本節(jié)將詳細(xì)講解橢圓函數(shù)濾波器(Elliptic Function Filter/Cauer Filter)的綜合設(shè)計, 結(jié)合之前電路仿真的工作, 現(xiàn)將Elliptic濾波器集成到了濾波器設(shè)計App中, 提供一個試用版本, 并提供GitHub開源鏈接。

橢圓函數(shù)濾波器特點和用途

橢圓函數(shù)濾波器(Elliptic Function Filter或Cauer Filter, 在微波射頻中有時也稱作Achieser-Zolotarev濾波器)是Cauer于1930-1931年首先使用橢圓有理函數(shù)(Elliptic Rational Function)逼近來進(jìn)行設(shè)計的濾波器, 其特點是通帶和阻帶內(nèi)都具有等紋波特性, 對比Chebyshev濾波器其更具陡峭的截止特性, 被廣泛用于實際工程應(yīng)用之中, 比如在DDS輸出級一般會加一個橢圓函數(shù)濾波器濾除鏡像頻率分量, 但是其缺點是對器件值要求非?？量?指精度和Q值), 很多濾波器理論上可行, 但是在實際中很難實現(xiàn)。

實際上橢圓函數(shù)濾波器的阻帶紋波為零則表現(xiàn)為切比雪夫濾波器(Chebyshev I Filter)特性, 當(dāng)通帶紋波為0則表現(xiàn)為逆切比雪夫濾波器(Chebyshev II Filter)特性, 當(dāng)通帶和阻帶紋波均為0則表現(xiàn)為巴特沃斯濾波器(Butterworth Filter)特性, 橢圓函數(shù)濾波器可以說是濾波器的終極存在。

橢圓函數(shù)濾波器逼近

如何由通帶和阻帶等紋波推導(dǎo)出橢圓函數(shù)特征多項式(2)請參考《濾波器設(shè)計的逼近方法 - Butterworth, Chebyshev, Elliptic》。

橢圓函數(shù)濾波器傳遞函數(shù)

橢圓函數(shù)濾波器的幅頻響應(yīng)傳遞函數(shù)為:

橢圓函數(shù)濾波器傳遞函數(shù)是從其定義推導(dǎo)而來, 即從通帶和阻帶都等紋波出發(fā), 推導(dǎo)出橢圓函數(shù)濾波器的特征函數(shù)表達(dá)式滿足如下關(guān)系：

式中是雅可比橢圓函數(shù),即通帶頻率和阻帶頻率的比值,即通帶紋波和阻帶紋波的比值(注意這里紋波是線性坐標(biāo)下的值,), 其中和由階方程(degree equation)聯(lián)系：

可以看到這個公式(2)和切比雪夫多項式

類比具有相同的形式, 實際上切比雪夫濾波器就是橢圓函數(shù)濾波器的特殊情況, 即當(dāng)阻帶紋波無窮大和阻帶頻率無窮大的特殊情況。

同樣的當(dāng)?shù)耐◣Ъy波為0, 且通帶頻率也為0, 即時, 可以得到逆切比雪夫濾波器。

當(dāng)?shù)耐◣Ъy波為0, 阻帶紋波為無窮大, 且通帶頻率為0, 且阻帶頻率為無窮大, 也即時, 可以得到逆切比雪夫濾波器。

下圖顯示了三種濾波器在相同階數(shù), 相同截止頻率下的動圖展示：

橢圓到切比雪夫濾波器,從60dB變到1000dB動圖:

橢圓到逆切比雪夫濾波器,從3dB變到0.000001dB動圖:

橢圓到巴特沃斯濾波器,從60dB變到1000dB且從3dB變到0.000001dB動圖:

橢圓函數(shù)濾波器的零極點

橢圓函數(shù)濾波器的極點可以通過求解傳遞函數(shù)分母為0求解:

其中，是濾波器階數(shù)。橢圓函數(shù)濾波器的零點和的極點相同, 這也比較容易理解, 設(shè), 代入頻率響應(yīng)表達(dá)式, 通分后得到其零點和的一樣, 在復(fù)平面中找到對應(yīng)的極點位置得到:

濾波器零極點分析工具可以對各種不同濾波器進(jìn)行零極點分析, 源碼見, 下圖是橢圓函數(shù)濾波器參數(shù)變化時濾波器的零極點和頻響變化仿真結(jié)果:

下圖是不同類型濾波器零極點對比圖:

可見橢圓函數(shù)濾波器的極點形狀不是一個橢圓, 所以之前的猜想并不正確, 橢圓函數(shù)濾波器得名并不是由于其極點形狀是一個橢圓, 而是于其衰減特性可以由雅可比橢圓函數(shù)來描述。濾波器名稱由特征函數(shù)決定, 可以看到以后討論的貝塞爾濾波器、高斯濾波器、勒讓德濾波器均是依據(jù)特征函數(shù)或傳遞函數(shù)來得名的。

下圖是濾波器在-平面的曲線圖，從中可以看到4階橢圓函數(shù)濾波器的零極點的分布情況(注意這個并不能直接通過電路綜合，需要莫比烏斯變換后才能綜合，見下文)：

由衰減確定濾波器階數(shù)

橢圓函數(shù)濾波器的參數(shù)由如下圖所示(,)：

橢圓函數(shù)濾波器階數(shù)和濾波器的衰減參數(shù)由階方程決定, 階方程將橢圓函數(shù)濾波器的階數(shù), 紋波以及通帶阻帶頻率聯(lián)系起來了, 其底層原理是由于在解橢圓積分方程中需要讓虛部周期相同,實部周期呈整數(shù)倍,這樣才能滿足通帶和阻帶等紋波。階方程的數(shù)值計算用到了蘭登變換(Landen Transform，鏈接提供了多種計算方法), 現(xiàn)在有現(xiàn)成的迭代方法可以求解, Matlab中可以使用ellipdeg函數(shù)求解。

上式是已知通帶阻帶頻率, 通帶阻帶紋波求階數(shù), 其值可能是個小數(shù), 需要向上取整, 取整后還需要再使用一次階方程求解出對應(yīng)的值。

這里也給出階方程的直接求解方法(也是雅可比所提出的模方程, Matlab中也使用了此算法)：

這里給出一個匹配型3階橢圓函數(shù)濾波器設(shè)計實例：

非匹配型橢圓函數(shù)濾波器設(shè)計

非匹配型橢圓函數(shù)濾波器傳遞函數(shù)為:

其傳遞函數(shù)的零極點和匹配型濾波器的相同，不同的在于特征函數(shù)零點，依據(jù)特征函數(shù)定義，并令其等于0可以求得零點為:

其中為虛數(shù),為雅可比橢圓反正弦函數(shù),為通帶紋波,為濾波器階數(shù),為增益因子, 和之前有效衰減一樣:

通過以上求解可以得到計算出濾波器輸入阻抗，同逆切比雪夫濾波器設(shè)計一樣，由零點移除技術(shù)可以綜合出所需要的電路網(wǎng)絡(luò)。

這里給出一個非匹配型3階橢圓函數(shù)濾波器設(shè)計實例：

偶數(shù)階橢圓函數(shù)濾波器設(shè)計

偶數(shù)階橢圓函數(shù)濾波器為什么和奇數(shù)階濾波器設(shè)計獨立開來的原因與之前Chebyshev濾波器設(shè)計一樣, 也是由于0頻率處衰減有個和紋波一樣的衰減, 以及無窮頻率處衰減不為0所導(dǎo)致的, 解決此問題的辦法就是使用頻率變換, 即雙線性變換(也稱為莫比烏斯變換, M?bius transformation):

基本原則是:

當(dāng)時,,是偶數(shù)階橢圓函數(shù)濾波器的第一個紋波最高點位置所對應(yīng)的頻率。

當(dāng)時,。

當(dāng)時,,是偶數(shù)階橢圓函數(shù)濾波器的最后一個零點位置所對應(yīng)的頻率。

通過以上條件得到:

其中：

這里給出一個匹配型4階橢圓函數(shù)濾波器設(shè)計實例：

不同濾波器通帶類型之間的轉(zhuǎn)換

只要有了低通原型, 其他濾波器通帶類型之間的轉(zhuǎn)換同Butterworth濾波器。

橢圓函數(shù)濾波器設(shè)計軟件

基于Matlab的appdesign工具開發(fā)了一套橢圓函數(shù)濾波器設(shè)計軟件,主要特點是：

支持橢圓函數(shù)濾波器(Elliptic Function Filter)、支持切比雪夫濾波器(Chebyshev I)、逆切比雪夫濾波器(Chebyshev II, Inverse Chebyshev)、巴特沃斯濾波器(Butterworth)設(shè)計

支持4種不同濾波器通帶類型(LPF,HPF,BPF,BRF)設(shè)計

T型和PI型結(jié)構(gòu)濾波器隨意切換

可以設(shè)置阻帶衰減決定濾波器階數(shù)

可以設(shè)置通帶衰減來綜合濾波器

可以隨意配置負(fù)載和終端阻抗, 并支持一端接載(源端電阻短路, 源端電流源, 終端開路, 終端短路)設(shè)計

可以幅頻響應(yīng)分析、零極點分析、瞬態(tài)分析

可以顯示理想頻率響應(yīng)、零極點和實際仿真的的頻率響應(yīng)、零極點

可以支持實際標(biāo)準(zhǔn)器件逼近設(shè)計

Elliptic LPF設(shè)計舉例

設(shè)計一款-3dB截止頻率為1GHz,阻帶紋波為60dB，通帶紋波1dB的7階低通Elliptic濾波器，輸入輸出阻抗為50歐姆，設(shè)計過程如下：

最終設(shè)計參數(shù)如下：

零極點仿真結(jié)果：

Elliptic BPF設(shè)計舉例

設(shè)計6階帶通Elliptic濾波器, 通帶紋波為0.1dB, 阻帶衰減為70dB, 中心頻率為1GHz，帶寬為500MHz，50歐姆輸入，輸出阻抗為高阻，最后進(jìn)行瞬態(tài)仿真，設(shè)計過程如下：

最終設(shè)計參數(shù)如下：

瞬態(tài)仿真結(jié)果：

程序的Matalb源碼已經(jīng)上傳GitHub中(https://github.com/etools361/MatlabEllipticFilterDesignApp)，有興趣的同學(xué)可以下載試用體驗，當(dāng)然也歡迎技術(shù)交流。

審核編輯：湯梓紅