01前言

FPGA實(shí)現(xiàn)除法的方法有幾種，比如直接用/來進(jìn)行除法運(yùn)算，調(diào)用IP核進(jìn)行除法運(yùn)算，但這兩種方式都有個(gè)共同的問題——都是黑盒子，在進(jìn)行時(shí)序違例處理時(shí)，往往不好操作，比如想打打拍改善下時(shí)序都不知從何下手。

02原理介紹

我們都知道商（s）= 分子（FZ）/分母（FM）,該計(jì)算過程可等效于公式1

其中FM0為FM/2**fm_shift_bit后所得的取值范圍為[1,2)數(shù)，通過取一個(gè)合適的fm_shift_bit的值，使得FM0的值在[1,2]之間。

同理FZ0為FZ/2**fz_shift_bit后所得的取值范圍為[1,2)數(shù)，通過取一個(gè)合適的fz_shift_bit的值，使得FZ0的值在[1,2]之間。

最后經(jīng)過多次迭代后，由公式1和公式4得，

當(dāng)FM0*F1*F2*......FN=1時(shí) s=FZ0*F1*F2*......FN*2**（fz_shift_bit-fm_shift_bit）

例子

利用線性迭代的方式計(jì)算33/9

步驟如下：
第1步：將分子分母轉(zhuǎn)換為[1,2)之間的數(shù)此時(shí)得
FZ0 =33/2**5 = 1.03125
FM0=9/2**3 = 1.125
以上部分在FPGA中相當(dāng)于右移
由公式2、3得到
fm_shift_bit = 3
fz_shift_bit = 5
第2步：利用公式進(jìn)行線性迭代，令FM0*F1*F2*......FN=FM_PRE，使FM_PRE接近于1
由第1步得FM0=1.125 
再通過公式5和公式6得
F1=2-1.125=0.875        FM1=1.125*0.875=0.984375  
F2=2-0.9875=1.0125       FM2=0.984375*1.0125=0.9966796875
F3=2-0.9966796875=1.0033203125 
迭代 3次后FM_PRE=1.125*0.875*1.0125*1.0033203125 = 0.99998897552490234375接近于1
此時(shí)由公式4得：
s=1.03125*F1*F2*F3*2**(5-3)= 3.66662624359130859375
與理論計(jì)算值誤差為4.0423075358072916666666666666667e-6

在實(shí)際過程應(yīng)用中，我們可以根據(jù)實(shí)際的誤差要求確認(rèn)迭代的次數(shù)。

01根據(jù)原理建立的matlab浮點(diǎn)數(shù)仿真模型

具體的matlab模型代碼如下所示

Code

matlab迭代運(yùn)算代碼

function s = div_float(fz, fm, itr )
%----------------------判斷結(jié)果的符號(hào)-----------------
if ((fz >= 0) && (fm >= 0)) || ((fz < 0) && (fm < 0))
 ? ?sign_flag = 0;
else
 ? ?sign_flag = 1;
end


%---------------限定分子范圍在[1,2)---------
if fz >=0
  fz = fz;
else 
  fz = -fz;
end


fz_shift_bit = 0;
if fz ~= 0
  fz_inner = fz ;
 while(fz_inner >= 2 || fz_inner < 1)
 ? ? ?if fz_inner >= 2
    fz_inner = floor(fz_inner/2);
   fz_shift_bit = fz_shift_bit + 1;
   else
    fz_inner = fz_inner * 2;
   fz_shift_bit = fz_shift_bit - 1;
  end
 end
  fz = fz/2^fz_shift_bit;
end
%fprintf('a_shift_bit = ');disp(a_shift_bit);
%---------------限定分母范圍在[1,2)---------
if fm >=0
  fm = fm;
else 
  fm = -fm;
end


fm_shift_bit = 0;
if fm ~= 0
  fm_inner = fm ;
 while((fm_inner >= 2) || (fm_inner < 1))
 ? ? ?if fm_inner >= 2
    fm_inner = floor(fm_inner/2);
   fm_shift_bit = fm_shift_bit + 1;
   else
    fm_inner = fm_inner * 2;
   fm_shift_bit = fm_shift_bit - 1;
  end
 end
  fm = fm/2^fm_shift_bit;
end
%fprintf('b_shift_bit = ');disp(b_shift_bit);
%-----------迭代過程------------------
for cnt = 0:itr-1
  f = 2 - fm;
 fz = fz * f;
 fm = fm * f;
end
%------------迭代完成后計(jì)算商-------------------
%------------當(dāng)分子分母同時(shí)等于0時(shí)，令商等于0，
%------------否則，當(dāng)符號(hào)標(biāo)志為正數(shù)時(shí)，令其等于商的最大值
if fm ~= 0
  s = fz * 2^(fz_shift_bit - fm_shift_bit);
%  fprintf('a = ');disp(a);
%  fprintf('b = ');disp(b);
%  fprintf('c = ');disp(c);
 if sign_flag == 0
   s = s;
  else
   s = -s;
%  fprintf('~c = ');disp(c);
 end
else 
  if fz == 0
   s = 0;
 else 
   if sign_flag == 0
    s = 256 - 2^-7;
   else
    s = -256;
  end
 end
end

Code

matlab仿真tb

clear;
clc;
close all;


itr = 8;
%-----------定義分子分母和商的精度---------------
delt_fz = 2^-4;
delt_fm = 2^-2;
delt_s = 2^-7;


cntwhole = 1;
for fz = -3232 - delt_fz
  for fm = -8 : delt_fm : 8 - delt_fm
    s = div_float(fz, fm, itr);
  
  s_real = fz/fm;
  
  if s_real >= 256
    s_real = 256 - delt_s;
  elseif s_real < -256
 ? ? ? ?s_real = -256;
 ? ?else 
 ? ? ? ?s_real = s_real;
 ? ?end
 ? ?
 ? ?err = abs(s_real - s);
 ? ?
 ? ?s_reg(cntwhole) = s;
 ? ?s_real_reg(cntwhole) = s_real;
 ? ?err_reg(cntwhole) = err;
 ? ?
 ? ?cntwhole = cntwhole + 1;
 ?end
end
figure;plot(s_reg);title("迭代算出的結(jié)果");
figure;plot(s_real_reg);title("理論結(jié)果");
figure;plot(err_reg);title("誤差圖");
grid on;
 ? ?

下圖迭代參數(shù)itr取不同值時(shí)的理論值與線性迭代值之間的誤差圖。

itr=8時(shí)

此時(shí)最大誤差為2.7466*10**-7

itr=10時(shí)

此時(shí)最大誤差為7.10543*10**-15

itr=50時(shí)

此時(shí)最大誤差為7.10543*10**-15

由itr分別取8，10，50后所得到的理論值與線性迭代算出的值做差所得到的誤差圖可知，并不是迭代次數(shù)越多精度越小，當(dāng)?shù)螖?shù)達(dá)到一個(gè)臨界值后，迭代的次數(shù)其實(shí)對(duì)商的影響就不是很大了。