這篇綜合文章涵蓋了模擬濾波器的所有方面。它首先介紹基本類型：一階和二階濾波器、高通和低通濾波器、陷波和全通濾波器以及高階濾波器。然后，本教程介紹了不同實(shí)現(xiàn)的特性，例如巴特沃茲濾波器、切比切夫?yàn)V波器、貝塞爾濾波器、橢圓濾波器、狀態(tài)變量濾波器和開(kāi)關(guān)電容濾波器。

介紹

易于使用，集成式開(kāi)關(guān)電容濾波器對(duì)許多應(yīng)用具有吸引力。本文通過(guò)描述濾波器產(chǎn)品并解釋控制其操作的概念來(lái)幫助您為此類設(shè)計(jì)做好準(zhǔn)備。

從一個(gè)簡(jiǎn)單的積分器開(kāi)始，我們首先開(kāi)發(fā)一種直觀的有源濾波器方法。然后，我們介紹了狀態(tài)變量濾波器及其開(kāi)關(guān)電容形式的實(shí)現(xiàn)等實(shí)際實(shí)現(xiàn)。本文介紹的具體集成濾波器包括Maxim的MAX7400系列高階開(kāi)關(guān)電容濾波器。

一階濾波器

積分器過(guò)濾器

積分器（圖1a）是數(shù)學(xué)上最簡(jiǎn)單的濾波器，它構(gòu)成了大多數(shù)現(xiàn)代集成濾波器的構(gòu)建模塊。考慮一下我們對(duì)集成商的直觀了解。如果在輸入端施加直流信號(hào)（即零頻率），輸出將描述一個(gè)線性斜坡，該斜坡的幅度不斷增長(zhǎng)，直到受到電源的限制。忽略該限制，積分器在零頻率下的響應(yīng)是無(wú)限的，這意味著它在零頻率下有一個(gè)極點(diǎn)。（極點(diǎn)存在于傳遞函數(shù)的值變?yōu)闊o(wú)窮大的任何頻率下。

我們還知道，積分器的增益隨著頻率的增加而減小，并且在高頻下，輸出電壓幾乎變?yōu)榱恪Ｔ鲆媾c頻率成反比，因此在對(duì)數(shù)/對(duì)數(shù)坐標(biāo)上繪制時(shí)，其斜率為-1（即，波特圖上的-20dB/十倍頻程，圖1b）。

圖 1a.一個(gè)簡(jiǎn)單的RC積分器。

圖 1b.簡(jiǎn)單積分器的波特圖。

您可以輕松地將傳遞函數(shù)導(dǎo)出為：

VOUT/VIN = XC/R = (1/sC)/R = -1/(sCR) = -ω0/s

其中 s 是復(fù)頻變量 σ + jω 和 ω0為 1/RC。如果我們將s視為頻率，則此公式證實(shí)了增益與頻率成反比的直觀感覺(jué)。稍后，在討論實(shí)際過(guò)濾器的實(shí)現(xiàn)時(shí)，我們將回到集成商。

簡(jiǎn)單的RC低通濾波器

稍微復(fù)雜的濾波器是簡(jiǎn)單的低通RC型（圖2a）。其特性（傳遞函數(shù)）為：

VOUT/VIN = (1/sC)/(R + 1/sC) = 1/(1 + sCR) = ω0/(s + ω0)

當(dāng) s = 0 時(shí)，函數(shù)減少到 ω0/哦0，即團(tuán)結(jié)。當(dāng) s 增加到無(wú)窮大時(shí)，函數(shù)接近零，因此這是一個(gè)低通濾波器。當(dāng) s = -ω 時(shí)0，分母為零，函數(shù)的值為無(wú)窮大，表示復(fù)頻率平面中的極點(diǎn)。在圖2b中，傳遞函數(shù)的大小與s繪制，其中s的實(shí)分量σ朝向我們，正虛部jω朝右。-ω 處的極點(diǎn)0是顯而易見(jiàn)的。振幅以對(duì)數(shù)方式顯示，以強(qiáng)調(diào)函數(shù)的形式。對(duì)于積分器和RC低通濾波器，頻率響應(yīng)在無(wú)限頻率下趨于零。簡(jiǎn)單地說(shuō)，在s = ∞處有一個(gè)零。這個(gè)零圍繞復(fù)平面。

圖 2a.一個(gè)簡(jiǎn)單的RC低通濾波器。

圖 2b.RC低通濾波器的復(fù)雜功能。

但是，s中的復(fù)數(shù)函數(shù)與電路對(duì)實(shí)際頻率的響應(yīng)有何關(guān)系呢？在分析電路對(duì)交流信號(hào)的響應(yīng)時(shí)，我們使用表達(dá)式j(luò)ωL表示電感的阻抗，使用1/jωC表示電容器的阻抗。當(dāng)使用拉普拉斯變換分析瞬態(tài)響應(yīng)時(shí)，我們使用sL和1 / sC作為這些元件的阻抗。相似之處立即顯現(xiàn)出來(lái)。交流分析中的jω實(shí)際上是s的虛部，如前所述，它由實(shí)部s和虛部jω組成。

如果我們?cè)谏鲜鋈魏畏匠讨杏胘ω代替s，我們就會(huì)得到電路對(duì)角頻率ω的響應(yīng)。在圖 2b 的復(fù)圖中，沿正 jω 軸的 σ = 0，因此 s = jω。因此，該函數(shù)沿該軸的值是濾波器的頻率響應(yīng)。我們沿jω軸對(duì)函數(shù)進(jìn)行了切片，并通過(guò)沿正jω軸為函數(shù)值添加一條粗線來(lái)強(qiáng)調(diào)RC低通濾波器的頻率-響應(yīng)曲線。更熟悉的波特圖（圖2c）在形式上看起來(lái)不同，只是因?yàn)轭l率是對(duì)數(shù)表示的。

圖 2c.低通濾波器的波特圖。

雖然復(fù)數(shù)頻率的虛部jω有助于描述對(duì)交流信號(hào)的響應(yīng)，但實(shí)部σ有助于描述電路的瞬態(tài)響應(yīng)。因此，從圖2b可以看出RC低通濾波器的響應(yīng)與積分器的響應(yīng)相比。低通濾波器的瞬態(tài)響應(yīng)更穩(wěn)定，因?yàn)樗臉O點(diǎn)位于復(fù)平面的負(fù)實(shí)半部分。重述，低通濾波器對(duì)階躍函數(shù)輸入做出衰減指數(shù)響應(yīng);積分器做出無(wú)限響應(yīng)。對(duì)于低通濾波器，-σ軸下方的極點(diǎn)位置意味著ω0，時(shí)間常數(shù)更短，因此瞬態(tài)響應(yīng)更快。相反，靠近jω軸的極點(diǎn)會(huì)導(dǎo)致更長(zhǎng)的瞬態(tài)響應(yīng)。

到目前為止，我們已經(jīng)將一些簡(jiǎn)單電路的數(shù)學(xué)傳遞函數(shù)與它們?cè)趶?fù)頻平面中的相關(guān)極點(diǎn)和零點(diǎn)相關(guān)聯(lián)。從這些函數(shù)中，我們推導(dǎo)出了電路的頻率響應(yīng)（以及波特圖）及其瞬態(tài)響應(yīng)。由于積分器和RC濾波器在其傳遞函數(shù)的分母中只有一個(gè)s，因此它們各只有一個(gè)極點(diǎn)。也就是說(shuō)，它們是一階濾波器。

但是，從圖1b可以看出，一階濾波器不能提供非常選擇性的頻率響應(yīng)。為了更貼近應(yīng)用需求定制過(guò)濾器，我們必須轉(zhuǎn)向更高的階數(shù)。從現(xiàn)在開(kāi)始，我們將使用 f（s） 而不是繁瑣的 V 來(lái)描述傳遞函數(shù)外/在在.

二階低通濾波器

二階濾波器具有2在分母和復(fù)平面中的兩個(gè)極點(diǎn)。通過(guò)在無(wú)源電路中使用電感和電容，或者創(chuàng)建由電阻器、電容器和放大器組成的有源電路，可以獲得這種響應(yīng)。例如，考慮圖3a中的無(wú)源LC濾波器。我們可以證明它的傳遞函數(shù)具有以下形式：

?（s） = XC/（R + XL+ XC） = （1/sC）/[R + sL + （1/sC）] = 1/（LCS2+ 遙控S+ 1)

如果我們定義：

ω02 = 1/LC and Q = ω0L/R = 1/(RCω0)

然后：

?（s） = 1/[（s/ω0)2+ s/（ω0Q） + 1] = ω02/[s2+ s（ω0/Q） + ω02]

哪里哦0是濾波器的特征頻率，Q是品質(zhì)因數(shù)（R越低意味著Q越高）。

圖 3a.RLC低通濾波器。

圖 3b.RLC低通濾波器的極點(diǎn)零點(diǎn)圖。

極點(diǎn)出現(xiàn)在分母變?yōu)榱愕?s 值處;也就是說(shuō)，當(dāng)2+ 不銹鋼0/Q+z02= 0。我們可以通過(guò)記住 ax 的根來(lái)解決這個(gè)方程2+ bx + c = 0 由下式給出：

在這種情況下，a = 1， b = ω0/Q， 和 c = ω02.術(shù)語(yǔ)（b2- 4ac） 等于 ω02（1/Q2- 4).因此，如果 Q 小于 0.5，則兩個(gè)根都是實(shí)數(shù)，并且位于負(fù)實(shí)軸上。該電路的行為非常類似于級(jí)聯(lián)中的兩個(gè)一階RC濾波器。這種情況不是很有趣，所以我們只考慮 Q > 0.5 的情況，這意味著 （b2- 4ac）為負(fù)數(shù)，根很復(fù)雜。

因此，實(shí)部是 -b/2a，即 -ω0/2Q，并且兩個(gè)根共有。根的虛部在符號(hào)上是相等和相反的。計(jì)算根在復(fù)平面中的位置，我們發(fā)現(xiàn)它們位于 ω 的距離處0（相關(guān)的數(shù)學(xué)，簡(jiǎn)單但乏味，將留給更受虐狂的讀者練習(xí)。

變化哦0更改極點(diǎn)與原點(diǎn)的距離。減小 Q 會(huì)使兩極彼此靠近;增加 Q 會(huì)使半圓中的極點(diǎn)彼此遠(yuǎn)離并朝向 jω 軸。當(dāng) Q = 0.5 時(shí)，兩極在 -ω 處相遇0在負(fù)實(shí)軸上。在這種情況下，相應(yīng)的電路相當(dāng)于兩個(gè)級(jí)聯(lián)的一階濾波器，如前所述。

現(xiàn)在我們應(yīng)該檢查二階函數(shù)的頻率響應(yīng)，看看它如何隨 Q 變化。和以前一樣，圖4a將函數(shù)顯示為曲面，在由復(fù)平面和垂直幅度矢量形成的三維空間中表示。此外，Q = 0.707，您可以立即看到響應(yīng)是低通濾波器。

圖 4a.二階低通濾波器的復(fù)函數(shù)（Q = 0.707）。

增加 Q 值會(huì)使圓形路徑中的極點(diǎn)向 jω 軸移動(dòng)。圖 4b 顯示了 Q = 2 的情況。由于極點(diǎn)離jω軸更近，因此它們對(duì)頻率響應(yīng)的影響更大，從而在通帶的高端產(chǎn)生峰值。

圖 4b.二階低通濾波器的復(fù)函數(shù)（Q = 2）。

對(duì)濾波器的瞬態(tài)響應(yīng)也有影響。由于極點(diǎn)的負(fù)實(shí)部較小，輸入階躍函數(shù)將導(dǎo)致濾波器輸出端出現(xiàn)振鈴。Q值越低，振鈴越小，因?yàn)樽枘嵩酱?。如果Q變?yōu)闊o(wú)窮大，則極點(diǎn)到達(dá)jω軸，在s = ω處引起無(wú)限頻率響應(yīng)（不穩(wěn)定和連續(xù)振蕩）0.在圖3a的LCR電路中，除非R = 0，否則這種情況是不可能的。然而，對(duì)于包含放大器的濾波器，這種情況確實(shí)是可能的，必須在設(shè)計(jì)過(guò)程中加以考慮。

二階濾波器提供變量 ω0和 Q，它允許我們將極點(diǎn)放置在復(fù)平面中我們想要的任何位置。盡管如此，這些極點(diǎn)必須以復(fù)共軛對(duì)的形式出現(xiàn)，其中實(shí)部相等，虛部具有相反的符號(hào)。這種極點(diǎn)放置的靈活性是一個(gè)強(qiáng)大的工具，使二階級(jí)成為許多開(kāi)關(guān)電容濾波器的有用元件。與一階情況一樣，二階低通傳遞函數(shù)隨著頻率增加到無(wú)窮大而接近零。然而，二階函數(shù)的下降速度是其兩倍，因?yàn)?分母的因素。結(jié)果是無(wú)窮遠(yuǎn)處的雙零。

在討論了一階和二階低通濾波器之后，我們現(xiàn)在需要在兩個(gè)方向上擴(kuò)展我們的概念：我們將討論其他濾波器配置，例如高通和帶通部分，然后我們將討論高階濾波器。

高通和帶通濾波器

為了將低通濾波器變?yōu)楦咄V波器，我們將s平面從內(nèi)向外轉(zhuǎn)動(dòng)，使低頻高，高頻低。無(wú)限頻率的雙零變?yōu)榱泐l率;零頻率下的有限響應(yīng)變?yōu)闊o(wú)限。為了完成這種轉(zhuǎn)換，我們使s = ω02/s，因此當(dāng)ω02/s 0時(shí)s∞，反之亦然。在 ω0 處，s 的舊值和新值相同。s = 1 處的雙零變?yōu)榱?我們?cè)?S = 0 時(shí)的有限響應(yīng)移動(dòng)到無(wú)窮大，產(chǎn)生一個(gè)高通濾波器：

?(s) = ω02/[(ω04/s2) + (ω03/Qs) + ω02]

如果我們將分子和分母乘以s2/ω02,

?（s） = s2/[s2+ （sω0/Q） + ω02]

此形式與以前相同，只是分子是 s2而不是 ω02. 換句話說(shuō)，我們可以通過(guò)改變分子并保留分母來(lái)將低通函數(shù)轉(zhuǎn)換為高通函數(shù)。

波特圖為低通到高通變換提供了另一種視角。圖5a顯示了二階低通函數(shù)的波特圖：平坦到截止頻率，然后以-40dB/十倍頻程下降。乘以 s2為此功能增加+40dB/十倍頻程斜率。額外的斜率提供低于截止頻率的低頻滾降;高于截止值時(shí)，它通過(guò)消除原始的-5dB/十倍頻程斜率來(lái)提供平坦的響應(yīng)（圖40b）。

圖5.二階濾波器的波特圖。

我們可以使用相同的想法來(lái)生成帶通濾波器。將低通響應(yīng)乘以s，即可獲得+20dB/十倍頻程斜率。然后，凈響應(yīng)比截止值低+20dB/十倍頻程，高于截止值-20dB/十倍頻程。這會(huì)產(chǎn)生圖5c中的帶通響應(yīng)：

?（s） = ω0s/[s2+ （sω0）/Q） + z02]

請(qǐng)注意，二階帶通濾波器的截止速率是其他類型的一半。這是因?yàn)榭捎玫?0dB/十倍頻程斜率必須在濾波器的兩個(gè)裙邊之間共享。

總之，歸一化形式的二階低通、帶通和高通函數(shù)具有相同的面額，但它們的分子為 ω02哦0s 和 s2分別。

陷波和全通濾波器

陷波或帶阻濾波器抑制特定頻段內(nèi)的頻率，同時(shí)通過(guò)所有其他頻段。同樣，您可以通過(guò)更改標(biāo)準(zhǔn)二階特征的分子來(lái)導(dǎo)出此濾波器的傳遞函數(shù)：

?(s) = (s2 + ωZ2)/s2 + (sω0/Q) + ω02

考慮極限情況。當(dāng) s = 0 時(shí)，f（s） 減小到 ω跟2/哦02，這是有限的。當(dāng) s 為∞時(shí)，方程減少到 1。在 s = jω 時(shí)跟，分子變?yōu)榱悖琭（s） 變?yōu)榱悖p零，實(shí)際上是因?yàn)?在分子中），并且我們具有陷波濾波器的特征。在陷波頻率高于和低于陷波時(shí)，增益將有所不同，除非ω跟= 哦0.陷波濾波器方程也可以表示為：

?(s) = s2 + (ωZ2)/s2 + (sω0/Q) + ω02 =
[s2/s2 + (sω0/Q) + ω02] + [ωZ2/s2 + (sω0/Q) + ω02]

這可以簡(jiǎn)單地說(shuō)明。陷波濾波器基于低通和高通特性的總和。我們?cè)趯?shí)際濾波器實(shí)現(xiàn)中利用這一事實(shí)，從現(xiàn)有的高通和低通響應(yīng)生成陷波響應(yīng)。我們通過(guò)添加兩個(gè)響應(yīng)來(lái)創(chuàng)建零似乎很奇怪，但它們的相位關(guān)系使之成為可能。

最后，還有全通濾波器，其形式為：

?（s） = [s2- （sω0/Q） + ω02]/[s2+ （sω0/Q） + ω02]

該響應(yīng)的極點(diǎn)和零點(diǎn)對(duì)稱地放置在jω軸的兩側(cè)，如圖6所示。這些極點(diǎn)和零點(diǎn)的影響精確抵消，以提供電平和均勻的頻率響應(yīng)。似乎一根電線可以更便宜地提供這種效果。然而，與導(dǎo)線不同，全通濾波器提供了相位響應(yīng)隨頻率的有用變化。

圖6.二階全通濾波器的復(fù)雜函數(shù)。

高階濾波器

我們很幸運(yùn)不必單獨(dú)處理高階濾波器，因?yàn)槿魏伍L(zhǎng)度的 s 中的多項(xiàng)式都可以分解為一系列二次項(xiàng)（如果多項(xiàng)式是奇數(shù)，則加上單個(gè)一階項(xiàng)）。例如，五階低通濾波器可能具有傳遞函數(shù)：

?（s） = 1/[s5 + a4s4 + a3s3 + a2s2 + a1s + a0]

其中所有 a0 都是常量。我們可以將分母分解為：

?（s） = 1/[（s2 + sω1/Q1 + ω12）（s2 + sω2/Q2 + ω22）（s + ω3）]

這與：

?（s） = [1/（s2 + sω1/Q1 + ω12）] × [1/（s2 + sω2/Q2 + ω22）] × [1/（s + ω3）]

最后一個(gè)方程表示一個(gè)濾波器，我們可以在物理上實(shí)現(xiàn)為兩個(gè)二階部分和一個(gè)一階部分，全部級(jí)聯(lián)。

這種配置簡(jiǎn)化了設(shè)計(jì)，使復(fù)頻平面中的極點(diǎn)和零點(diǎn)響應(yīng)可視化變得更加容易。我們知道，每個(gè)二階項(xiàng)貢獻(xiàn)一個(gè)復(fù)共軛極對(duì)，一階項(xiàng)在負(fù)實(shí)軸上貢獻(xiàn)一個(gè)極點(diǎn)。如果傳遞函數(shù)在分子中具有高階多項(xiàng)式，則該多項(xiàng)式也可以分解，這意味著二階部分將是低通部分以外的其他內(nèi)容。

使用上述合成原理，我們可以簡(jiǎn)單地通過(guò)將極點(diǎn)和零點(diǎn)放置在復(fù)頻平面的不同位置來(lái)構(gòu)建各種各樣的濾波器。然而，大多數(shù)應(yīng)用只需要有限數(shù)量的可能性。對(duì)他們來(lái)說(shuō)，許多早期的實(shí)驗(yàn)者，如巴特沃斯和切比切夫，已經(jīng)制定了細(xì)節(jié)。

巴特沃斯過(guò)濾器

許多應(yīng)用中常見(jiàn)的一種濾波器要求在通帶內(nèi)保持平坦的響應(yīng)，但之后盡可能急劇地切斷。您可以通過(guò)在半圓形軌跡周圍排列間距相等的低通濾波器的極點(diǎn)來(lái)獲得該響應(yīng)。結(jié)果將是巴特沃茲濾波器。例如，圖7a的零極圖表示巴特沃茲濾波器的四階類型。

圖 7a.四階巴特沃茲低通濾波器的極點(diǎn)零圖。

圖7a中的極點(diǎn)具有不同的Q值，但它們都具有相同的ω0因?yàn)樗鼈兣c原點(diǎn)的距離相同。對(duì)應(yīng)于該濾波器的三維表面（圖7b）說(shuō)明了當(dāng)最低Q極點(diǎn)的影響開(kāi)始消失時(shí)，下一個(gè)極點(diǎn)接管，直到極點(diǎn)用完并且響應(yīng)以-80dB/十倍頻程下降。

圖 7b.四階巴特沃茲低通濾波器的復(fù)雜函數(shù)。

您可以構(gòu)建高通、帶通和其他濾波器類型的巴特沃茲版本，但這些濾波器的極點(diǎn)不會(huì)排列在一個(gè)簡(jiǎn)單的半圓中。在大多數(shù)情況下，您首先設(shè)計(jì)一個(gè)低通濾波器，然后應(yīng)用轉(zhuǎn)換來(lái)生成其他類型的濾波器。

切比切夫過(guò)濾器

通過(guò)將極點(diǎn)靠近jω軸（增加它們的Qs），我們可以制造出頻率截止比巴特沃茲更陡峭的濾波器。這種安排有一個(gè)缺點(diǎn)：每個(gè)極點(diǎn)的影響將在濾波器響應(yīng)中可見(jiàn)，從而產(chǎn)生幅度變化，稱為通帶中的紋波。然而，通過(guò)適當(dāng)?shù)臉O點(diǎn)排列，變化可以相等，這導(dǎo)致了切比切夫?yàn)V波器。

通過(guò)將每個(gè)極點(diǎn)以相同的比例靠近 jω 軸，使極點(diǎn)位于橢圓上，您可以從巴特沃斯推導(dǎo)出切比切夫?yàn)V波器（圖 8a）。圖8b顯示了每個(gè)極點(diǎn)如何為通帶紋波貢獻(xiàn)一個(gè)峰值。將極點(diǎn)移近jω軸會(huì)增加通帶紋波，但在阻帶中提供更突然的截止。因此，切比切夫?yàn)V波器在紋波和截止之間提供了權(quán)衡。在這方面，巴特沃茲濾波器，其中通帶紋波設(shè)置為零是切比切夫的一個(gè)特例。

圖 8a.四階切比切夫低通濾波器的極點(diǎn)零圖。

圖 8b.四階切比切夫低通濾波器的復(fù)雜函數(shù)。

貝塞爾濾波器

具有尖銳截止的巴特沃斯和切比切夫?yàn)V波器帶有從其極點(diǎn)在 s 平面中的位置可以明顯看出的懲罰。使極點(diǎn)靠近jω軸會(huì)增加它們的Q值，從而降低濾波器的瞬態(tài)響應(yīng)?？赡軙?huì)導(dǎo)致響應(yīng)邊沿出現(xiàn)過(guò)沖甚至振鈴。

貝塞爾濾波器代表了與北海相反方向的權(quán)衡。貝塞爾極點(diǎn)位于離jω軸更遠(yuǎn)的軌跡上（圖9）。瞬態(tài)響應(yīng)得到改善，但代價(jià)是阻帶的截止值不那么陡峭。

圖9.四階貝塞爾低通濾波器的極點(diǎn)零點(diǎn)圖。

橢圓濾波器

通過(guò)增加最接近通帶邊緣的極點(diǎn)的Q，可以獲得比切比切切夫更清晰的阻帶截止的濾波器，而不會(huì)產(chǎn)生更多的通帶紋波。單獨(dú)這樣做會(huì)產(chǎn)生增益峰值，但您可以通過(guò)在阻帶底部提供一個(gè)零來(lái)補(bǔ)償峰值。必須沿阻帶間隔額外的零點(diǎn)，以確保濾波器響應(yīng)保持在所需的阻帶衰減水平以下。圖10a顯示了這種類型的零極圖：橢圓濾波器。圖10b顯示了相應(yīng)的傳遞函數(shù)表面。正如您可能想象的那樣，橢圓濾波器的高Q極點(diǎn)產(chǎn)生的瞬態(tài)響應(yīng)甚至比切比切夫還要差。

圖 10a.四階橢圓低通濾波器的極點(diǎn)零點(diǎn)圖。

圖 10b.四階橢圓低通濾波器的復(fù)雜函數(shù)。

請(qǐng)注意，所描述的所有濾波器都具有與極點(diǎn)相同的零數(shù)。（必須如此，否則傳遞函數(shù)將不是無(wú)量綱表達(dá)式。例如，橢圓濾波器在阻帶中沿jω軸將其零點(diǎn)間隔開(kāi)。在貝塞爾、巴特沃斯和切比切夫的情況下，所有的零都在無(wú)窮大處彼此重疊。由于分子中沒(méi)有顯式零，因此這些濾波器類型有時(shí)稱為全極點(diǎn)濾波器。

現(xiàn)在，我們已經(jīng)擴(kuò)展了我們的概念，不僅涵蓋了一階和二階濾波器，還涵蓋了高階濾波器，包括一些特別有用的情況?，F(xiàn)在是時(shí)候從抽象理論轉(zhuǎn)向討論實(shí)際電路了。

狀態(tài)變量篩選器

如前所述，我們可以從一階和二階構(gòu)建塊構(gòu)造任何濾波器。您可以將一階濾波器視為二階濾波器的特例。因此，我們的基本構(gòu)建塊應(yīng)該是二階部分，從中我們可以導(dǎo)出低通、高通、帶通、陷波或全通特性。

狀態(tài)變量濾波器是二階部分的便捷實(shí)現(xiàn)。它使用兩個(gè)級(jí)聯(lián)積分器和一個(gè)求和結(jié)，如圖11所示。

圖 11.二階狀態(tài)變量篩選器。

我們知道積分器的特性只是ω0/s.但是為了在簡(jiǎn)化數(shù)學(xué)的同時(shí)演示原理，我們可以假設(shè)兩個(gè)積分器都有ω0= 1，并且它們的特性只是 1/s。然后，我們可以為圖 11 中的每個(gè)積分器編寫方程：

L = B/s 或 B = sL

B = H/s 或 H = sB = s2L

圖11中求和結(jié)的公式很簡(jiǎn)單：

H = I - B - L

如果我們使用積分器方程代入 H 和 B，我們得到：

s2L = I - sL - L

Or

s2L + sL + L = I

在這種情況下：

L（s2 + s + 1） = I

Or

L/I = 1/（s2 + s + 1）

公式22是經(jīng)典的歸一化低通響應(yīng)。因?yàn)?B = sL 和 H = s2L，所以：

B/I = s/（s2 + s + 1） 和 H/I = s2/（s2 + s + 1）

公式23分別顯示了經(jīng)典帶通和高通響應(yīng)。

因此，一個(gè)濾波器同時(shí)提供低通、帶通和高通輸出。我們可以創(chuàng)建實(shí)際值為 ω 的實(shí)際濾波器0和 Q 通過(guò)構(gòu)建具有 ω 的積分器從這些方程中得出0≠ 1 并將因子反饋到值為 ≠1 的求和交匯點(diǎn)。

理論上，您可以通過(guò)級(jí)聯(lián)兩個(gè)以上的積分器來(lái)創(chuàng)建高階濾波器。一些集成電路濾波器使用這種方法，但它有缺點(diǎn)。若要對(duì)這些篩選器進(jìn)行編程，必須計(jì)算高階多項(xiàng)式的系數(shù)值。此外，一長(zhǎng)串集成器引入了穩(wěn)定性問(wèn)題。通過(guò)將自己限制在二階部分，我們的優(yōu)勢(shì)是可以直接使用 ω0以及與每個(gè)極點(diǎn)關(guān)聯(lián)的 Q 變量。

開(kāi)關(guān)電容濾波器

無(wú)論架構(gòu)如何，所有有源濾波器的特性都取決于其RC時(shí)間常數(shù)的精度。由于集成電阻和電容的典型精度約為±30%，因此設(shè)計(jì)人員在嘗試對(duì)集成濾波電路中的元件使用絕對(duì)值時(shí)會(huì)受到阻礙。然而，芯片上的電容器值之比可以精確控制在2000年的<>部分左右。開(kāi)關(guān)電容濾波器使用這些電容比來(lái)實(shí)現(xiàn)精度，而無(wú)需精密的外部元件。

在圖12所示的開(kāi)關(guān)電容積分器中，組合C.1開(kāi)關(guān)模擬電阻。

圖 12.開(kāi)關(guān)電容積分器。

開(kāi)關(guān) S1 以時(shí)鐘頻率 fCLK 連續(xù)切換。當(dāng)S1位于左側(cè)時(shí)，電容C1向VIN充電。當(dāng)它向右切換時(shí)，C1將電荷轉(zhuǎn)儲(chǔ)到積分器的求和節(jié)點(diǎn)中，并從該節(jié)點(diǎn)流入電容器C2。每個(gè)時(shí)鐘周期內(nèi)C1上的電荷為：

Q = C1VIN

因此，傳輸?shù)角蠛徒Y(jié)的平均電流為：

I = QfC = C1VIN × fCLK

請(qǐng)注意，電流與 V 成正比在，所以我們具有與值電阻相同的效果：

R = VIN/I = 1/(C1fCLK)

積分器的 ω0因此：

ω0 = 1/RC2 = C1fCLK/C2

因?yàn)榕?與兩個(gè)電容器的比率成正比，其值可以非常精確地控制。此外，該值與時(shí)鐘頻率成正比，因此您可以通過(guò)更改f來(lái)改變?yōu)V波器特性時(shí)鐘，如果需要。但開(kāi)關(guān)電容是一個(gè)采樣數(shù)據(jù)系統(tǒng)，因此不完全等同于時(shí)間連續(xù)RC積分器。事實(shí)上，這些差異給設(shè)計(jì)師帶來(lái)了三個(gè)問(wèn)題。

首先，通過(guò)開(kāi)關(guān)電容器的信號(hào)由時(shí)鐘頻率調(diào)制。如果輸入信號(hào)包含接近時(shí)鐘頻率的頻率，則它們可能會(huì)相互調(diào)制，并在系統(tǒng)帶寬內(nèi)產(chǎn)生雜散輸出頻率。對(duì)于許多應(yīng)用來(lái)說(shuō)，這不是問(wèn)題，因?yàn)檩斎霂捯呀?jīng)限制在時(shí)鐘頻率的一半以下。否則，開(kāi)關(guān)電容濾波器之前必須有一個(gè)抗混疊濾波器，該濾波器可去除輸入頻率高于時(shí)鐘頻率一半的任何分量。

其次，積分器輸出（圖12）不是線性斜坡，而是時(shí)鐘頻率下的一系列步進(jìn)。在由開(kāi)關(guān)注入的電荷引起的階躍轉(zhuǎn)換處可能存在小尖峰。如果濾波器之后的系統(tǒng)帶寬遠(yuǎn)低于時(shí)鐘頻率，則這些像差可能不是問(wèn)題。否則，必須在開(kāi)關(guān)電容濾波器的輸出端再次添加另一個(gè)濾波器，以消除時(shí)鐘紋波。

第三，開(kāi)關(guān)電容濾波器的行為與理想的時(shí)間連續(xù)模型不同，因?yàn)檩斎胄盘?hào)每個(gè)時(shí)鐘周期僅采樣一次。當(dāng)濾波器的極點(diǎn)頻率接近時(shí)鐘頻率時(shí)，濾波器輸出會(huì)偏離理想值，特別是對(duì)于低Q值時(shí)。但是，您可以計(jì)算這些效應(yīng)，并在設(shè)計(jì)過(guò)程中允許它們。

考慮到上述情況，最好保持時(shí)鐘與中心頻率的比值盡可能大。開(kāi)關(guān)電容濾波器的典型比率范圍約為28：1至200：1。例如，MAX262允許的最大時(shí)鐘頻率為4MHz，因此使用28：1的最小比率可獲得140kHz的最大中心頻率。在低端，開(kāi)關(guān)電容濾波器的優(yōu)點(diǎn)是可以處理低頻，而無(wú)需使用令人不安的大R和C值。您只需降低時(shí)鐘頻率即可。

結(jié)論

本文介紹了與開(kāi)關(guān)電容有源濾波器相關(guān)的概念和術(shù)語(yǔ)。如果您已經(jīng)掌握了此處介紹的材料，您應(yīng)該能夠理解大多數(shù)濾波器數(shù)據(jù)手冊(cè)。

審核編輯：郭婷