頻域分析原理

頻域分析最被大眾所熟知的可能是卡拉OK的音頻頻譜顯示，這里貼一個(gè)來自AVR單片機(jī)的項(xiàng)目 ，其中就用到了FFT來對(duì)語音信號(hào)進(jìn)行分析：

視頻中橫坐標(biāo)為頻率，縱坐標(biāo)為功率，而且能夠?qū)崟r(shí)的反映出語音的頻譜。

FFT是DFT(離散傅里葉變換)的加速算法，最早是由Cooley和Tukey在1965年提出 ，這里面用了很多的技巧，其方向是如何減小計(jì)算過程中所需要的乘法運(yùn)算，另外FFT一次可以計(jì)算N個(gè)點(diǎn)，而且隨著N的增大，F(xiàn)FT優(yōu)勢就會(huì)非常明顯。DFT復(fù)雜度(按乘法數(shù)量來計(jì)算)是 ，而FFT復(fù)雜度是 ，參考 .

這里簡單的理解下DFT，假設(shè)我們有一個(gè)待測數(shù)字序列A（A序列是以fs采樣的N點(diǎn)信號(hào),采樣間隔為ts），假設(shè)此序列中暗含一個(gè)頻率為fa的正弦波信號(hào)，但是此暗含的信號(hào)幅度和相位我們并不知道是多少，現(xiàn)在我們的目標(biāo)是求出此信號(hào)的的幅度和相位信息。

我們可以使用信號(hào)相關(guān)來解決此問題 ，構(gòu)造2個(gè)頻率均為fa，幅度均為1的正弦和余弦序列B和C，然后用這兩個(gè)序列分別和A序列相乘，然后濾波，最后輸出的兩個(gè)信號(hào)就可以求出幅度和相位，假設(shè)A序列中含有非fa頻率的信號(hào)，相乘濾波后幅度為0，表示此序列中的非fa頻率信號(hào)都將被濾除，最后結(jié)果就只有和fa頻率相關(guān)信號(hào)被保留下來。

使用公式描述即：

A信號(hào)序列為：

B信號(hào)序列為:

C信號(hào)序列為:

則兩個(gè)輸出且濾波(信號(hào)求平均)后的結(jié)果是：

通過這兩個(gè)信號(hào)就可以求出X[i]中所含fa信號(hào)的幅度和相位：

式中，當(dāng)i=N時(shí)，正弦信號(hào)和余弦信號(hào)相位需要是 的整數(shù)倍，這樣濾波器剛剛好將其他頻率的信號(hào)完全濾除掉，也就是說不會(huì)出現(xiàn)頻譜泄露，所以有： 將上式改寫如下： 若進(jìn)行N點(diǎn)的DFT計(jì)算，只要滿足上式了，就可以保證在第k個(gè)頻率點(diǎn)出現(xiàn)信號(hào)，而不會(huì)在DFT中出現(xiàn)頻譜泄露問題。

程序驗(yàn)證

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 2% Edited by bbl
 3% Date: 2021-10-31(yyyy-mm-dd)
 4% FFT計(jì)算
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 6fa   = 200.1953125e6;     % 信號(hào)頻率，不出現(xiàn)頻譜混疊
 7% fa   = 200e6;             % 信號(hào)頻率，出現(xiàn)頻譜混疊
 8A0   = 1;                 % 信號(hào)幅度
 9fs   = 1e9;               % 采樣率
10Nfft = 1024;              % FFT點(diǎn)數(shù)
11wa   = 2*pi*fa;
12ts   = 1/fs;
13t    = 0:ts:ts*(Nfft-1);   % 構(gòu)造時(shí)間序列
14Vn   = 1e-3*randn(1,Nfft); % 構(gòu)造噪聲
15y    = A0*sin(wa*t)+Vn;    % 構(gòu)造信號(hào)序列，加入了噪聲方便觀察
16X    = fft(y, Nfft);       % 計(jì)算FFT
17Amp  = 2*abs(X)/Nfft;      % 計(jì)算幅度
18Amp_log = 20*log10(Amp);   % 幅度轉(zhuǎn)換為dB
19f    = linspace(0, fs/2, Nfft/2+1)*1e-6;
20plot(f, Amp_log(1:Nfft/2+1), '-r', 'LineWidth', 1);
21grid on;
22ylim([-100,10]);
23ylabel('Amp/dBFS');
24xlabel('freq/MHz');
25title(sprintf('FFT, fs=%0.2fM Hz, fa=%0.8fM Hz', fs*1e-6,fa*1e-6));

仿真結(jié)果：

若將fa修改為200.1953125M,得到：

波形正常.

若將fa修改為200.0000000M,得到：

出現(xiàn)了頻譜混疊.

小程序?qū)崿F(xiàn)

電路設(shè)計(jì)小工具中實(shí)現(xiàn)的是計(jì)算fa值，使得在FFT計(jì)算過程中不會(huì)出現(xiàn)頻譜泄露，當(dāng)然也可以從給定輸出頻率計(jì)算出最接近的不會(huì)出現(xiàn)頻譜泄露問題的頻率點(diǎn)。本例中是輸入200MHz，查看最接近200MHz而不出現(xiàn)頻譜泄露的頻率點(diǎn)：

也可以計(jì)算一個(gè)Bin內(nèi)的頻率帶寬：

當(dāng)然，此小程序能顯示當(dāng)前信號(hào)落在那個(gè)奈奎斯特區(qū)域：

表示fa信號(hào)落在第二奈奎斯特區(qū)域。