一、前言

計算機最喜歡的數(shù)字就是 0 和 1，在 CPU 的世界中，它只認識這兩個數(shù)字，即使是強大的操作系統(tǒng)，也都是由 0 和 1 組成的。

作為一名軟件開發(fā)者，入門學習的內(nèi)容可能就是認識這 2 個既簡單、又強大的數(shù)字。但是大部分人，對于二進制、二進制計算、原碼、反碼以及補碼的認識，仍處于機械的強制記憶階段。尤其是對一些編碼和計算，仍然處于模糊的認識階段，例如：

CPU 是如何表示負數(shù)的？

為什么補碼可以用來表示負數(shù)？

一個 8 位的二進制數(shù)，最小值為什么是 -128，而不是 -127？

CPU 中的加法器，為什么可以連同符號位一起運算？

這篇文章我們就來聊聊這個最最基礎的內(nèi)容，幫助你來理解二進制計算的相關(guān)內(nèi)容，看完這篇文章之后，不僅知其然，更能知其所以然！

PS： 這里有點高調(diào)了，最終的所以然部分，應該涉及到數(shù)學證明這一層次了，本文并不會涉及到求證過程。

二、從十進制到二進制1. 十進制

作為數(shù)學計算能力強大的中國，10 以內(nèi)的加減法，應該是在幼兒園階段就完成了。如果你不屬于這個范圍，說明你上的是假幼兒園。

我們來快速復習一下關(guān)于十進制運算的一些基本知識：

每一個數(shù)位上包括的數(shù)字為 0 到 9；

每一個數(shù)位上的數(shù)，是它右側(cè)數(shù)位的 10 倍；

兩個數(shù)相加時，相同數(shù)位上的數(shù)相加之和如果大于等于 10，就向前進 1 位，即：滿十進一；

具體來看就是：

從右數(shù)第一個位數(shù)（個位）上的數(shù)字代表多少個 1；

從右數(shù)第二個位數(shù)（十位）上的數(shù)字代表多少個 10；

從右數(shù)第三個位數(shù)（百位）上的數(shù)字代表多少個 100；

從右數(shù)第四個位數(shù)（千位）上的數(shù)字代表多少個 1000；

十進制的數(shù)，可以使用后綴字母 D 來表示，也可以省略。例如：十進制的 1234 這個數(shù)字，個位上的數(shù)是 4， 十位上的數(shù)是 3， 百位上的數(shù)是 2，千位上的數(shù)是 1（一般是從最右側(cè)的個位說起），每一個數(shù)位上的數(shù)比它右側(cè)大十倍。

十進制數(shù)據(jù)，也稱作基于十的表示法。

2. 二進制

那么對于二進制呢？直接套用上面十進制的概念，然后把 10 換成 2 即可（目前先忽略符號位）：

每一個數(shù)位上包括的數(shù)字為 0 和 1；

每一個數(shù)位上的數(shù)，是它右側(cè)數(shù)位的 2 倍；

兩個數(shù)相加時，相同數(shù)位上的數(shù)相加之和如果大于等于 2，就向前進 1 位，即：滿二進一；

具體來看就是：

從右數(shù)第一個位數(shù)上的數(shù)字代表多少個 1；

從右數(shù)第二個位數(shù)上的數(shù)字代表多少個 2；

從右數(shù)第三個位數(shù)上的數(shù)字代表多少個 4；

從右數(shù)第四個位數(shù)上的數(shù)字代表多少個 8；

記住幾個重點：二進制數(shù)中只包含 0 和 1 兩個數(shù)字，在相加時滿二進一。

在十進制中，每一個數(shù)位我們給它進行了專門的命名（個位、十位、百位。。。），但是二進制沒有類似的命名。

二進制的數(shù)，使用后綴字母 B 來表示，例如：二進制的 1111B 這個數(shù)字。

換算成十進制數(shù)就是 15（1 * 8 + 1 * 4 + 1 * 2 + 1 * 1 = 15）。

在二進制中，每一位稱為一個比特（bit），如果用 8 個 bit 來表示一個二進制數(shù)，最小值是 0000_00000，最大值是 1111_1111；

如果用 16 個 bit 來表示一個二進制數(shù)，最小值是 0000_0000_0000_0000，最大值是 1111_1111_1111_1111。（為了便于觀察，每 4 個 bit 之間，加上了分隔符）

在早期的計算機中，8 位的處理器很常見，于是就給它一個專門的名字：字節(jié)（Byte）。16 位的二進制數(shù)就是 2 個字節(jié)，也稱作：字（Word）。

3. 擴展到十六進制

原理還是相同的：直接把十進制中的 10 換成 16 即可：

每一個數(shù)位上包括的數(shù)字為 0 到 9，A 到 F；

每一個數(shù)位上的數(shù)，是它右側(cè)數(shù)位的 16 倍；

兩個數(shù)相加時，相同數(shù)位上的數(shù)相加之和如果大于等于 16，就向前進 1 位，即：滿十六進一；

具體來看就是：

從右數(shù)第一個位數(shù)上的數(shù)字代表多少個 1；

從右數(shù)第二個位數(shù)上的數(shù)字代表多少個 16；

從右數(shù)第三個位數(shù)上的數(shù)字代表多少個 256；

從右數(shù)第四個位數(shù)上的數(shù)字代表多少個 4096；

在十六進制中，需要十六個數(shù)字來表示 0 到 15 這些數(shù)字，0 到 9 比較好處理，但是從 10 到 15，我們就需要找一些記號來表示，于是人們就想到用 A，B，C，D，E，F(xiàn) 這幾個字母來分別表示 10 到 15 這個 6 個數(shù)字。

十六進制數(shù)據(jù)，使用后綴字母 H 來表示，有些場合也可以使用前綴 0x 來表示，本質(zhì)上沒有區(qū)別。例如：十六進制數(shù)字 1A2BH（或者寫作 0x1A2B）。

換算成十進制數(shù)就是 6699（1 * 4096 + 10 * 256 + 2 * 16 + 11 * 1 = 6699）。

4. 擴展到任意進制

原理仍然相同：直接把十進制中的 10 換成目標進制，例如 5 進制：

每一個數(shù)位上包括的數(shù)字為 0 到 4；

每一個數(shù)位上的數(shù)，是它右側(cè)數(shù)位的 5 倍；

兩個數(shù)相加時，相同數(shù)位上的數(shù)相加之和如果大于等于 5，就向前進 1 位，即：滿五進一；

具體來看就是：

從右數(shù)第一個位數(shù)上的數(shù)字代表多少個 1；

從右數(shù)第二個位數(shù)上的數(shù)字代表多少個 5；

從右數(shù)第三個位數(shù)上的數(shù)字代表多少個 25；

從右數(shù)第四個位數(shù)上的數(shù)字代表多少個 125；

三、從十進制加法到二進制加法1. 十進制加法

這個就不必多說了，規(guī)則只有 2 條：

兩個數(shù)，相同數(shù)位上的數(shù)字進行相加；

每一個數(shù)位上的相加結(jié)果，滿十進一；

個位上：4 + 8，結(jié)果是 12，但是十進制中沒有 12 這個數(shù)字，因此向左側(cè)的高位進1，個位就剩下：12 - 10 = 2。

十位上：7 + 2，再加上進位 1，結(jié)果是 10，但是十進制中沒有 10 這個數(shù)字，因此向左側(cè)的高位進1，十位變成：10 - 10 = 0。

百位上：1 加上進位 1，結(jié)果是 2。

2. 二進制加法

第 0 位：0 + 0 結(jié)果為 0；

第 1 位：1 + 0 結(jié)果為 1；

第 2 位：1 + 1 結(jié)果為 2，但是二進制中沒有 2 這個數(shù)字，因此需要向左側(cè)的高位進 1，于是第 2 位上就剩下 2 - 2 = 0。

第 3 位：1 + 1 等于 2，再加上進位 1，結(jié)果就是 3，但是二進制中沒有 3 這個數(shù)字，因此需要向左側(cè)的高位進 1，于是第 3 位上就剩下 3 - 2 = 1。

第 4，5，6，7位計算均是如此。

3. 十六進制加法

第 0 位：E + C，結(jié)果為 26，但是十六進制中沒有 26 這個數(shù)字，因此需要向左側(cè)的高位進 1，于是第 0 位就剩下 26 - 16 = A。

第 1 位：A + 1 等于 B，再加上進位 1，結(jié)果就是 C，十六機制中有這個數(shù)字。

四、把負數(shù)計算轉(zhuǎn)換成正數(shù)計算1. 原碼

原碼（true form）是一種計算機中對數(shù)字的二進制定點表示方法。原碼表示法在數(shù)值前面增加了一位符號位（即最高位為符號位）：正數(shù)該位為0，負數(shù)該位為1（0有兩種表示：+0和-0），其余位表示數(shù)值的大小。

例如，用 8 個 bit （8 位二進制數(shù)）來表示一個數(shù)，+11 的原碼為 0000_1011，-11 的原碼就是 1000_1011。

2. 把負數(shù)計算變成正數(shù)計算

我們都知道，CPU 中有加法器，好像從來沒有聽說過“減法器”。例如計算 5 + 8，轉(zhuǎn)換成二進制來計算：

再來計算一下減法：5 - 8，對于 CPU 來說，只會計算 5 + 8， 但是不會計算 5 - 8。

但是可以轉(zhuǎn)換一下思路，把減法變成加法 5 + （-8），這樣不就可以計算了嗎？于是計算機先驅(qū)者就發(fā)明了反碼：

正數(shù)的反碼：保持原碼不變；

負數(shù)的反碼：原碼中符號位不變，其余全部取反（-8 的原碼是 1000_1000，反碼就是：1111_0111）；

此時，就完美解決了減法問題，那么乘法（多加幾次）、除法（多減幾次）問題也就跟著解決了。至于如何從數(shù)學的角度來證明，那就要問那些數(shù)學家了！

3. 新問題：如何表示0？

我們現(xiàn)在可以小結(jié)一下反碼的表示范圍（記住：第一位是符號位）：

正數(shù)的表示范圍：0000_0000 ~ 0111_1111，也就是十進制的 +0 ~ +127 這 128 個數(shù)；

負數(shù)的表示范圍：1000_0000 ~ 1111_1111，也就是十進制的 -127 ~ -0 這 128 個數(shù)；

有沒有發(fā)現(xiàn)問題：怎么存在 +0 和 -0 這兩個數(shù)？而且他們的編碼還不一樣：+0 對應 0000_0000，-0 對應 1111_1111。

CPU 雖然就是一個傻瓜，讓它干啥就干啥，但是 CPU 最不能容忍的就是不確定性！我們都知道 +0 == -0 == 0，它們是同一個數(shù)字，但是在二進制編碼中，居然有兩個編碼來表示同一個數(shù)。

偉大的計算機先驅(qū)者又做了這樣一個決定：正數(shù)保持不變，負數(shù)整體減 1。

也就是說：符號位不變，值整體加1。

這樣就成功解決了 -0、+0 的問題！

現(xiàn)在 一個 8 位的二進制就可以表示的范圍是：-128 ~ 127，并且中間沒有任何重復、遺漏的數(shù)字。

既然每一個二進制表示的值發(fā)生了變化，那么繼續(xù)稱之為反碼就不準確了，此時給它們一個新的稱呼：補碼。

小結(jié)一下補碼的定義：

正數(shù)的補碼：保持原碼不變；

負數(shù)的補碼：原碼中符號位不變，其余先全部取反，然后再加1（例如：-8 的原碼是 1000_1000，補碼就是 1111_1000）；

此時，我們僅僅是解決了二級制編碼的表示問題，那么：補碼能直接參與運算嗎？運算結(jié)果會出現(xiàn)什么問題？

4. 補碼的計算

我們先看一下這個問題：假設現(xiàn)在時間是 1 點整，但是你的手表進水了，它顯示的是 3 點整，現(xiàn)在你怎么把時間調(diào)整到 1 點的位置？

方法1：把時針逆時針撥動 2 個小時（3 - 2 = 1）；

方法2：把時針順時針撥動 9 個小時到 12 點，然后再撥動 1 個小時（3 + 10 = 1）；

對于時鐘表盤來說，每 12 個小時為一圈，可以認為：-2 == 10，-1 = 11， -3 = 9，同樣的：-2 == 10， -2 == 22， -2 == 34，。。。

可以看到規(guī)律是：-2、10、22、34 這些數(shù)字對 12 取模都得到同一個數(shù)（取正數(shù)），在數(shù)學上，兩個整數(shù)除以“同一個整數(shù)”，若得相同余數(shù)，則這兩個整數(shù)同余。

表盤中的 12 就是這個“同一個整數(shù)”，可以看到這是一個可“溢出”的系統(tǒng)，-2、10、22、34 這幾個數(shù)在表盤上表示的是一樣的數(shù)，所以說這幾個整數(shù)同余。

也就是說：在計算的時候，可以用 10、22、34 這幾個數(shù)字來替換 -2，替換之后的計算結(jié)果是相同的。

那么對于一個 8 位 的二進制數(shù)來說，最多只有 8 位，在計算過程中，如果最高位產(chǎn)生了進位，就會被丟棄，所以它也是一個可“溢出”的系統(tǒng)。那么這里的“同一個整數(shù)”是多少呢？

從前面的內(nèi)容中可以看到，使用補碼表示的 8 位二進制數(shù)表示的范圍是 -128 ~ 127，一共是 256 個數(shù)，所以如果對 256 取模，得到相同的余數(shù)，那么這些數(shù)就是同余數(shù)。

例如：-2 和 254 對 256 取模，得到相同的余數(shù)，因此它倆就是同余數(shù)，那么在計算的時候，就可以用 254 來代替 -2。

那么我們通過計算 3 + （-2） 來驗證一下。

（1） 利用同余數(shù)來計算

3 + （-2） == 3 + 254 = 257

257 超過了最大的表示范圍，所以溢出，結(jié)果就是 257 對 256 取模，結(jié)果為 1。

（2） 直接用補碼來計算

3 的補碼是 0000_0011，-2 的補碼是 1111_1110，在計算的時候，把符號位也參與運算：

結(jié)果也是 1，也就是說：

在二進制計算中，使用補碼來計算，“天然”就滿足了“同余定理”。

細心的讀者可能已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了：-2 的二進制補碼表示，與 254 的二進制自然表示，它們的形式是一樣的！

這種“天然”性，是巧合？還是計算機前輩的設計結(jié)果？！

五、總結(jié)這篇文章，我們探討了計算機系統(tǒng)的軟件基石：二進制系統(tǒng)，主要的目的是幫助你理解二進制的表示、計算方式。

希望你看完之后能夠豁然開朗！如果對您的理解有幫助的話，請轉(zhuǎn)發(fā)給身邊的技術(shù)小伙伴，共同成長！

編輯：jq