穩(wěn)定的概念廣泛存在于各個(gè)領(lǐng)域，大到飛機(jī)火箭橋梁建筑，小到生活中常見(jiàn)的各類電子產(chǎn)品生活用品，只要涉及到“可控”的要求，一定會(huì)談到穩(wěn)定性（Stability）。科學(xué)上，穩(wěn)定性這種說(shuō)法被歸到了自動(dòng)控制原理的范疇。

今天我們就帶大家一起看看，控制上是怎么描述穩(wěn)定性這件事情，希望能為大家的工作提供一些參考。

穩(wěn)定性的概念涉及到很多理論知識(shí)，但太多的公式會(huì)把人繞暈，所以我們接下來(lái)多放圖，只在必要的地方放入公式。如果大家很感興趣，后面我們?cè)購(gòu)睦碚摻o出嚴(yán)格的推導(dǎo)。

首先，我們看下圖，哪種顏色的球的狀態(tài)當(dāng)前是穩(wěn)定的呢？

憑直覺(jué)，我相信大家都能猜到答案是綠球。

那么為什么認(rèn)為綠球是穩(wěn)定的呢，因?yàn)橹嗡牡孛媸前枷莸?。你給他一個(gè)小擾動(dòng)，他最終還能回到原來(lái)的位置。不難發(fā)現(xiàn)，小球的穩(wěn)定狀態(tài)是由底面的結(jié)構(gòu)決定的，與施加給小球的擾動(dòng)無(wú)關(guān)。

穩(wěn)定性是系統(tǒng)自身的性質(zhì)，與系統(tǒng)的輸入輸出無(wú)關(guān)。

如何判斷一個(gè)系統(tǒng)是否穩(wěn)定呢？

時(shí)域到頻域的映射，是通過(guò)拉普拉斯變換完成的。這樣的拉式算子模型不僅可以存在于電路系統(tǒng)中，實(shí)際上，拉氏算子對(duì)任何經(jīng)典線性控制領(lǐng)域的系統(tǒng)都是適用的。

經(jīng)典控制理論給出的方法是從系統(tǒng)的特征方程入手。這樣的方法是基于：任何含有n個(gè)獨(dú)立的一階常系數(shù)微分方程的方程組，最后都可以將其轉(zhuǎn)化成一個(gè)n階微分方程 。特征方程就是這個(gè)方程。拉氏算子，只是一個(gè)微分符號(hào)。

例如，一個(gè)二階LCR系統(tǒng)，其電容充放電關(guān)系和電感充放電關(guān)系構(gòu)成的微分方程組就能構(gòu)成一個(gè)二階微分方程。

經(jīng)典控制的所有理論，都是基于常系數(shù)線性微分方程的理論。但是單純的微分方程，不具備任何物理意義。

因此控制理論中引入了極點(diǎn)的概念。

最簡(jiǎn)單的極點(diǎn)，就是一階慣性環(huán)節(jié)的極點(diǎn)。在電路中，一階慣性環(huán)節(jié)一般是由電阻和電容組成或者由電阻和電感組成?？紤]下面這樣一個(gè)電路：

假設(shè)初始狀態(tài)電壓源輸入為5V，且電路達(dá)到穩(wěn)定，電容C的電壓為5V，電阻電流為零。這時(shí)，我們給輸入電壓一個(gè)幅值為1V，脈寬為1ms的脈沖擾動(dòng)?？紤]上升沿的過(guò)程，由于電容電壓不能突變，故電阻R兩端形成5V的電壓差，產(chǎn)生了電流，流進(jìn)電容C（給電容充電）。

由于電容C的電荷量增加后其兩端電壓也增加，這樣左邊的電壓源電壓與右邊的電容電壓越來(lái)越小，充電電流越來(lái)越小，不久后就會(huì)形成一個(gè)新的穩(wěn)態(tài)，即輸入和電容電壓均為6V，電流為零。下降沿亦是同理，電壓最終回到5V。

我們對(duì)這種簡(jiǎn)單的一階RC環(huán)節(jié)的系統(tǒng)方程可以說(shuō)非常熟悉了，完全可以根據(jù)RC參數(shù)直接寫出電容電壓的表達(dá)式。從系統(tǒng)的特征方程出發(fā)，我們可以看到，這個(gè)系統(tǒng)僅存在一個(gè)極點(diǎn)，并且這個(gè)極點(diǎn)是在復(fù)平面（s平面）的負(fù)實(shí)軸上的。這個(gè)極點(diǎn)和RC常數(shù)相關(guān)。但這里我們不關(guān)心解析的結(jié)果，只關(guān)心這個(gè)過(guò)程對(duì)應(yīng)的物理概念。

現(xiàn)在的問(wèn)題是，這個(gè)RC系統(tǒng)中輸出能夠跟蹤輸入的最重要條件是什么？

--是電容的充放電特性。

怎樣理解？因?yàn)榻o電容通正電流時(shí)，電容兩端電荷積累，其電壓升高，反過(guò)來(lái)再減小了電阻上的壓差，從而減小電流，這本質(zhì)上是一種負(fù)反饋。

倘若上圖右邊的元件不是電容元件，而是一種通入電荷，電壓變低的特殊元件，那么這個(gè)負(fù)反饋就成了正反饋，不再具有收斂特性。

所以，一階RC系統(tǒng)的負(fù)半平面的單極點(diǎn)至少具備這兩個(gè)物理意義：

1）具有收斂特性，對(duì)應(yīng)的是能量的損耗。

2）極點(diǎn)離虛軸越遠(yuǎn)，延時(shí)效果越差，離虛軸越近，延時(shí)效果越好。

經(jīng)典控制系統(tǒng)一般考慮單輸入單輸出情況，因此可以認(rèn)為一個(gè)復(fù)雜系統(tǒng)由多個(gè)子系統(tǒng)級(jí)聯(lián)而成，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)的分母都可以化成單個(gè)極點(diǎn)的乘積。因此，經(jīng)典控制給出結(jié)論：系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是所有極點(diǎn)都在s平面的負(fù)半平面。

線性系統(tǒng)如果產(chǎn)生了正半平面極點(diǎn)，必定是不穩(wěn)定和發(fā)散的。前文中的特殊元件是一個(gè)例子，還有其他一些反饋機(jī)制，也能形成不穩(wěn)定和發(fā)散，這里不再舉例。

"所有極點(diǎn)位于負(fù)半s平面"這樣的穩(wěn)定性判據(jù)雖然直觀，但是涉及的計(jì)算量卻是極大的，特別是當(dāng)系統(tǒng)階數(shù)比較高的時(shí)候，求取極點(diǎn)談何容易！