本文翻譯自關(guān)于高斯濾波器響應(yīng)和逼近的文章(1959)，作為早期高斯濾波器的實(shí)現(xiàn)相關(guān)論文，分析和設(shè)計(jì)方法非常經(jīng)典，值得精讀。

英文原文。

關(guān)于高斯濾波器的響應(yīng)和逼近(On the Response and Approximation of Gaussian Filter)

摘要

本文討論了一種濾波器，其幅頻響應(yīng)特性為，其中是頻率的函數(shù)，是與濾波器帶寬相關(guān)的常數(shù)。該濾波器的幅度響應(yīng)曲線具有高斯概率函數(shù)的形狀，結(jié)果表明，相位響應(yīng)曲線基本上是線性的。以前的研究人員已經(jīng)表明，這種濾波器具有出色的瞬態(tài)特性，從某種意義上說，它是瞬態(tài)信號(hào)的最佳濾波器。本文討論了其對(duì)脈沖和階躍函數(shù)的響應(yīng)。給出了一種設(shè)計(jì)高斯濾波器的逼近方法，并給出了這種高斯濾波器逼近的實(shí)際響應(yīng)測(cè)試結(jié)果。

I. 介紹

對(duì)于任何輸入波形，當(dāng)網(wǎng)絡(luò)輸出的波形與輸入的波形相同時(shí)，可以說網(wǎng)絡(luò)具有理想的瞬態(tài)響應(yīng)。只有純電阻網(wǎng)絡(luò)才有這樣的響應(yīng)。一個(gè)濾波器，就其應(yīng)用本質(zhì)而言必須是具有非恒定頻率響應(yīng)的，所以是不能具有這樣理想的響應(yīng)。濾波器的帶寬越窄，其瞬態(tài)響應(yīng)的失真就越大。因此，具有最小幅度響應(yīng)展寬(amplitude-response spread)和波形失真(distortion)組合的濾波器可稱為瞬態(tài)“最佳”濾波器。

此處選擇脈沖函數(shù)和階躍函數(shù)作為代表性輸入波形來描述高斯濾波器的特性，因?yàn)椋?) 這些是瞬態(tài)分析相關(guān)文獻(xiàn)中最常討論的函數(shù)，2) 一旦已知脈沖或階躍響應(yīng)，線性濾波器對(duì)任何波形的響應(yīng)都可以通過疊加定理獲得。如果帶通濾波器相對(duì)于其中心頻率具有低通模擬和相對(duì)較窄的帶寬，則可以假設(shè)帶通濾波器對(duì)濾波器中心頻率處的波的包絡(luò)響應(yīng)與模擬低通濾波器對(duì)具有包絡(luò)形狀的波的響應(yīng)相同。為方便起見，本文主要考慮低通高斯濾波器的響應(yīng)。然而，結(jié)果也適用于上述條件下的帶通高斯濾波器。附錄Ⅱ描述了一個(gè)實(shí)用的高斯帶通濾波器的設(shè)計(jì)。

低通高斯濾波器的頻率響應(yīng)特性可以由下式定義：

其中是與帶寬相關(guān)的常數(shù)。這種濾波器的頻率響應(yīng)曲線的形狀如圖1所示，與高斯概率分布曲線相同。如下所示，高斯濾波器具有出色的瞬態(tài)響應(yīng)特性，并且可以相對(duì)容易地進(jìn)行函數(shù)逼近。

圖1 高斯響應(yīng)曲線

II. 脈沖響應(yīng)

如果式(1)的低通高斯濾波器的輸入信號(hào)是單位脈沖，則時(shí)域輸出由下式給出

其具有圖1所示的高斯形狀，與濾波器的幅度響應(yīng)特性曲線相同。通過圖2所示的帶通濾波器的脈沖響應(yīng)波形可以看到，該帶通濾波器的形狀近似為高斯曲線，其具體設(shè)計(jì)將在第 V 節(jié)中進(jìn)行描述。請(qǐng)注意，是曲線包絡(luò)具有圖1的形狀。

讓我們來定義：a) 由于濾波器而引起的脈沖失真為時(shí)間響應(yīng)展寬(time-response spread) 的均方值

圖2 帶通濾波器(圖8)的脈沖響應(yīng)示波器顯示圖

b) 濾波器的幅度響應(yīng)展寬(amplitude-response spread) 的均方值

最佳的瞬態(tài)濾波器應(yīng)該具有最小的時(shí)間和幅度響應(yīng)展寬的組合。如果最優(yōu)性標(biāo)準(zhǔn)是

或者是

其中是加權(quán)常數(shù)。具有式(5)形式的方程已由諾伯特·維納(N. Wiener, 譯注：維納是控制論創(chuàng)始人, 維納濾波器發(fā)明者)求解得到。和具有式(6)形式的方程由 A. Gabor(譯注: 這里應(yīng)該是D. Gabor即Dennis Gabor，就是大名鼎鼎的因全息技術(shù)而獲得諾貝爾獲的丹尼斯·加博爾)求解得到。

現(xiàn)實(shí)工程實(shí)踐中出現(xiàn)的許多脈沖在形狀上都非常接近高斯曲線。通過高斯濾波器后的高斯脈沖將保持其高斯形狀，但會(huì)在時(shí)間上展寬(spread out)。這可以表示如下：

讓高斯輸入脈沖由下式給出

其中是決定脈沖展寬的常數(shù)。然后

從式(1)和式(8)可以得出

然后

很明顯，任何數(shù)量的高斯濾波器級(jí)聯(lián)都將具有高斯的組合傳遞函數(shù)(combined transfer function)。

III. 階躍響應(yīng)

階躍函數(shù)是脈沖函數(shù)的積分。鑒于系統(tǒng)假定是線性的，高斯濾波器對(duì)單位階躍的響應(yīng)是此類濾波器對(duì)如式(2)所給出的單位脈沖響應(yīng)的積分，

該等式的曲線繪制在圖3中。我們所構(gòu)造的高斯帶通濾波器對(duì)中心頻率調(diào)制的階躍函數(shù)的響應(yīng)波形如圖4所示。請(qǐng)注意，曲線包絡(luò)具有圖4的形狀。圖3的響應(yīng)特性顯示無過沖(no overshoot)、無振鈴(no ringing)、無拖尾(no smear)，并且波形關(guān)于其半值點(diǎn)完全對(duì)稱。對(duì)稱性是高斯濾波器線性相位響應(yīng)的結(jié)果。此外，這意味著過渡是最陡峭的。低通高斯濾波器的(帶寬上升時(shí)間)乘積為 0.343，如果響應(yīng)有非常小或沒有過沖，這非常接近可能的最低值。此(帶寬上升時(shí)間)乘積的計(jì)算在附錄 I 中給出。簡(jiǎn)單的 RC 低通網(wǎng)絡(luò)的 (帶寬上升時(shí)間) 乘積為0.35非常接近高斯濾波器的。然而，高斯濾波器的幅頻響應(yīng)曲線的截止頻率的滾降要高得多。事實(shí)上，需要使用無限多個(gè)級(jí)聯(lián)的 RC 網(wǎng)絡(luò)才能獲得高斯響應(yīng)曲線。

圖3 高斯濾波器階躍響應(yīng)

圖4 帶通濾波器(圖8)的階躍響應(yīng)示波圖

在通帶中具有零衰減和在阻帶中具有無限衰減的矩形濾波器有時(shí)被稱為“理想”濾波器(ideal filter)。這種低通濾波器的階躍響應(yīng)是如圖5所示的函數(shù)。

圖5 矩形濾波器的階躍響應(yīng)

它有 9% 的過沖和 0.445 的 (帶寬上升時(shí)間) 乘積。因此，雖然這樣的濾波器具有比高斯濾波器更陡峭的截止頻響，但它不是瞬態(tài)的理想濾波器。此外，矩形響應(yīng)特性比高斯響應(yīng)特性更難逼近。通過巴特沃斯、切比雪夫或勒讓德多項(xiàng)式對(duì)矩形響應(yīng)特性的逼近導(dǎo)致濾波器具有比相同階數(shù)的高斯濾波器更銳的截止頻率滾降，但此類濾波器不可避免地會(huì)產(chǎn)生明顯的過沖，這主要是由于其相位響應(yīng)特性的非線性所導(dǎo)致的。

與濾波器的瞬態(tài)響應(yīng)密切相關(guān)的一個(gè)問題是濾波器對(duì)變頻率信號(hào)的響應(yīng)。對(duì)于頻率隨時(shí)間線性變化的信號(hào)，在其性能明顯改變之前，高斯濾波器的掃描速度大約是矩形濾波器掃描速度的八倍。高斯濾波器不會(huì)顯著的改變其性能的條件是，其中是以為單位的掃描速率，是以為單位的濾波器帶寬。(譯注：在頻譜分析儀中，其中的中頻濾波器就是高斯響應(yīng)濾波器，其中RBW就是在調(diào)整濾波器的帶寬)

IV. 相位響應(yīng)

我們必須在這里區(qū)分“理論”高斯濾波器和通過物理器件獲得的“可實(shí)現(xiàn)”的高斯濾波器。理論上的低通高斯濾波器是其頻響由式(1)給出的濾波器，將其重寫為

即，理論上的低通高斯濾波器對(duì)所有頻率都具有零相移。由于我們通常不能同時(shí)規(guī)定物理上可實(shí)現(xiàn)的傳遞函數(shù)的相位和幅度，我們最多可以讓

并檢查相位函數(shù)是否存在使得

能在物理上實(shí)現(xiàn)。

可以證明，式(13)的幅度響應(yīng)函數(shù)不可能附加相位函數(shù)，因?yàn)槭?13)不滿足佩利-維納準(zhǔn)則(Paley-Wiener criterion)：

圖1和圖3也顯示了為什么不存在這樣的相函數(shù)。注意到，高斯濾波器對(duì)在處所施加的脈沖或階躍函數(shù)的時(shí)間響應(yīng)從開始。顯然，物理網(wǎng)絡(luò)不是預(yù)測(cè)器，即在施加激勵(lì)之前它可能沒有任何響應(yīng)。因此，如果響應(yīng)要從而不是開始，則有必要將響應(yīng)延遲無限長(zhǎng)的時(shí)間。同樣的問題出現(xiàn)在任何銳截止濾波器中，包括圖5的矩形濾波器。然而，下面將顯示高斯濾波器的相位響應(yīng)可以假定為線性的。

一種低通高斯濾波器的逼近方法是使用大量具有級(jí)聯(lián)放大器的低通 RC 網(wǎng)絡(luò)。這樣一系列相同級(jí)的相位函數(shù) (濾波器的-截止點(diǎn)為其) 是

其中是表示級(jí)數(shù)的整數(shù)。對(duì)于

式(16)變?yōu)?/p>

即相位響應(yīng)是線性的，斜率為。當(dāng)時(shí)，幅度響應(yīng)接近高斯函數(shù)式(13)，相位響應(yīng)接近完美線性和無限的斜率值。

當(dāng)使用伯德圖時(shí)，會(huì)得到類似的結(jié)果。任何頻率的相角由給出，即

其中是以奈培(neper)為單位相對(duì)應(yīng)于的衰減。

其中

因此有:

這是無法實(shí)現(xiàn)的。通過集總物理元件構(gòu)建的任何濾波器的頻率響應(yīng)可以表示為以為變量多項(xiàng)式的比率。

在極高頻率下，只有具有最大指數(shù)的項(xiàng)才有效，即，對(duì)于極高頻率，幅度響應(yīng)由下式給出

其中是高頻極限下有效元件的數(shù)量。

通過集總物理元件實(shí)現(xiàn)的高斯濾波器的幅度響應(yīng)，無論怎么逼近，都將在高頻極限由式(21)而不是式(19)給出?，F(xiàn)在假設(shè)一個(gè)可實(shí)現(xiàn)的低通高斯濾波器的幅度響應(yīng)由式(19)給出，直到頻率，該頻率遠(yuǎn)高于任何感興趣的頻率，并且對(duì)于所有超過的頻率，由式(21)給出。忽略過渡區(qū)域，則式(18)可以寫成

因此，隨著濾波器逼近于高斯濾波器的區(qū)域增加，相位響應(yīng)線性區(qū)域及其斜率也增加。

線性相位響應(yīng)是我們所希望的，因?yàn)閷?duì)于給定的幅度響應(yīng)特性，它會(huì)產(chǎn)生最小的瞬態(tài)失真，因?yàn)榫€性相位響應(yīng)意味著每個(gè)頻率分量的時(shí)間延遲都相等。一般而言，期望相位響應(yīng)線性度最好延伸超過幅度響應(yīng)曲線下面積的 90% 以上，這對(duì)于高斯曲線來說大約是12dB的范圍。

圖6顯示了測(cè)試的濾波器的相位響應(yīng)，其中也顯示了幅度響應(yīng)?？梢钥闯?，線性相位延伸到了重要的低衰減區(qū)域以外。該濾波器的脈沖響應(yīng)和階躍響應(yīng)的波形如圖2和4所示。這些響應(yīng)的對(duì)稱性證實(shí)了相位響應(yīng)線性度延伸到頻率響應(yīng)特性的相當(dāng)大的部分。

圖6 濾波器(圖8)的幅頻和相頻響應(yīng)

V. 逼近和實(shí)現(xiàn)

如第 IV 節(jié)所描述的，高斯濾波器可能僅以無限延遲為代價(jià)才能實(shí)現(xiàn)，因此需要無限數(shù)量的元件。這也是其他銳截止濾波器的情況，例如矩形濾波器。然而，高斯濾波器在最重要的區(qū)域 (即低衰減頻帶) 上相對(duì)容易逼近。許多研究者建議使用一系列 RC 低通網(wǎng)絡(luò)和放大器級(jí)聯(lián)以逼近高斯形狀，但這并不代表放大器級(jí)的最有效的利用。

如果使用更有效的級(jí)間耦合網(wǎng)絡(luò)，則可以用更少的級(jí)來逼近高斯濾波器。Wente提出了一種方便的方案，如圖7所示的串聯(lián)峰化(series-peaking)類型濾波器。除其他優(yōu)點(diǎn)外，它具有簡(jiǎn)單的低通模擬電路結(jié)構(gòu)。

圖7 Wente提出的串聯(lián)峰化網(wǎng)絡(luò)。(a) 低通 (b) 帶通

假設(shè)需要通過5級(jí)級(jí)聯(lián)進(jìn)行逼近，然后網(wǎng)絡(luò)元件值最好通過高斯函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開來獲得，如下所示：

1) 設(shè)要實(shí)現(xiàn)的高斯濾波器的幅度響應(yīng)為

其中對(duì)于低通濾波器：，對(duì)于帶通濾波器：

是與帶寬相關(guān)的常數(shù)。

2) 對(duì)高斯函數(shù)的平方冪級(jí)數(shù)展開直到 20 次方：

是可實(shí)現(xiàn)函數(shù)。它的分母是，它的所有極點(diǎn)都在左半平面。

3) 利用以下關(guān)系找到：

代入，并僅使用平面左半部分的因子，得出

和的值可以從式(24)和式(25)中獲得。高斯函數(shù)逼近于的具體實(shí)現(xiàn)，如式(26)中給出的，即，乘積通過圖7所示類型電路的5個(gè)級(jí)聯(lián)得到5個(gè)左半平面多項(xiàng)式。

4) 通過比較式(26)的每個(gè)多項(xiàng)式因子與圖7網(wǎng)絡(luò)的傳輸方程，從而獲得每個(gè)級(jí)間網(wǎng)絡(luò)的元件值。

從式(25)可以得到，第1-3級(jí)具有單調(diào)下降的幅頻響應(yīng)，而第4和5級(jí)具有雙峰幅頻響應(yīng)。附錄II給出了5級(jí)帶通逼近高斯濾波器的設(shè)計(jì)方程。(該濾波器的原理圖如圖8所示，其測(cè)得的頻率和相位響應(yīng)如圖6所示)。上述冪級(jí)數(shù)逼近如圖9的曲線(d)所示。曲線(a)是理論的高斯曲線。曲線(b)是歸因于湯姆遜(Thomson)，他的逼近基于最大平坦時(shí)間延遲響應(yīng)。曲線(c)歸因于Wente，他使用了圖7(a)中所示的5個(gè)電路級(jí)聯(lián)，每個(gè)級(jí)的值為。冪級(jí)數(shù)展開給出了對(duì)高斯形狀的最佳逼近，如圖9所示。

圖8 高斯帶通濾波器的5級(jí)逼近電路圖

圖9 高斯響應(yīng)逼近: (a) 理想高斯濾波器曲線 (b) 湯姆遜逼近 (c) Wente逼近 (d) 冪級(jí)數(shù)逼近

VI. 結(jié)論

已經(jīng)表明，高斯濾波器具有優(yōu)異的瞬態(tài)特性，這可以從其脈沖和階躍響應(yīng)以及其對(duì)可變頻率信號(hào)的響應(yīng)中得到證明。它還具有線性相位響應(yīng)、相當(dāng)尖銳的幅頻截止響應(yīng)，并且相對(duì)容易逼近，這一點(diǎn)可以從5個(gè)級(jí)間耦合網(wǎng)絡(luò)的逼近值降到約45dB的事實(shí)中得到證明。

附錄 I

高斯濾波器的 (帶寬上升時(shí)間) 乘積

低通高斯濾波器頻率響應(yīng)由下式給出

根據(jù)3dB帶寬求解，可以得到：

對(duì)于低通高斯濾波器，單位階躍響應(yīng)由式(11)給出

此函數(shù)以如下形式列出

如果我們令，我們得到與式(28)相同形式的式(11)，即

以表示的 (0.1 到 0.9) 上升時(shí)間為 2.6，并且

然后 (帶寬上升時(shí)間) 乘積

附錄 II

帶通濾波器逼近的設(shè)計(jì)公式

逼近值由式(26)給出

是根據(jù)的獲得的，如下所示：從式(23)

其中是帶通濾波器的中心頻率，是3dB帶寬。

式(26)現(xiàn)在可以寫成以下形式

和的值作為(電路級(jí)編號(hào)) 的函數(shù)是從式(24)、(25)和(32)中獲得的，如下表所示：

圖7(b)電路網(wǎng)絡(luò)的等效電路如圖10所示

圖10 圖7(b)電路網(wǎng)絡(luò)的等效電路圖

經(jīng)過以下變換后：

圖10網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)由下式給出

其中和和與通常定義的一樣，分別指的是和(圖10) 。

現(xiàn)令式(33)和式(36)的系數(shù)相等，即

如果圖7所示管子的參數(shù)是電子管在陽極電流時(shí)的參數(shù)，則每級(jí)在的增益取為，并且同時(shí)聯(lián)立以上方程，需要的設(shè)計(jì)方程為：

其中

其中是在的值。

和已給出。我們現(xiàn)在有 9 個(gè)未知數(shù)：和和以便包含和的調(diào)諧電路在處諧振。在剩下的 7 個(gè)未知數(shù)中，3 個(gè)可以由設(shè)計(jì)者選擇，另外 4 個(gè)從式(38)到式(42)獲得。

建議選擇和而不是其他變量。和是最昂貴的元件，而是對(duì)每級(jí)增益至關(guān)重要的元件。例如，在整個(gè)濾波器 (或整個(gè)濾波器組，如在頻譜分析儀中) 中選擇相同的和是可能的，也是可取的。通常，每個(gè)級(jí)所需的和會(huì)有所不同，但這些可以很容易地通過額外串聯(lián)或并聯(lián)的電阻來進(jìn)行調(diào)整。

審核編輯：湯梓紅