1 二項(xiàng)式分布推導(dǎo)計(jì)算

二項(xiàng)分布的推導(dǎo)過(guò)程主要基于組合數(shù)學(xué)和概率論的基本原理。假設(shè)有一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，每次試驗(yàn)只有兩種可能的結(jié)果，通常稱為“成功”和“失敗”。成功的概率為p，失敗的概率為1?p。現(xiàn)在進(jìn)行n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，在這n次試驗(yàn)中成功k次的概率。

推導(dǎo)過(guò)程如下：

1) 確定組合方式：

首先，需要確定在n次試驗(yàn)中成功k次的組合方式有多少種。這可以通過(guò)組合數(shù)（也叫二項(xiàng)式系數(shù)）來(lái)計(jì)算，它表示從n個(gè)不同項(xiàng)中選取k個(gè)的不同方式的數(shù)目。組合數(shù)的計(jì)算公式為：

??

(1)

其中n!表示n的階乘，即 n×(n?1)×…×2×1。

2) 計(jì)算每種組合方式的概率：

接下來(lái)，計(jì)算每一種組合方式對(duì)應(yīng)的概率。由于每次試驗(yàn)成功的概率是p，失敗的概率是1?p，且試驗(yàn)是獨(dú)立的，所以成功k次且失敗n?k次的概率為pk×(1?p)n?k。

3) 將組合數(shù)與概率相乘：

最后，將組合數(shù)與每一種組合方式的概率pk×(1?p)n?k相乘，并考慮到所有可能的k值（從0到n），得到成功次數(shù)為k的總概率。因此，二項(xiàng)分布的概率質(zhì)量函數(shù)為：

????

k=0,1,2,…,n(2)

這個(gè)公式描述了在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中成功次數(shù)為k的概率，即二項(xiàng)分布的概率質(zhì)量函數(shù)。

需要注意的是，當(dāng)n和k的值較大時(shí)，直接計(jì)算階乘和組合數(shù)可能會(huì)非常繁瑣。在實(shí)際應(yīng)用中，通常會(huì)使用編程庫(kù)中的二項(xiàng)式分布函數(shù)來(lái)進(jìn)行計(jì)算，這些函數(shù)已經(jīng)優(yōu)化了計(jì)算過(guò)程，可以高效地處理大數(shù)值的情況。

2 從二項(xiàng)分布到泊松分布推導(dǎo)計(jì)算

從二項(xiàng)式分布推導(dǎo)泊松分布的詳細(xì)計(jì)算過(guò)程涉及幾個(gè)關(guān)鍵步驟和近似。逐步推導(dǎo)：

首先，回顧二項(xiàng)式分布的概率質(zhì)量函數(shù)：

????

k=0,1,2,…,n (3)

其中，X表示在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中成功的次數(shù)，p是每次試驗(yàn)成功的概率。

現(xiàn)在，考慮一種特殊情況：當(dāng)n很大，p很小，但np保持為一個(gè)中等大小的常數(shù)時(shí)，二項(xiàng)式分布可以近似為泊松分布。

推導(dǎo)過(guò)程如下：

1) 使用斯特林公式近似階乘：

斯特林公式給出了階乘的一個(gè)近似表達(dá)式：

?????????????

(4)

e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，約等于 2.71828。

利用這個(gè)公式，我們可以近似計(jì)算組合數(shù)： ? ?

???????

(5)

簡(jiǎn)化后得到：

??????

(6)

2) 將p替換為λ/n：

在泊松分布的上下文中，我們通常使用參數(shù)λ來(lái)表示平均發(fā)生率或期望值，即λ=np。因此，可以將p替換為λ/n得到

?????

(7)

進(jìn)一步簡(jiǎn)化，考慮到n很大而k相對(duì)較小，并且?的影響在?n?很大時(shí)可以忽略。。

上式子簡(jiǎn)化為

????

(8)

根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)

??????

(9)

3) 當(dāng)n趨于無(wú)窮大時(shí)，?趨近于?（這是由指數(shù)函數(shù)的定義和性質(zhì)得出的）。因此，上述(8)式進(jìn)一步簡(jiǎn)化為：

?????

(10)

這就是泊松分布的概率密度函數(shù)。綜上所述，當(dāng)二項(xiàng)式分布中的試驗(yàn)次數(shù)n很大，而每次試驗(yàn)成功的概率p很小時(shí)，通過(guò)一系列近似和變換，我們可以將二項(xiàng)式分布近似為泊松分布。這種近似在統(tǒng)計(jì)學(xué)和概率論中非常有用，特別是在處理大量小概率事件時(shí)。

3 泊松分布在分子免疫檢測(cè)中的應(yīng)用

在分子免疫檢測(cè)中，泊松分布可以用于描述在一定區(qū)域內(nèi)（如細(xì)胞表面、組織切片等）隨機(jī)出現(xiàn)的抗原分子數(shù)量或者熒光標(biāo)記分子的數(shù)量。例如：

1）流式細(xì)胞術(shù)分析

在流式細(xì)胞儀中，我們可能對(duì)單個(gè)細(xì)胞上特定抗原受體的數(shù)量感興趣。假設(shè)平均每個(gè)細(xì)胞上有 λ 個(gè)受體，那么根據(jù)泊松分布，給定細(xì)胞上具有 k 個(gè)受體的概率可以通過(guò)泊松概率質(zhì)量函數(shù)來(lái)計(jì)算：

這有助于研究人員了解細(xì)胞群體中不同受體表達(dá)水平的細(xì)胞比例。

2）免疫組化或免疫熒光實(shí)驗(yàn)：

在這些實(shí)驗(yàn)中，抗體與組織切片上的靶蛋白結(jié)合后，通過(guò)顯色劑或熒光探針進(jìn)行可視化。每單位面積（如一個(gè)視野或一個(gè)細(xì)胞核內(nèi)）的陽(yáng)性信號(hào)點(diǎn)數(shù)可以服從泊松分布。

實(shí)驗(yàn)人員可能想要知道在一定的觀察窗口內(nèi)觀測(cè)到 k 個(gè)信號(hào)點(diǎn)的概率，特別是在背景噪聲較高的情況下，泊松分布可以幫助量化這一隨機(jī)過(guò)程。

3）病毒或微生物計(jì)數(shù)：

分子免疫檢測(cè)也包括對(duì)病毒顆粒、細(xì)菌或其他微生物的定量。例如，在病毒載量檢測(cè)中，如果已知樣本中的平均病毒濃度，泊松分布可以用來(lái)預(yù)測(cè)在一次檢測(cè)中發(fā)現(xiàn)某個(gè)病毒拷貝數(shù)的概率。

4）基因表達(dá)定量：

在RNA測(cè)序（RNA-Seq）數(shù)據(jù)分析中，泊松分布模型有時(shí)也被用于估計(jì)轉(zhuǎn)錄本的豐度。盡管更為復(fù)雜的統(tǒng)計(jì)模型常被使用，但在某些簡(jiǎn)化條件下，基因表達(dá)水平的變化可以近似為泊松過(guò)程。

通過(guò)泊松分布的建模和計(jì)算，研究者能夠更準(zhǔn)確地推斷出生物分子的實(shí)際分布情況，并以此為基礎(chǔ)進(jìn)行進(jìn)一步的數(shù)據(jù)分析和統(tǒng)計(jì)推斷。

4 計(jì)算實(shí)例

泊松分布可以被用來(lái)精確描述超低濃度蛋白分子的檢測(cè)過(guò)程。以下是泊松分布在分子免疫檢測(cè)中的一個(gè)具體計(jì)算示例：

假設(shè)我們正在檢測(cè)一種特定蛋白質(zhì)分子的濃度，其平均出現(xiàn)率為λ。為了簡(jiǎn)化計(jì)算，我們假設(shè)λ=3，即平均每個(gè)樣本中有3個(gè)蛋白質(zhì)分子?，F(xiàn)在，我們想要計(jì)算在一個(gè)樣本中檢測(cè)到k個(gè)蛋白質(zhì)分子的概率。這可以通過(guò)泊松分布的概率質(zhì)量函數(shù)來(lái)完成。概率質(zhì)量函數(shù)的公式為：

其中，X是觀察到的蛋白質(zhì)分子數(shù)，k是具體的次數(shù)，λ是平均出現(xiàn)率。

例如，我們想要計(jì)算在一個(gè)樣本中檢測(cè)到恰好2個(gè)蛋白質(zhì)分子的概率。將λ=3和k=2代入公式，我們得到：

所以，在一個(gè)樣本中檢測(cè)到恰好2個(gè)蛋白質(zhì)分子的概率約為0.2241。

假設(shè)在一項(xiàng)針對(duì)某種細(xì)胞表面抗原的流式細(xì)胞術(shù)實(shí)驗(yàn)中，我們已知平均每個(gè)細(xì)胞上大約有4個(gè)該抗原分子（λ=4）?，F(xiàn)在想要計(jì)算在給定的一個(gè)細(xì)胞上觀察到恰好有6個(gè)這種抗原分子的概率。

根據(jù)泊松分布的概率質(zhì)量函數(shù)，可以這樣計(jì)算：

將 λ = 4 和 k = 6 帶入公式：

所以，在這個(gè)例子中，觀察到一個(gè)細(xì)胞上有6個(gè)該抗原分子的概率約為11.53%。

類似地，我們可以計(jì)算其他k值的概率。如果我們想要知道檢測(cè)到蛋白質(zhì)分子數(shù)少于或等于某個(gè)特定值（比如3）的概率，我們可以計(jì)算所有小于或等于3的k值的概率，并將它們相加。這稱為累積分布函數(shù)。值得注意的是，由于泊松分布的前提是事件之間是相互獨(dú)立的，因此在實(shí)際應(yīng)用中，需要確保樣本中的蛋白質(zhì)分子是隨機(jī)分布的，且每個(gè)分子的檢測(cè)是獨(dú)立的。此外，λ的估計(jì)也是非常重要的，它可以通過(guò)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)或理論模型來(lái)得出。通過(guò)這種方法，泊松分布在分子免疫檢測(cè)中為我們提供了一種精確量化超低濃度蛋白質(zhì)分子的工具，對(duì)于生物醫(yī)學(xué)研究和臨床診斷等領(lǐng)域具有重要意義。

熒光分子計(jì)數(shù)中，泊松分布可以用于預(yù)測(cè)在某個(gè)區(qū)域內(nèi)（如細(xì)胞內(nèi)或顯微圖像的像素點(diǎn)）隨機(jī)出現(xiàn)熒光標(biāo)記分子的數(shù)量。例如，在單分子熒光成像實(shí)驗(yàn)中，我們對(duì)每個(gè)細(xì)胞內(nèi)某種蛋白質(zhì)分子的平均表達(dá)量為λ個(gè)。

假設(shè)研究者使用了熒光標(biāo)記技術(shù)來(lái)檢測(cè)和量化細(xì)胞內(nèi)的某種蛋白質(zhì)，并且通過(guò)分析得知，在一個(gè)典型細(xì)胞內(nèi)平均有100個(gè)這種熒光標(biāo)記的蛋白質(zhì)分子（即λ=100）?，F(xiàn)在他們想要計(jì)算在一個(gè)特定細(xì)胞內(nèi)恰好觀測(cè)到120個(gè)熒光信號(hào)的概率。

應(yīng)用泊松分布概率質(zhì)量函數(shù)：

將 λ = 100 和 k = 120 帶入公式：

這個(gè)結(jié)果非常小，表示在給定條件下，觀察到恰好120個(gè)熒光標(biāo)記分子的概率極低。在實(shí)際數(shù)據(jù)分析時(shí)，通常會(huì)用泊松分布來(lái)擬合整個(gè)分子計(jì)數(shù)的數(shù)據(jù)集，以獲得總體表達(dá)水平、變異性以及不同表達(dá)水平下的細(xì)胞比例等統(tǒng)計(jì)信息。