本節(jié)主要介紹LC梯形網絡的綜合方法，包括經典鏡像法、插入損耗法和轉移函數(shù)法這三種網絡綜合的設計方法。

現(xiàn)代濾波器網絡綜合所解決的問題

現(xiàn)代濾波器綜合技術所解決的問題非常有限，下圖是對模擬無源網絡做一個簡單分類總結:

圖中綠色陰影部分是本節(jié)內容所能夠解決的部分，其他網絡目前筆者并未見到比較成熟統(tǒng)一的理論，后續(xù)有機會我們再進行深入分析和研究。

濾波器綜合技術是數(shù)學和電路兩門學科的交叉學科，要掌握這門技術，需要同時掌握這兩個領域的知識。電路中涉及到電路分析、微波射頻、信號系統(tǒng)等等理論，而在數(shù)學就涉及到更多，諸如矩陣論、復變函數(shù)、特殊函數(shù)、函數(shù)逼近等等知識。

可以預見的是隨著計算機技術，AI技術(濾波器綜合的本質上是依照特定功能設計出符合一定結構的網絡，所以當下AI等技術的發(fā)展可以說給濾波器綜合技術帶來了新的希望)的發(fā)展，所有關于濾波器網絡綜合的問題在可預見的未來一定會得到很好的解決。

濾波器綜合的基本知識

前提

本節(jié)模擬無源濾波器綜合必須：

1. 濾波器網絡結構為梯形
2. 濾波器網絡除輸入和輸出外，剩下的全部是電容和電感，即濾波器網絡為無耗網絡，阻抗的零極點必在虛軸上交替排列, 濾波器是無條件穩(wěn)定的,對于輸入的任何激勵不會出現(xiàn)自激,網絡函數(shù)中極點不在右半平面
3. 濾波器為有限階

由連分式綜合出梯形網絡

LC梯形網絡綜合離不開網絡的連分式展開(continued fraction)這個工具，它是荷蘭數(shù)學家“連分式分析之父”的斯蒂爾吉斯(Thomas Joannes Stieltjes)所提出，連分式可以用有理數(shù)來表示無理數(shù)，對于無理數(shù) 我們有如下連分式表示方法： 在電路設計領域，梯形網絡(Ladder network)的阻抗可以用連分式來表達，如下:

所以可以得到此梯形網絡的連分式表示： 這種連分式寫法可以很方便的依據(jù)表達式綜合(Synthesis)出電路來，如上述的 用電阻來實現(xiàn)就為：

連分式可謂將網絡的輸入阻抗和梯形網絡緊密的聯(lián)系起來了，那么一個梯形網絡的輸入阻抗和其傳遞函數(shù)之間又有什么關系呢？

網絡函數(shù)

下面我們通過簡單的2階LC低通濾波器來進行分析，讓大家對濾波器電路分析有一個直觀的認識：

從上圖可以看到即使分析一個簡單的濾波器，最終傳遞函數(shù)公式也是比較復雜且沒有什么規(guī)律可循。倘若再分析3階或5階濾波器就更費勁了。那么我們應該如何去分析呢，若我們將濾波器看成一個黑盒子來研究，這將大大降低電路分析難度。

濾波器電路黑盒子有4個端口，分別為1,1',2,2'，前面我們知道，輸入阻抗 可以用來描述一個梯形網絡的結構，所以在4端口網絡中，我們盡量往Z1上靠，所以在這里我們選擇阻抗Z網絡。 式中 表示4端口網絡的輸出口開路時的輸入阻抗，注意到濾波器綜合的前提條件2，可以得到所有Z參數(shù)的零極點都在虛軸上，非常容易研究其性質。

濾波器網絡輸入和輸出可以交換的(互易),所以有 。

有了四端口阻抗網絡定義，我們可以找到平時非常關心的網絡轉移特性，即輸出和輸入的關系，轉移阻抗 就是比較常見的一個轉移函數(shù)，它和Z網絡的關系如下(對 進行歸一化處理): 若給定網絡的轉移阻抗 ，我們可以通過表達式結構求出 和 ，再由 的零極點，將 的極點一步步去除，從而可以綜合出對應的濾波器。

對于Z網絡還有一個重要的性質是 包含網絡的所有極點，這個可以由電路方程的解中都包含整個參數(shù)矩陣的行列式來理解，這一點在電路綜合中非常重要。

階梯網絡綜合方法

兩端接載-插入損耗法

兩端接載的梯形網絡綜合采用插入損耗法，使用插入損耗法來綜合網絡的方法是由達林頓(Darlington)在1939年提出的，這種綜合法流程在前文中有提到過，基本綜合流程如下圖所示，若需要了解更多可參考插入損耗法原理推導 ：

下圖顯示一個3階巴特沃斯低通濾波器的綜合過程：

注意此濾波器綜合的頻率為 ，另外圖中 的定義與初始達林頓的有所區(qū)別，以便和現(xiàn)代傳遞函數(shù)對應。

上述方法是由傳輸功率-->反射-->輸入阻抗這一基本線路進行網絡綜合.上述綜合成立的條件是網絡兩端都需要端接，若任意一端開路或短路， 的定義將會失效，故需要使用插入電壓比來進行定義和計算。

一端接載-轉移函數(shù)法

前述插入損耗法僅僅適用于兩端接載，當濾波器網絡一端短路或開路，我們必須改變傳遞函數(shù)的定義，由插入損耗法可知 , 所以理所當然的使用電壓轉移函數(shù) 進行定義：

這樣定義后由于源端全反射，不能用反射理論來進行分析，只能回歸本源使用前述的4端口網絡相關理論來進行分析，用 和 得到: 若將 和 對 進行歸一化，即可得到和轉移函數(shù) 一樣的表達式，這樣可以通過極點移除法來綜合了。

下圖顯示一個一端接阻的3階巴特沃斯低通濾波器的綜合過程：

圖中由一種傳輸函數(shù)可以得到4種不同的濾波器端接結構，從中可以得到規(guī)律，從端接電阻看過去的阻抗或導納不變。

上述由傳遞函數(shù)推導出Z或Y參數(shù)的一個技巧是將傳遞函數(shù)的分母分為偶部M和奇部的和，這樣是為了湊出 、 、 、 ，這是因為梯形網絡的策動點阻抗或導納為方次差1的兩個多項式之比（由網絡的穩(wěn)定性推導而來）。

從之前的網絡綜合可以看出，當傳遞函數(shù)一定，綜合出來的網絡可能有很多種。

鏡像法綜合

由于鏡像法綜合歷史非常悠久，最初濾波器被發(fā)明以來就使用了這一分析方法，我們需要清楚這一分析觀點--波的分析方法。很多最初的想法在現(xiàn)在微波領域任然在使用，鏡像法在行波放大器設計中也能用到 。這里只對鏡像法做一個概念入門，并給出一個簡單的設計實例。

定k濾波器

之前已經介紹過鏡像法最早是由傳輸線線理論發(fā)展而來，其結構是無限長周期結構，為了簡化分析我們將無限長周期結構拆分為一個T節(jié)或PI節(jié)，如下所示：

這種簡化的關鍵是T或PI節(jié)輸入和輸出阻抗都相等，并且在頻率為0處的阻抗都和傳輸線的特征阻抗相等,即 ，這也是定k的來源。另外由阻抗公式可以看到當根號下為0時即可得到傳輸線的截止頻率 。

所以可以通過以上兩式求得濾波器的參數(shù)值： 定k濾波器是最簡單的濾波器，由于輸入輸出阻抗匹配，所以若需要增加濾波器階數(shù)可以簡單的將T型或PI型節(jié)級聯(lián)即可，這一點在射頻濾波器設計中非常常見。

定k濾波器的缺點也很明顯:

• 濾波器截止特性并不好
• 濾波器截止頻率點并不非常準確
• 可以看到濾波器輸入輸出阻抗匹配特性并不是太好，若輸入或輸出接純電阻作為源或負載，只有一個點能夠匹配上。

為了克服上述缺點，佐貝爾(Zobel)發(fā)明了m推演型濾波器(m-derived filter)。

m推演型濾波器

m推演型濾波器設計基本思想和定k濾波器一樣，保證濾波器節(jié)網絡的輸入輸出阻抗相等(便于濾波器級聯(lián))，并且找出阻抗基本恒定的網絡(便于和源和負載匹配)。其推導原理如下圖所示：

由定k濾波器T型節(jié)出發(fā)，將電感乘以一個參數(shù)m，這樣我們得到另外一個T型網絡，并令對地臂阻抗為 ，這樣我們令這個新的T型網絡和定k濾波器T型節(jié)阻抗相同，從而推導出 為一個電感和一個電容串聯(lián)而成，對地臂提供了一個傳輸零點，從而使得傳遞函數(shù)出現(xiàn)零點，從而可以在截止頻率處提供更為陡峭的衰減。

由m推演型的推導過程可知，m推演的T型結構和定K的阻抗相等(和m無關)，阻抗會隨著頻率頻率變化而劇烈變化，見圖中 表達式；但是m推演型的PI型結構阻抗卻隨m的變化而變化，在m=0.6時，阻抗會呈現(xiàn)比較恒定的值（圖中右上圖所示），這就有利于和源和負載進行匹配，所以一般設計中m=0.6的m推演型半PI節(jié)會作為輸入和輸出匹配節(jié)來使用。

中間節(jié)點就使用正常的T型節(jié)和定k濾波器節(jié)。

當m=0時，m推演型濾波器就化為定K濾波器，即定k濾波器是m推演型濾波器的一種特殊情況。

由于m推演型濾波器的T型節(jié)阻抗和m值無關，所以在濾波器綜合過程中可以任意改變T型節(jié)位置和增加濾波器階數(shù)，整個濾波器匹配特性將保持不變。改變m的值可以移動傳輸零點位置，所以可以有選擇性的抑制我們所需要抑制的頻點。

下圖給出了綜合一個截止頻率為 ，希望在0.17Hz以及無窮大處有最大抑制點，阻抗匹配到1Ω。

由阻抗和截止頻率可以計算出基本的L和C值，同定k濾波器設計： 傳輸零點位置和m的關系如下: 得到0.17Hz處傳輸零點 ，進而得到m推演型T型節(jié)的0.17Hz的傳輸零點。

詳細綜合過程如下：

小結

上述3種網絡綜合方法各有優(yōu)缺點，并不存在一個萬能的綜合方法，后期小程序軟件設計中也會依據(jù)不同的端接類型來選擇不同的綜合工具實現(xiàn)。接下來工作是進行網絡仿真方面的工作，若感興趣的同學可以后臺留言交流。