphysics 命令——sqrt（）、acos（） 和atan2（），而不是它們的數(shù)學(xué)符號。在創(chuàng)建仿真時(shí)，我們還將利用球面單位矢量的笛卡爾分量。

和的笛卡爾分量也能實(shí)現(xiàn)類似的任務(wù)，但對于我們來說是最重要的。在介紹射線光學(xué)的后續(xù)博客中，我們將探討這一問題。

給定點(diǎn)同時(shí)使用笛卡爾坐標(biāo)（x， y， z） 和球面坐標(biāo)（r， θ， Φ） 進(jìn)行表示。球面坐標(biāo)的單位矢量也顯示在圖片中。請注意，球面坐標(biāo)的單位矢量是位置的函數(shù)。

坡印廷（Poynting）矢量和輻射強(qiáng)度

我們通常對天線的輻射功率很有興趣。功率通量的單位為W/m2，使用復(fù)坡印廷矢量

來表示。

許多有關(guān)天線的文本也會(huì)使用輻射強(qiáng)度，其定義為每立體角輻射的功率，單位為W/steradian（瓦/球面度）。在數(shù)學(xué)中，它的公式寫作

。

為了讓讀者更清楚，我們在此引入了兩個(gè)慣用法：

常用于電氣工程，而物理學(xué)家通常更加熟悉

。

之后，我們對所有角度上的輻射強(qiáng)度進(jìn)行積分，由此計(jì)算出輻射功率。

增益和方向性

增益和方向性的相似之處是二者均能對特定方向的輻射功率進(jìn)行量化，不同之處是增益將特定方向的輻射功率與輸入功率相關(guān)聯(lián)，而方向性將其與總輻射功率相關(guān)聯(lián)。更簡單地講，增益能夠解釋電介質(zhì)損耗和導(dǎo)電損耗，而方向性不能。在數(shù)學(xué)中，增益和方向性分別表示為

和

。

Pin 是天線接收的功率，Prad 是總輻射功率。雖然這兩個(gè)物理量都有意義，但是增益可以解釋天線中的材料損耗，一般情況下更為實(shí)用?？紤]到它的常用性和實(shí)用性，我們還參考了“IEEE 有關(guān)天線術(shù)語的標(biāo)準(zhǔn)定義（IEEE Standard Definitions of Terms for Antennas）”，（在給定方向上）的增益定義為：“在天線接收的輻射功率為各向同性的條件下，給定方向上輻射強(qiáng)度與接收的輻射強(qiáng)度之比。”

針對增益的定義，IEEE 添加了三個(gè)注釋：

1、“增益不包括由阻抗和極化失配所引起的損耗”。

2、“各向同性輻射功率的輻射強(qiáng)度等于天線接收的功率除以4π”。

3、“如果天線沒有耗散損耗，那么在任意給定方向上其增益等于其方向性”。

增益、實(shí)際增益和阻抗失配

在現(xiàn)實(shí)中，真正的天線會(huì)連接到傳輸線。天線和傳輸線的阻抗或許不一樣，所以可能會(huì)由于阻抗失配而存在損耗因子。實(shí)際增益 指考慮到阻抗失配時(shí)的增益。在數(shù)學(xué)中，實(shí)際增益表示為

，

其中

為傳輸線理論的反射系數(shù)，Zc 為傳輸線的特性阻抗，Z 為天線的阻抗。

在COMSOL Multiphysics 中使用帶特性阻抗的集總端口時(shí)，計(jì)算的遠(yuǎn)場增益相當(dāng)于IEEE（電氣和電子工程師協(xié)會(huì)） 定義的實(shí)際增益。我們必須明確提及這一點(diǎn)，因?yàn)樵谶^去的幾十年中增益的定義發(fā)生了多次變化。從2017 年發(fā)布的COMSOL Multiphysics 5.3 版本起，COMSOL 軟件將按照IEEE 的定義更改變量名稱。

Vivaldi 天線的實(shí)際增益和電場，使用了COMSOL Multiphysics 和“RF 模塊”進(jìn)行模擬。您可以在“案例下載”中獲取Vivaldi天線的教學(xué)模型。

接收天線、洛倫茲互易定理和接收功率

到現(xiàn)在為止，我們討論的術(shù)語對應(yīng)的是發(fā)出輻射的天線，不過它們通常同樣適用于接收天線。在上文中，我們更關(guān)注發(fā)射的原因是天線通常遵守互易定理（洛倫茲互易定理是大多數(shù)天線教科書的必要章節(jié)）。互易的含義是在特定的方向上，不管是沿此方向發(fā)射信號還是從此方向接收信號，天線的增益都是相同的。在實(shí)踐研究中，您可以使用發(fā)射天線的單個(gè)仿真來計(jì)算任意方向上的增益，這比模擬每個(gè)指定方向上的接收過程更加簡單。

當(dāng)討論到接收天線時(shí)，我們往往想要計(jì)算入射信號的接收功率。具體的方法是用天線的有效面積

乘以入射功率通量，同時(shí)考慮到傳輸線的阻抗失配，由此得出

。

不出所料，它與弗里斯傳輸方程的其中幾項(xiàng)驚人地相似。

發(fā)射器示例：完美電偶極子

今天，我們將討論一種類型的發(fā)射器：完美電點(diǎn)偶極子。您可能在不同的文獻(xiàn)中看到它被稱為完美、理想或者無窮小偶極子。此發(fā)射器常用于表征電小天線的輻射。場的求解方程為

其中為輻射源的偶極矩（勿與極化失配混淆），k 為介質(zhì)的波矢。

電小天線產(chǎn)生的電磁場的各區(qū)域分解圖。

在上述方程中，1/rn 有三個(gè)因子。1/r2 和1/r3 項(xiàng)在信號源附近更重要，而1/r 項(xiàng)在較大的距離上占主導(dǎo)地位。雖然電磁場是連續(xù)的，不過人們一般會(huì)根據(jù)與源的距離來劃分場的不同區(qū)域。上圖顯示了電小天線的一種場分布，事實(shí)上，還有其他適用于描述kr 大小的慣用法。

之后，我們將展示如何計(jì)算與給定源相隔任意距離的場，不過天線通信的最關(guān)鍵區(qū)域是與源相距最遠(yuǎn)的遠(yuǎn)場或輻射區(qū)。在這個(gè)區(qū)域內(nèi)，場表現(xiàn)為球面波

～exp（-jkr）/r

的形式，之后我們會(huì)利用這個(gè)事實(shí)。

現(xiàn)在我們要將E-field 方程式拆分為兩個(gè)項(xiàng)。為簡單起見，我們將1/r 項(xiàng)稱為遠(yuǎn)場（FF），將1/r2 和1/r3 項(xiàng)稱為近場（NF）。

如上文所述，我們可以對所有角上的

進(jìn)行積分，借此計(jì)算以瓦特為單位的輻射功率。請注意，只有遠(yuǎn)場項(xiàng)對積分有貢獻(xiàn)，這就是對于天線工程師而言，天線具有實(shí)際意義的主要原因。點(diǎn)偶極子輻射的總功率為

，

其中Z0 是自由空間的阻抗，c 是光速。最大增益為1.5，它在垂直于偶極矩的平面（例如中偶極子的xy 平面）中是各向同性。

關(guān)于單位的說明：我們根據(jù)單位為庫侖*米（Cm）的偶極矩

的傳統(tǒng)定義寫出上方的表達(dá)式。天線和工程的文本通常使用安培*米（Am）來指定無窮小電流偶極子。COMSOL Multiphysics 遵循工程慣例。上述兩個(gè)定義由時(shí)間導(dǎo)數(shù)關(guān)聯(lián)起來，因此在COMSOL 軟件中執(zhí)行方程時(shí)，應(yīng)該將偶極矩乘以因子jω來獲得無窮小電流偶極子。

接收器示例：半波長偶極子

我們將理想導(dǎo)體——半波長偶極子用作接收天線。

許多文本探討了無限細(xì)的導(dǎo)線，它的阻抗 ≈73Ω，方向性為

。

值得一提的是，這種天線的阻抗與具有半徑的天線存在差異。我們討論的接收天線的長度為0.47 λ，長度與直徑之比為100。利用這些值，我們的模擬得到了 ≈733jΩ 的阻抗，它接近于無限細(xì)導(dǎo)線的阻抗值，并且與實(shí)驗(yàn)值吻合良好。令人遺憾的是，對該數(shù)字進(jìn)行比較沒有理論價(jià)值，但是這強(qiáng)調(diào)了天線設(shè)計(jì)對數(shù)值模擬的需求。

下圖比較了無限細(xì)偶極子與偶極天線仿真的方向性。因?yàn)樘炀€是無損的，這相當(dāng)于天線增益。您可以點(diǎn)擊“閱讀原文”下載偶極天線模型。

比較兩個(gè)半波長天線（z 方向）的方向性與 θ 之間的函數(shù)關(guān)系。COMSOL Multiphysics? 仿真模型是一個(gè)具有很小半徑的圓柱體，理論模型是一個(gè)無限細(xì)的天線。

計(jì)算接收功率

現(xiàn)在，我們可以使用弗里斯傳輸方程計(jì)算完美點(diǎn)偶極子發(fā)射的功率和半波長偶極子天線接收的功率。使用方程時(shí)，我們只需要了解增益和阻抗失配（或?qū)嶋H增益）、波長、天線之間的距離和輸入功率。我們選擇了使用電點(diǎn)偶極子，所以可以獲得偶極矩，而不是輸入功率和阻抗失配。要解決這個(gè)問題，我們可以去掉阻抗失配項(xiàng)，用完美電偶極子的輻射功率替代輸入功率——實(shí)際上，輸入功率等于輻射功率。

若假設(shè)發(fā)射器和檢測器均位于xy 平面，處于極化匹配狀態(tài)，相隔1000 λ，而且中發(fā)射極的偶極矩為1 Am，則弗里斯方程關(guān)于接收功率的計(jì)算值為380 μW。我們將在本系列的第3 部分中模擬接收功率值，借此驗(yàn)證仿真技術(shù)，然后我們可以自信地從仿真中提取結(jié)果，并引入弗里斯方程無法解釋的復(fù)雜性。

結(jié)語

在本篇博客中，我們介紹了多尺度模擬的概念，討論了建模之前需要了解的相關(guān)術(shù)語、定義和理論。對于在電磁學(xué)和天線設(shè)計(jì)方面擁有深厚背景的專業(yè)人士而言，這或許是一篇快速回顧。如果您不熟悉本文介紹的概念，我們強(qiáng)烈建議您閱讀一本介紹經(jīng)典電磁學(xué)或天線理論的書籍。