1.定義

階躍響應(yīng)性能指標(biāo)主要包括穩(wěn)態(tài)值、上升時(shí)間、峰值時(shí)間和超調(diào)量，定義如下：

**穩(wěn)態(tài)值ys**：當(dāng)時(shí)間趨近于無窮大時(shí)，階躍響應(yīng)的輸出值，ys=y(∞)。

** 上升時(shí)** 間tr ：輸出階躍響應(yīng)達(dá)到90%穩(wěn)態(tài)值時(shí)所對應(yīng)的時(shí)刻。

**峰值時(shí)間tm** ：輸出階躍響應(yīng)峰值ym所對應(yīng)的時(shí)刻。

** 超調(diào)量σ** ：輸出階躍響應(yīng)峰值ym與穩(wěn)態(tài)值ys之差所占穩(wěn)態(tài)值ys的百分比, σ%= (ym-ys)/ys。

** 調(diào)整時(shí)間ts** ：輸出階躍響應(yīng)進(jìn)入穩(wěn)態(tài)值ys±Δ誤差帶范圍內(nèi)所對應(yīng)的時(shí)刻, 一般取Δ=0.02或Δ=0.05。

2. 函數(shù)

按照階躍響應(yīng)性能指標(biāo)的定義，筆者使用Matlab開發(fā)了函數(shù) Fun_Step_Performance.m ，使用數(shù)值算法求出各類階躍響應(yīng)的性能指標(biāo)值，函數(shù)簡單、易用、通用性好。

function [ys,tr,ts,tm,ov] = Fun_Step_Performance(t,y,drawflag)
% [ys,tr,ts,ov] = Fun_Step_Performance(t,y) 標(biāo)準(zhǔn)階躍響應(yīng)的性能指標(biāo)求解
% 本程序適用于標(biāo)準(zhǔn)階躍響應(yīng)曲線，末尾時(shí)間必須已經(jīng)接近穩(wěn)態(tài)值
% t-y 為階躍響應(yīng)的時(shí)間-輸出配對序列，可由[y,t] = step(sys)求得
% drawflag為時(shí)候作圖標(biāo)志，不輸入或輸入非0值時(shí)，默認(rèn)作圖，輸入0時(shí)不做圖
% ys 穩(wěn)態(tài)值
% tr 上升時(shí)間，默認(rèn)為0-90%的上升時(shí)間
% ts 調(diào)整時(shí)間，默認(rèn)為2%的調(diào)整時(shí)間
% tm 為峰值時(shí)間
% ov 超調(diào)量 %
% e.g.
%  sys = tf(1,[1 2*0.5*1 1]);
%  [y,t] = step(sys,15);
%  [ys,tr,ts,tm,ov] = Fun_Step_Performance(t,y,1);

3. 演示

**3.1 **一階系統(tǒng)階躍響應(yīng)性能指標(biāo)

% Eg 1 一階系統(tǒng)
sys = tf(1,[3 1]);
[y,t] = step(sys,25);
[ys,tr,ts,tm,ov] = Fun_Step_Performance(t,y);

%% 階躍響應(yīng)指標(biāo)結(jié)果：

上升時(shí)間：7s

調(diào)整時(shí)間：11.5s

峰值時(shí)間：25s , 超調(diào)量：0%

穩(wěn)態(tài)值：1

%% 階躍響應(yīng)指標(biāo)結(jié)果顯示結(jié)束

**3.2 **求復(fù)雜系統(tǒng)階躍響應(yīng)性能指標(biāo)

% 5階系統(tǒng)
sys = tf(1,[1 2*0.20*1 1]) * tf(1,[2 1]) * tf([1.5 1],[1 2*0.25*3 9]); 
[y,t] = step(sys,35);
[ys,tr,ts,tm,ov] = Fun_Step_Performance(t,y);

%% 階躍響應(yīng)指標(biāo)結(jié)果：

上升時(shí)間：2.0877s

調(diào)整時(shí)間：17.3158s

峰值時(shí)間：3.5614s，超調(diào)量：40.1285%

穩(wěn)態(tài)值：0.111

%% 階躍響應(yīng)指標(biāo)結(jié)果顯示結(jié)束

**3.3 **不同阻尼比時(shí)二階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)性能指標(biāo)

% Eg 3 求解不同阻尼比時(shí)二階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)特性
wn = 1;    % 固有頻率
kes_vet = [0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2];   % 阻尼比序列
figure
hold on
for ii = 1:length(kes_vet)
    kes = kes_vet(ii);
    sys = tf(1,[1 2*kes*wn wn^2]);   % 二階系統(tǒng)傳遞函數(shù)
    [y,t] = step(sys,50);            % 階躍響應(yīng)
    [ys(ii),tr(ii),ts(ii),tm(ii),ov(ii)] = Fun_Step_Performance(t,y,0);  % 求解階躍響應(yīng),不繪圖
    plot(t,y)
    Str{ii} = [ 'xi = '  num2str(kes)];
end
legend(Str)
xlabel('時(shí)間t/s')
ylabel('輸出響應(yīng)y')

tr =

1.8349    2.0737    2.4540    2.9954    4.0000    4.9407

ts =

19.2661 8.2949 5.8282 3.6866 5.5000 7.9051

tm =

3.2110    3.4562    3.9877    5.1843   40.0000   50.0000

ov =

52.6622 25.3725 9.4610 1.5144 0 0

對于二階系統(tǒng)，阻尼比的變化不影響輸出穩(wěn)態(tài)值，隨著阻尼比增加，上升時(shí)間逐步增大、調(diào)整時(shí)間先減小再增大、峰值時(shí)間逐步變大、超調(diào)量逐步變?。划?dāng)阻尼比在0.707左右時(shí)，上升時(shí)間和調(diào)整時(shí)間較快，且超調(diào)量很小，系統(tǒng)綜合性能較好，工程上通常設(shè)計(jì)阻尼比在0.707左右，稱之為最佳阻尼比。