在1930年代，Hendrik Wade Bode創(chuàng)造了一種直觀的增益/相位方法，以電路的穩(wěn)定性為唯一目標(biāo)。這變成了現(xiàn)在所謂的波特圖，一種直觀地圖形顯示電路或放大器的增益、相位和反饋系統(tǒng)隨頻率的變化。

鑒于其有用性和重要性，讓我們花一些時間應(yīng)用波特穩(wěn)定性分析技術(shù)來研究開環(huán)放大器和電路反饋因子大小，單位為分貝（dB）和相位響應(yīng)（以度為單位）。本博客將探討這些概念，并建議當(dāng)您的主要目標(biāo)是頻率穩(wěn)定性時如何避免設(shè)計“鶯鶯”電路。

要練習(xí)此技術(shù)，您可以從在線Digi-Key 創(chuàng)新手冊中的資源下載波特圖的可打印版本。

單極波特圖

單極電路的配置允許直流V在直接轉(zhuǎn)到 V 的信號 外 ，而在較高的輸入頻率下，V外等于零分貝 （dB）。波特圖的構(gòu)造很簡單。y 軸單位是對數(shù)頻率，線性 x 軸是以分貝為單位的增益或以度為單位的相位。在設(shè)計波特圖時，您可以應(yīng)用大量公式，但讓我們切入快速求解方法。

波特圖的簡單之處在于，繪制圖形只需要一個直邊工具和一些規(guī)則的知識（圖 1）。

圖 1：說明幅度和相移的單極點波特圖使用直線來說明電路的頻率和相位響應(yīng)。（圖片來源：邦妮·貝克）

圖1中的兩個曲線表示單極點電阻/電容對的頻率與增益和相位的關(guān)系。頂部和底部圖的 x 軸頻率范圍為 1 赫茲 （Hz） 到 10 兆赫茲 （MHz）。頂部圖 y 軸范圍為 0 分貝 （dB） 到 100 dB，1 Hz 信號值等于 100 dB。該值與 100，000 x V 的增益因數(shù)一致 在 .藍(lán)色曲線是單極點在f處的增益響應(yīng)P或 100 Hz，其中 R 等于 159 千歐姆 （kΩ），C 等于 10 納法拉 （nF）。

當(dāng)頻率超過極點頻率（f P ），藍(lán)色曲線以 -20 dB/十倍頻程或 -6 dB/倍頻程速率下降。該衰減率是要記住的第一個波特圖經(jīng)驗法則：電路中的每個極點都以-20 dB/十倍頻程的速率下降，從極點頻率開始。因此，如果兩個極點衰減 V外在相同的頻率范圍內(nèi)，衰減率為-40 dB/十倍頻程。

圖1底部圖表示該單極點電路的相位。在 1 Hz 時，R/C 網(wǎng)絡(luò)的相位為 0 度 （°）。在十年前 f P ，或在本例中為 10 Hz，單極相位開始以 -45°/十倍頻程下降，朝其 -90° 目標(biāo)方向下降。

有幾條規(guī)則適用于極點的相位響應(yīng)。極點電路的第二個波特圖經(jīng)驗法則是相位在f處等于-45° P .第三和第四個波特圖規(guī)則描述了衰減和完成的相位點。單極相位在極點頻率前十年開始下降（f P ），最終在十年后安定下來。P在-90°。

單零波特圖

單零波特圖反映了單極波特圖的相反規(guī)則。R和C的位置以相同的值切換，以防止DC V在電壓，同時允許更高的頻率通過電容器（圖 2）。

圖 2：說明幅度和相移的單零波特圖。（圖片來源：邦妮·貝克）

當(dāng)頻率增加超過 f 時 Z ，藍(lán)色曲線以 +20 dB/十倍頻程上升。圖2底部圖表示該單零電路的相位。在十年前 f Z ，單零相位開始以+45°/十倍頻程的速度上升，達(dá)到其+90°目標(biāo)。零回路相位在 f 時等于 +45° Z .

為了總結(jié)圖1中的值，極點位置為f P ，以及f之后的增益幅度P具有 -20 dB/十倍頻程斜率。該相位的斜率為-45°/十倍頻程，通過f P ，相位在 0.1x f 處開始衰減P并在 10 x f 時穩(wěn)定至 -90° P .為了總結(jié)圖 2 中的值，零位置為 f Z ，以及f之后的增益幅度Z具有 +20 dB/十倍頻程斜率。該相位具有 +45°/十倍頻程斜率，通過 f Z ，相位在 0.1 x f 處開始衰減Z并在 10 x f 時穩(wěn)定至 +90° Z .

放大器開環(huán)波特圖

標(biāo)準(zhǔn)運算放大器（op-amp）產(chǎn)品的頻率操作可以在從亞赫茲到零dB截止頻率的傳遞函數(shù)中具有多個極點和零點。放大器博德圖沒有魔力；只需遵循規(guī)則（圖3）。

圖3：運算放大器的可能波德圖，顯示了幅度和相移。（圖片來源：Bonnie Baker）

圖3所示為具有兩個極點（f1和 f 2 ） 在傳遞函數(shù)中。使用兩個極點時，增益每次下降-20 dB/十倍頻程，相位總共下降到-180度。

在這一點上，我們在如何構(gòu)建波特圖方面有一個良好的開端，但讓我們繼續(xù)走向現(xiàn)實世界，其中有一個反饋系統(tǒng)。

閉環(huán)放大器系統(tǒng)穩(wěn)定性

如果您花一些時間查看運算放大器電路，您總會發(fā)現(xiàn)反饋網(wǎng)絡(luò)徘徊。經(jīng)典運算放大器反饋網(wǎng)絡(luò)具有增益正激元件（A 老 （jω））和反饋元件（β（JΩ））。

圖 4：具有前饋元件 （AOL（jω）） 和反饋元件 （β（jω）） 的經(jīng)典運算放大器反饋網(wǎng)絡(luò)。（圖片來源：邦妮·貝克）

在圖4中，運算放大器的開環(huán)增益（A 老 ）比較大，反饋因子比較小。此配置將輸出發(fā)送回反相端子，從而產(chǎn)生負(fù)反饋條件，在該條件下，該反饋使輸出處于控制之下。我們將使用β或1/β的倒數(shù)來確定運算放大器電路的穩(wěn)定性。

計算 1/β 的最簡單方法是放置一個源，稱為 V 穩(wěn)定性 ，在運算放大器的同相輸入上。這種計算策略將為確定電路的穩(wěn)定性提供極好的途徑（圖 5）。

圖 5：同相運算放大器電路 a.）和反相運算放大器電路 b.）兩者都有一個虛構(gòu)的 V穩(wěn)定性同相輸入端的電壓源，可精確計算電路的1/β系數(shù)或噪聲增益。（圖片來源：邦妮·貝克）

如果檢查圖5中的電路，會注意到從同相端子到輸出的反饋電路是相同的。V的位置穩(wěn)定性電壓源可以精確計算電路的1/β系數(shù)或噪聲增益。

1/β穩(wěn)定性分析使用 V 穩(wěn)定性 .如果假設(shè)運算放大器開環(huán)增益為無窮大，則兩個電路的傳遞函數(shù)等于：

等式 1

等式2

等式3

當(dāng)公式3的頻率分量jω等于零時：

等式 4

當(dāng)jω在公式3中接近無窮大時：

等式5

1/β 零 （f Z ） 和極點 （f P ） 是：

等式 6

公式7

符合上述規(guī)則的1/β穩(wěn)定性分析曲線的Bode圖如圖6所示。

圖6：圖5 a）和b）的1/β頻率響應(yīng)相同。零點出現(xiàn)在較低頻率，極點出現(xiàn)在較高頻率。（圖片來源：Bonnie Baker）

圖6描述了運算放大器電路的1/β或噪聲增益的頻率和相位響應(yīng)。該圖以圖形形式總結(jié)了方程4至7。方程4和5定義了DC增益和￥增益，包括在內(nèi)。等式6和7包括電路的零點和極點。圖3和圖6中的信息提供了通過定義系統(tǒng)的傳遞函數(shù)以及極點和零點的位置來建立運算放大器電路穩(wěn)定性的第一步。最后一步是將圖3和圖6疊加到一個圖中。

系統(tǒng)穩(wěn)定性測定

開環(huán)和閉環(huán)增益的交集或閉合率定義了電路的相移。通常，閉合率小于或等于30dB表示電路穩(wěn)定。大于30 dB的閉合率正在向不穩(wěn)定電路狀態(tài)移動（圖7）。

圖 7：運算放大器的 AOL 增益和相位響應(yīng)與 1/β 增益和相位響應(yīng)疊加。（圖片來源：邦妮·貝克）

在圖7中，AOL和1/β增益曲線之間的閉合速率等于40 dB。40 dB閉合速率表示相移大于135°，表示電路不穩(wěn)定。在這種配置下，180°的閉合速率會產(chǎn)生一個振蕩的電路。

上述問題有很多解決方案。電阻或電容值可以通過移動極點和零點頻率來改變。另一種選擇是選擇不同的運算放大器（圖 8）。

在不改變零點和極點頻率的情況下，使用帶寬高于圖7運算放大器的運算放大器”）圖 8：使用帶寬高于圖 7 中運算放大器的運算放大器，而不改變零點和極點頻率。（圖片來源：邦妮·貝克）

在圖8中，運算放大器帶寬高出約二十倍頻程，而無需改變1/β網(wǎng)絡(luò)。綠色虛線反映實際計算，并提供更真實的波特圖。放大器帶寬的增加將閉合速率從40 dB更改為20 dB。由此產(chǎn)生的相移現(xiàn)在為~105°，表明電路穩(wěn)定。

圖 8 中的綠色虛線超越了波特圖的標(biāo)尺和鉛筆創(chuàng)建，包括了現(xiàn)實世界的響應(yīng)。

測量電路增益和相位

測量放大器電路的增益和相位需要一個提供輸入信號的函數(shù)發(fā)生器以及一個網(wǎng)絡(luò)分析儀（圖 9）。代表是泰博爾電子 LS3081B3 GHz RF模擬掃描函數(shù)發(fā)生器。

圖5反相放大器電路的增益和相位測量配置”）圖 9：圖 5 b）的增益和相位測量配置s反相放大器電路。（圖片來源：邦妮·貝克）

在圖9中，函數(shù)發(fā)生器輸入信號的應(yīng)用發(fā)生在端口1至V處穩(wěn)定性節(jié)點。信號通過放大電路傳播到電路的輸出（V 外 ），其中網(wǎng)絡(luò)分析儀捕獲端口 2 處的信號，并將其與函數(shù)發(fā)生器的端口 1 信號進(jìn)行比較。

結(jié)論

在設(shè)計穩(wěn)定的運算放大器電路時，波特圖是添加到套件中的非常有用的工具。當(dāng)您開始查看多極點和多零點電路時，波特圖背后的功耗變得顯而易見，其中放大器開環(huán)增益和反饋網(wǎng)絡(luò)之間的閉合速率快速定義了電路的穩(wěn)定性。

雖然本博客可以通過展示在方格紙上簡單使用直邊來估計一階極點和零點電路的增益與相位來幫助掌握波特圖的使用，但最好的學(xué)習(xí)方法是練習(xí)。同樣，您可以從在線 Digi-Key 創(chuàng)新手冊中的資源下載波特圖的可打印版本。

審核編輯 黃昊宇