頻率響應(yīng)是指以正弦波作為命令輸入來(lái)繪制機(jī)器或過(guò)程輸出的動(dòng)態(tài)響應(yīng)。測(cè)試設(shè)備可用于測(cè)試物理系統(tǒng)，并且存在允許使用完全理論方法的分析技術(shù)和工具。在這里，我們將簡(jiǎn)要介紹一下作為測(cè)試過(guò)程的頻率響應(yīng)方法，并總結(jié)系統(tǒng)設(shè)計(jì)師可以從這些過(guò)程和結(jié)果中獲得什么。

如果可以用正弦測(cè)試信號(hào)激勵(lì)設(shè)備并測(cè)量其輸出，則頻率響應(yīng)測(cè)試方法可以應(yīng)用于任何事物。在電液運(yùn)動(dòng)控制中，制造商為伺服和比例閥發(fā)布的數(shù)據(jù)中最常遇到頻率響應(yīng)。實(shí)際上，我之所以主張使用伺服閥和比例閥（而不是其他類型的閥）的一個(gè)令人信服的原因是，因?yàn)樗欧y和比例閥存在太多的頻率響應(yīng)數(shù)據(jù)，而其他設(shè)備幾乎沒有。有了這些信息，我們就可以在構(gòu)建系統(tǒng)之前更好地預(yù)測(cè)系統(tǒng)的性能。

頻率響應(yīng)測(cè)試非常簡(jiǎn)單，觀察幾分鐘后即可輕松理解。這與在純學(xué)術(shù)環(huán)境中學(xué)習(xí)數(shù)月相反。這是一種用于測(cè)量元件（例如閥）動(dòng)態(tài)響應(yīng)的方法。

另一種流行的動(dòng)態(tài)測(cè)試程序是測(cè)量對(duì)階躍輸入的輸出響應(yīng)。頻率響應(yīng)和階躍響應(yīng)是相關(guān)的，因?yàn)樗鼈儊?lái)自同一系統(tǒng)。但是，頻率響應(yīng)方法比階躍響應(yīng)更可靠，因?yàn)樵谑褂妙l率響應(yīng)分析儀時(shí)，在頻率響應(yīng)測(cè)試中固有地抑制了失真和噪聲。

圖1.圖顯示了頻率響應(yīng)測(cè)試環(huán)路的框圖。頻率響應(yīng)可用作動(dòng)態(tài)測(cè)試，因?yàn)楫?dāng)與頻率響應(yīng)分析儀結(jié)合使用時(shí)，它固有地抑制了失真和噪聲。

如圖1所示，該測(cè)試涉及對(duì)輸入施加受控幅度的正弦波形，從而使被測(cè)設(shè)備（例如閥）來(lái)回循環(huán)。同時(shí)，輸出也將以相同的頻率循環(huán)。但是，輸出和指令輸入的幅值不一定與指令輸入相同。就閥門而言，輸入（電流）和輸出（流量）甚至不在相同的度量單位中。此外，在大多數(shù)實(shí)際物理動(dòng)態(tài)過(guò)程中，輸出將經(jīng)歷相位滯后。即，輸出必須一定落后于輸入。測(cè)試操作員記錄頻率，輸出幅值以及輸入和輸出之間的相位滯后量（以度為單位）。

接下來(lái)，增加頻率，同時(shí)將輸入正弦波保持在恒定的峰-峰值幅值。通常以度為單位繪制相位，并通過(guò)以下等式以分貝（dB）給出幅值：

A = 20 log | On÷Ol |

其中

A：閥頻率響應(yīng)的幅值

On：是任意頻率的輸出，并且

Ol：是最低頻率的輸出。因此，我們看到，對(duì)于最低的測(cè)試頻率，伺服閥的頻率響應(yīng)測(cè)試數(shù)據(jù)始終從0 dB開始。

在較高的測(cè)試頻率下，通常會(huì)出現(xiàn)較高的相位滯后，并且輸出幅值會(huì)發(fā)生變化。在任何類型的機(jī)器上，隨著頻率的增加，輸出幅值將無(wú)法跟上輸入幅值，這是正?，F(xiàn)象。也就是說(shuō)，總會(huì)有一些頻率的輸入命令振動(dòng)得如此之快，以至于輸出根本無(wú)法跟上。因此，輸出幅值趨于隨頻率增加而減小，并且輸入與輸出之間的相位滯后趨于增大。

也有例外。當(dāng)被測(cè)系統(tǒng)中存在共振時(shí)，在某些狹窄的頻帶或范圍內(nèi)，輸出幅值會(huì)隨頻率增加。當(dāng)存儲(chǔ)在彈簧或其他撓性構(gòu)件中的勢(shì)能與運(yùn)動(dòng)質(zhì)量的動(dòng)能交換時(shí)，就會(huì)發(fā)生共振。當(dāng)質(zhì)量的動(dòng)能與內(nèi)部壓縮流體中存儲(chǔ)的勢(shì)能相互作用時(shí)，會(huì)在液壓系統(tǒng)中產(chǎn)生共振。

當(dāng)發(fā)生共振時(shí)，有時(shí)會(huì)隨著輸出振幅的增加而顯示出共振，從而增加頻率。圖2中所示的伺服閥頻率響應(yīng)數(shù)據(jù)就是這種情況。在30 Hz時(shí)，比0 dB參考值高出約0.8 dB。共振上升的存在表明閥有彈性的趨勢(shì)，如果使用階躍輸入進(jìn)行測(cè)試，則閥的輸出將趨向于在該頻率附近“響”。上升表明閥的設(shè)計(jì)者將其響應(yīng)調(diào)整為阻尼不足。大多數(shù)伺服閥已調(diào)整為無(wú)共振上升。但是，也有一些例外。阻尼不足的特性伴隨著共振上升。描述這種情況的一種方法是，“欠阻尼意味著存在過(guò)沖和共振上升”。

圖2.伺服閥頻率響應(yīng)數(shù)據(jù)顯示了當(dāng)質(zhì)量的動(dòng)能與壓縮流體中存儲(chǔ)的勢(shì)能相互作用時(shí)，液壓系統(tǒng)中如何發(fā)生共振。振幅在30 Hz左右的升高表明存在共振，并且該閥設(shè)計(jì)為具有稍微欠阻尼的響應(yīng)。

圖2中的頻率響應(yīng)圖至少是許多伺服閥的典型特性，可以用來(lái)比較一個(gè)閥與另一個(gè)閥的響應(yīng)。任何閥的重要“基準(zhǔn)”頻率是相位滯后達(dá)到90°的頻率。請(qǐng)注意，在參考閥中，頻率約為50 Hz。顯然，如果有另一個(gè)閥門的90°相位滯后頻率高于50 Hz，則該閥門的響應(yīng)速度將比圖2中所示的更快。

將一個(gè)閥與另一個(gè)閥進(jìn)行比較時(shí)，應(yīng)始終使用90°相位滯后頻率。該頻率稱為閥頻率，閥頻率響應(yīng)或閥帶寬。所有術(shù)語(yǔ)或多或少都是同義詞。無(wú)論如何，該頻率有助于預(yù)測(cè)閥響應(yīng)與應(yīng)用系統(tǒng)所需性能之間的匹配程度。一些設(shè)計(jì)人員使用-3dB的頻率。但是，作為比較基準(zhǔn)，這是不可靠的。在評(píng)估閥門與最終系統(tǒng)中其余部件的配合情況時(shí)，它也沒有價(jià)值。90°相位滯后頻率的最重要特征是，它使我們能夠?qū)㈤y頻率與液壓機(jī)械共振頻率進(jìn)行比較，液壓共振頻率是由于流體的可壓縮性（液壓電容或柔量）與執(zhí)行器負(fù)載質(zhì)量相互作用而產(chǎn)生的共振。

一些背景

在奈奎斯特（Nyquist）的開創(chuàng)性論文中，他將正弦分析的思想應(yīng)用到了動(dòng)態(tài)系統(tǒng)中，但是在當(dāng)時(shí)非常受其它影響的情況下，他以非常神秘的數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)將其應(yīng)用。九年后，Bode發(fā)表了同樣重要的論文。他教我們，通過(guò)以分貝表示正弦頻率響應(yīng)的幅值，將一個(gè)設(shè)備（例如閥）的幅值和相位響應(yīng)與另一設(shè)備（例如負(fù)載和執(zhí)行器子系統(tǒng)）的幅值和相位響應(yīng)相加就變得很簡(jiǎn)單。在那時(shí)，當(dāng)選擇計(jì)算輔助成為計(jì)算規(guī)則時(shí)，確實(shí)如此受歡迎。盡管計(jì)算機(jī)發(fā)生了革命性的變化，并且計(jì)算機(jī)執(zhí)行復(fù)雜的計(jì)算非常容易，但是眾所周知的Bode圖仍然是系統(tǒng)設(shè)計(jì)人員最喜歡的工具。

Bode和Nyquist（都是貝爾實(shí)驗(yàn)室的研究工程師）對(duì)確定為什么某些音頻放大器會(huì)突然振蕩而另一些音頻放大器不會(huì)突然振蕩的想法很感興趣。如今，運(yùn)動(dòng)控制和反饋控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)人員仍在為機(jī)器的振動(dòng)問(wèn)題而苦苦掙扎。如果繼續(xù)下去，這種振蕩可能是自毀的。頻率響應(yīng)方法使我們能夠合理估計(jì)將產(chǎn)生穩(wěn)定的，無(wú)振蕩的伺服機(jī)構(gòu)的電子調(diào)諧極限。

博德的方法要求我們測(cè)試和研究開環(huán)系統(tǒng)，然后使用分析技術(shù)詢問(wèn)“假如是”閉環(huán)會(huì)如何。例如，可以在開環(huán)配置中測(cè)試完整的位置伺服機(jī)構(gòu)（圖3），以找到使系統(tǒng)不穩(wěn)定的必要條件。請(qǐng)注意，我們不是使用正弦測(cè)試數(shù)據(jù)（頻率響應(yīng)特性）來(lái)確定系統(tǒng)在正弦輸入下的性能，而是在系統(tǒng)振蕩之前可以獲得多少伺服環(huán)路增益。這就是頻率響應(yīng)方法的精妙之處。

圖3.左側(cè)的開關(guān)允許在開環(huán)配置下測(cè)試該閉環(huán)電液系統(tǒng)，以確定引起不穩(wěn)定的頻率響應(yīng)特性。然后，該系統(tǒng)可以以減少到引起振蕩的增益的一半左右的增益進(jìn)行操作。

為了說(shuō)明這一點(diǎn)，請(qǐng)考慮圖3的系統(tǒng)。它將首先在開環(huán)位置使用反饋開關(guān)進(jìn)行測(cè)試。隨著頻率的增加，我們尋找在指令輸入和開環(huán)反饋信號(hào)之間造成180°相位滯后的任何頻率。（在水力機(jī)械系統(tǒng)中，基本上可以確定存在此頻率。）在該頻率下，如果輸出（開環(huán)反饋信號(hào)）的幅值等于或大于輸入命令幅值，則可以閉合反饋開關(guān)。然后，通過(guò)負(fù)反饋過(guò)程，該180°相位移將經(jīng)另一個(gè)180°相位。結(jié)果是可以消除正弦指令輸入激勵(lì)，并且閉環(huán)系統(tǒng)將處于持續(xù)振蕩狀態(tài)。這是一個(gè)不穩(wěn)定的系統(tǒng)，如果無(wú)法停止振蕩，則是不切實(shí)際的。減小伺服環(huán)路增益是停止振蕩的正常過(guò)程。這是通過(guò)更改伺服放大器的增益設(shè)置來(lái)實(shí)現(xiàn)的。

上一段以非數(shù)學(xué)的形式提出了伺服回路穩(wěn)定性的經(jīng)典標(biāo)準(zhǔn)。通過(guò)更改對(duì)180°相位頻率的搜索，可以簡(jiǎn)化一點(diǎn)?？紤]以下情況：假設(shè)在搜索中找到了臨界的180°相位頻率，但是開環(huán)反饋信號(hào)的幅值小于命令輸入幅值。該頻率下的開環(huán)增益小于1，在分貝標(biāo)度上小于零。

現(xiàn)在我們問(wèn)自己：“如何增加增益，使反饋信號(hào)幅值等于指令信號(hào)幅值（伺服環(huán)路增益為零dB）？”我們只需要增加伺服放大器的增益，系統(tǒng)就會(huì)陷入振蕩。因此，只要有180°的相位頻率，只要增加伺服放大器的增益即可實(shí)現(xiàn)持續(xù)振蕩。每個(gè)電液系統(tǒng)都存在一個(gè)180°的相位頻率，因此我們始終可以將這種系統(tǒng)調(diào)整到不穩(wěn)定的程度。

當(dāng)然，我們不希望系統(tǒng)振蕩。調(diào)整到不穩(wěn)定點(diǎn)的目的是找到將產(chǎn)生不穩(wěn)定的最終增益。然后將增益減小到引起穩(wěn)定振蕩的值的一半左右，并留在那里。增益降低50％大約等于5 dB的增益裕度。即，將增益設(shè)置為低于不穩(wěn)定點(diǎn)5 dB。對(duì)于許多電動(dòng)液壓運(yùn)動(dòng)控制系統(tǒng)而言，這已足夠。在設(shè)計(jì)過(guò)程中使用頻率響應(yīng)方法，我們可以預(yù)測(cè)不穩(wěn)定性的增益。因此，我們可以從不穩(wěn)定性中估計(jì)出伺服系統(tǒng)中預(yù)期的誤差。

共振頻率和閥頻率

流體力學(xué)共振頻率（HMRF）與流體體積和負(fù)載質(zhì)量成反比：受壓流體體積越大，負(fù)載質(zhì)量越大，HMRF越低。HMRF越低，實(shí)現(xiàn)伺服系統(tǒng)的快速響應(yīng)控制就越困難。相反，系統(tǒng)變得緩慢而富有彈性。確實(shí)，有些人將流體的可壓縮性等同于彈簧。這個(gè)比喻有一定的價(jià)值。

當(dāng)HMRF太低時(shí)，這種彈性可能是系統(tǒng)的瓶頸。我見過(guò)HMRF低至0.5 Hz，高至700Hz以及介于兩者之間的所有值的系統(tǒng)。HMRF低是大負(fù)載質(zhì)量連接到小油缸的特征。增加油缸面積始終具有提高HMRF的作用。當(dāng)HMRF小于閥的頻率時(shí)，它將成為系統(tǒng)的瓶頸。閥頻率fv是根據(jù)閥門制造商發(fā)布的頻率響應(yīng)測(cè)試數(shù)據(jù)產(chǎn)生90°相位滯后的頻率。

現(xiàn)在，我們有了將一種頻率與另一種頻率進(jìn)行比較的直接基礎(chǔ)，這使我們能夠得出重要的結(jié)論。的確，當(dāng)小于閥頻率時(shí)，HMRF會(huì)限制系統(tǒng)響應(yīng)。但是，當(dāng)閥的頻率小于HMRF時(shí)，閥將成為限制裝置。規(guī)則很簡(jiǎn)單：動(dòng)態(tài)瓶頸是fv和fn中的較小者。

通常，當(dāng)系統(tǒng)的HMRF小于其閥頻率時(shí)，很難設(shè)計(jì)出具有清晰響應(yīng)的系統(tǒng)。不幸的是，系統(tǒng)的HMRF通常低于其閥頻率。因此，這意味著HMRF通常是主要的，這代表了最具挑戰(zhàn)性的設(shè)計(jì)方案。換句話說(shuō)，最壞的情況是最常見的情況。

此外，當(dāng)閥頻率約為HMRF的兩倍時(shí)，提高閥頻率對(duì)系統(tǒng)性能的影響可忽略不計(jì)，因?yàn)樾阅軐缀跬耆艿紿MRF的影響。應(yīng)該清楚的是，閉環(huán)帶寬必須始終小于fv和fn中的較小者。唯一剩下的問(wèn)題是：少多少？

閉環(huán)帶寬的限制

最大閉環(huán)帶寬（頻率響應(yīng)）必須小于一個(gè)稱為分離比的值，該值始終小于1。用數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)來(lái)說(shuō)：

fmax 《 ps ×（lesser of fv or fn）（fv 或fn中的較小者），

其中

fmax 是最大系統(tǒng)關(guān)閉帶寬

ps 是分離率，并且

fv 和 fn是閥和油缸負(fù)載共振頻率，單位為Hz。

當(dāng)HMRF占主導(dǎo)地位（《fv）時(shí)，分離比完全由液壓機(jī)械系統(tǒng)的阻尼比控制：

ps =2Zn

其中

Zn是阻尼比，是振動(dòng)減弱趨勢(shì)的度量。

造成阻尼的因素有兩個(gè)：從執(zhí)行器一側(cè)到另一側(cè)的內(nèi)部泄漏（無(wú)論是從執(zhí)行器內(nèi)部還是從控制閥內(nèi)部泄漏）和摩擦（是否來(lái)自執(zhí)行器或其負(fù)載）。由于制造商努力減少內(nèi)部泄漏和摩擦，因此大多數(shù)液壓機(jī)械系統(tǒng)的阻尼度可能會(huì)非常低，這不足為奇。實(shí)際上，當(dāng)負(fù)載可以以可忽略的摩擦力移動(dòng)時(shí)（如由循環(huán)線性球軸承支撐時(shí)），阻尼比可能低至0.03或0.05。誠(chéng)然，系統(tǒng)摩擦和阻尼比是要在系統(tǒng)中評(píng)估的最難以捉摸的量。但是，它們與頻率一起絕對(duì)控制著系統(tǒng)的性能極限。

計(jì)算示例

考慮一個(gè)示例來(lái)演示此討論。假設(shè)已計(jì)算出系統(tǒng)的油缸機(jī)械共振頻率，發(fā)現(xiàn)其為18 Hz。進(jìn)一步假設(shè)其伺服閥的90°相位滯后頻率為65 Hz，并且由于摩擦和內(nèi)部閥門泄漏，我們估計(jì)液壓機(jī)械阻尼比約為0.05。我們可以計(jì)算出最大可能的閉環(huán)系統(tǒng)帶寬：

fmax 《 ps x（ fv 或 fn的小者）

fmax 《2 x 0.05 x 18

fmax 《1.8 Hz

最大閉環(huán)帶寬fmax 只有1.8 Hz，僅為HMRF的十分之一！在啟動(dòng)時(shí)，我們通過(guò)增加伺服放大器增益來(lái)增加系統(tǒng)帶寬。如果我們?cè)黾釉鲆嬷钡綆掃_(dá)到1.8 Hz，然后再嘗試進(jìn)一步增加，則伺服回路將陷入持續(xù)的振蕩狀態(tài)，從而變得毫無(wú)價(jià)值。必須降低增益以重新建立穩(wěn)定性。

系統(tǒng)帶寬之所以重要，是因?yàn)樗c定位精度（或更準(zhǔn)確地說(shuō)，是定位誤差和跟隨誤差）之間存在直接的反比關(guān)系。已經(jīng)表明：

?xp = （?IT × Gsp）/（2’ fsys）

其中

?xp 是預(yù)期的穩(wěn)態(tài)定位誤差（in。）

?IT 是由八種已知的外部干擾引起的總預(yù)期閥電流變化（安培），

Gsp是最高預(yù)期速度和負(fù)載下的速度增益［（in.x A）/秒］，并且

fsys是實(shí)際的閉環(huán)系統(tǒng)帶寬（Hz）。

輸出位置永遠(yuǎn)不會(huì)是我們想要的位置-只能關(guān)閉。電液位置伺服機(jī)構(gòu)中存在八種導(dǎo)致定位不完善的已知干擾：

? 閥溫度變化

? 供油壓力變化

? 回油箱油口壓力變化

? 分離摩擦

? 負(fù)載變化

? 閥滯環(huán)

? 閥閾值，以及

? 閥死區(qū)。

所有這些必須分解為等效的閥電流，然后加在一起得出總的預(yù)期閥電流，即IT增量。總的來(lái)說(shuō)，評(píng)估給定系統(tǒng)的這八個(gè)“錯(cuò)誤貢獻(xiàn)者”不僅僅是一個(gè)瑣碎的過(guò)程。但是，經(jīng)驗(yàn)告訴我們，對(duì)于具有“典型”伺服閥性能的零遮蓋閥，?IT 約為閥額定電流的2％或3％。如果閥是成比例的并且具有實(shí)質(zhì)性的遮蓋，則我們通常僅使用遮蓋而忽略其他七個(gè)貢獻(xiàn)者。

從技術(shù)上講，對(duì)于最壞的負(fù)載條件，必須使用所選控制閥的特性來(lái)計(jì)算速度增益。如果設(shè)計(jì)人員采用良好的工程實(shí)踐來(lái)選擇控制閥（如果選擇該閥以在最壞的負(fù)載和速度組合下提供最大的功率傳遞），那么速度增益Gsp將等于目標(biāo)設(shè)計(jì)執(zhí)行器速度除以約為閥額定電流的2/3。有了這些信息，我們現(xiàn)在可以估計(jì)預(yù)期的系統(tǒng)“準(zhǔn)確性”。

假設(shè)我們正在設(shè)計(jì)的系統(tǒng)在最壞情況下必須使用基本上為零遮蓋的伺服閥以21in./sec的速度推動(dòng)負(fù)載?？梢允紫扔?jì)算該頁(yè)面左上部分的分子：

?IT × Gsp = （0.02 × IR x 21） ÷ （0.67× IR），

其中

IR是閥的額定電流，可以從公式中抵消。

現(xiàn)在

?IT Gsp=（0.02×21）×0.67

?IT Gsp = 0.63英寸/秒

如果我們假設(shè)伺服回路已經(jīng)在不穩(wěn)定性發(fā)生之前調(diào)整到允許的最大值，則fsys設(shè)置為fmax，因此可以估算誤差：

?xp = ?IT Gsp÷2 ’ fsys

但是由于分子已經(jīng)被求值：

?xp = 0.63÷（2′×1.8），

?xp=±0.055 in

這樣，我們可以預(yù)期該系統(tǒng)的長(zhǎng)期定位能力約為0.055 in。

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