摘要：

為了確保第五代移動通信（5G）技術(shù)的可靠性、穩(wěn)定性、高傳輸速率的優(yōu)勢，基于具有線性編碼復雜度的迭代編碼算法，提出了混合校驗矩陣構(gòu)造算法。該算法首先對傳統(tǒng)迭代編碼算法進行改進，使其適用于多元低密度奇偶校驗（NB-LDPC）碼；然后采用后向迭代法改變編碼方案和校驗矩陣構(gòu)造方式使?jié)u進邊增長（PEG）算法具有下三角結(jié)構(gòu)，并將其作為基矩陣；最后采用改進后具有下三角結(jié)構(gòu)的QC-LDPC算法生成循環(huán)移位矩陣和有限域系數(shù)矩陣，同時消除短環(huán)影響，從中選取最優(yōu)的校驗矩陣。仿真結(jié)果表明，混合構(gòu)造算法所構(gòu)造的多元LDPC碼不僅具有線性的編碼和存儲復雜度，且有較強的糾錯能力。

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0 引言

隨著移動互聯(lián)網(wǎng)和物聯(lián)網(wǎng)的不斷發(fā)展，第五代移動通信(Fifth-Generation Mobile Communication Technology，5G)面臨移動通信爆發(fā)式增長[1-2]。5G技術(shù)不僅需要大幅度提升頻譜利用效率，而且需要具備支持海量設備連接的能力[3-6]。由于低密度奇偶校驗(Low Density Parity Check，LDPC)碼具有高可靠性、快速收斂性及較強抗突發(fā)錯誤能力[7-8]，可以提高系統(tǒng)有效性[9-10]，使得3GPP RAN1會議在2016年確定在5G移動通信中使用LDPC碼作為移動帶寬eMBB業(yè)務數(shù)據(jù)的長碼塊編碼方案。

本文對2004年由王鵬提出的LDPC碼迭代編碼算法[11]進行改進，轉(zhuǎn)變?yōu)檫m用于多元LDPC碼的編碼算法，稱為多元迭代編碼算法；2005年，Hu Xiaoyu提出了漸進邊增長（Progressive Edge Growth，PEG）構(gòu)造算法[12]，該算法譯碼性能好，但編碼復雜度較高。本文針對PEG算法具有高編碼復雜度這一缺點，提出改進的PEG算法，即irPEG算法；結(jié)構(gòu)化構(gòu)造算法，即QC-LDPC構(gòu)造算法[13]，該算法復雜，譯碼性能差于隨機構(gòu)造算法，但復雜度大幅度下降，硬件實現(xiàn)性強。本文提出一種改進的QC-LDPC算法，使校驗矩陣具有下三角結(jié)構(gòu)，降低復雜度，加快收斂速度，構(gòu)造出無短環(huán)的校驗矩陣。然后，從編碼復雜度和糾錯性能兩方面考慮，基于多元迭代編碼算法，提出混合構(gòu)造算法，即HC構(gòu)造算法，將隨機構(gòu)造和結(jié)構(gòu)化構(gòu)造算法結(jié)合，irPEG算法構(gòu)造基矩陣，改進的QC-LDPC算法生成循環(huán)移位矩陣和有限域系數(shù)矩陣，消除短環(huán)影響，設置校驗矩陣個數(shù)，從中選取最優(yōu)校驗矩陣。該算法既具有隨機構(gòu)造的隨機性，又保持結(jié)構(gòu)化構(gòu)造的低復雜度，降低結(jié)構(gòu)化構(gòu)造對誤碼性能帶來的損失，是比較折中的算法。

1 多元迭代編碼算法

在圖1中對角線上的元素全部為GF(q)域上的非“0”元素，并且剩余的非“0”元素全部對應于對角線左邊。若構(gòu)造出的多元LDPC校驗矩陣具有圖1的結(jié)構(gòu)，則在編碼過程中可直接采用迭代編碼算法編碼。

其中，l∈[0，n-k-1]，hi，j表示校驗矩陣H中第i行j列上的元素，且k=n-m。由式(1)知，多元迭代編碼算法過程為利用校驗矩陣H中各行約束關系，采用后項迭代算法，逐次計算每個校驗位符號值。

對迭代編碼算法改進，將二元迭代編碼時采用的與(AND)和異或(XOR)運算，改進為GF(q)域上乘法和加法運算。同時多元迭代編碼算法的運算過程中引入了GF(q)域上除法運算。對運算量簡化，將對角線上元素設置為1，式(1)改為式(2)。

2 混合構(gòu)造算法

2.1 irPEG構(gòu)造算法

針對PEG算法具有較高編碼復雜度的缺點，提出一種具有下三角結(jié)構(gòu)非規(guī)則的PEG算法，即irPEG算法。該算法從編碼方案、構(gòu)造校驗矩陣方面改進，以降低編碼復雜度，提升糾錯性能。具體步驟如下：

(1)確定基矩陣中各參數(shù)

行列數(shù)、變量節(jié)點度分布序列，并且初始化基矩陣的信息，包括與變量節(jié)點相互連接的校驗節(jié)點的集合以及它的補集。

(2)構(gòu)造基矩陣對角線右側(cè)下三角部分

首先采用后項迭代算法從最后一列變量節(jié)點構(gòu)造，根據(jù)變量節(jié)點度分布[14]向前連接校驗節(jié)點。每列中第一個非“0”元素位置必須與對角線上校驗節(jié)點連接，其余非“0”元素需添加在對角線左側(cè)。尋找所有與該變量節(jié)點連接的校驗節(jié)點集合，從中篩選度數(shù)最小的校驗節(jié)點集合。若該集合含有多元素，則從中刪除構(gòu)成短環(huán)的校驗節(jié)點，隨機連接剩余某校驗節(jié)點，若只有一個元素，則直接連接該校驗節(jié)點。

(3)構(gòu)造基矩陣的前n-m列

從第n-m個變量節(jié)點依次向前構(gòu)造。根據(jù)初始化變量節(jié)點度分布序列選擇度數(shù)最小的校驗節(jié)點，保證每行行重相比于平均行重相差不大。刪除構(gòu)成短環(huán)的校驗節(jié)點后，從剩余校驗節(jié)點中隨機連接。

由于構(gòu)造出的矩陣具有下三角結(jié)構(gòu)，構(gòu)造時在滿足式(4)度分布的基礎上，將矩陣最后一列列重設置為1，校驗部分對角線上元素均為1，下三角部分均為0元素。由此可見，可以利用式(2)直接采用后多元迭代編碼算法進行編碼。

2.2 混合構(gòu)造算法

雖然irPEG算法結(jié)合多元迭代編碼算法可大大降低編碼復雜度，但更適用于中短碼硬件實現(xiàn)，對于長碼來說，硬件實現(xiàn)復雜度依然較高。此時犧牲多元LDPC碼一定糾錯性能，在改進的QC-LDPC算法的基礎上使其具有下三角結(jié)構(gòu)，同時采用irPEG算法構(gòu)造基矩陣WJ×L，提高多元LDPC碼隨機性，降低結(jié)構(gòu)化構(gòu)造對糾錯性能帶來的損失。將改進的QC-LDPC構(gòu)造算法與irPEG算法結(jié)合，稱為混合構(gòu)造算法，即HC構(gòu)造算法。HC構(gòu)造算法步驟如下：

(1)irPEG算法構(gòu)造基矩陣WJ×L。

給定多元LDPC碼度分布，根據(jù)irPEG算法構(gòu)造出具有下三角結(jié)構(gòu)二元基矩陣，大小為J×L。

(2)確定有限域元素系數(shù)矩陣GcJ×L，根據(jù)基矩陣非“0”元素位置，在(0，q-1)間隨機選擇gcj，l值。

(3)基矩陣WJ×L確定循環(huán)移位系數(shù)矩陣SJ×L。

將循環(huán)移位系數(shù)矩陣SJ×L對角線上系數(shù)設為0，隨機選擇移位系數(shù)sj，l，通過WJ×L結(jié)合避免長度為2i的充分必要條件，如式(5)所示，確定移位系數(shù)矩陣SJ×L中移位系數(shù)sj，l。

其中，0表示p×p維的零矩陣，P表示p×p維的單位陣，碼長為n=p×L，碼率為r=(1-J/L)。HC構(gòu)造算法的流程圖如圖2所示。

3 編碼復雜度分析

PEG算法、irPEG算法、HC算法的編碼復雜度如表1所示。其中，w是生成矩陣的平均列重，n是碼長，k是信息位長。

在存儲復雜度方面，HC算法構(gòu)造的LDPC碼存儲矩陣時存儲一個p×p維目標方陣P、一個J×L維多元系數(shù)矩陣GcJ×L及一個J×L循環(huán)移位系數(shù)矩陣SJ×L。irPEG算法構(gòu)造同樣大小校驗矩陣，存儲一個p×J×p×L大小的校驗矩陣?？梢姡琀C算法與irPEG算法相比具有更簡單的矩陣存儲結(jié)構(gòu)。

在編碼復雜度方面，PEG算法采用高斯消去編碼算法，irPEG算法和HC算法采用多元迭代編碼算法。高斯消去編碼復雜度包含預處理，運算復雜度為o(n3)，編碼復雜度為o(n2)，整個編碼過程需wn次乘法，(w-1)n次加法。多元迭代編碼算法整個編碼過程用到(w-1)(n-k)次加法，w(n-k)次乘法。

irPEG算法和HC算法能直接構(gòu)造出下三角校驗矩陣，避免了校驗矩陣預處理的同時保證了校驗矩陣的稀疏性。因此，w相對于n可以看成非常小的常數(shù)，實現(xiàn)多元LDPC碼的線性復雜度編碼，與傳統(tǒng)的構(gòu)造算法相比，大幅度地降低了編碼的復雜度。

4 仿真結(jié)果及分析

仿真參數(shù)設置：度分布服從式(4)的多元LDPC碼，矩陣通過PEG算法和irPEG算法生成，在十六進制1/2碼率（Code1）和3/4碼率（Code2）下進行仿真，Code1時，信息位長為512 bit；Code2時，信息位長為176 bit。譯碼采用Mixed Log-FFT-BP譯碼算法[15]，迭代次數(shù)25，BPSK調(diào)制，AWGN信道。

圖3和圖4分別為Code1和Code2時不同碼率下的糾錯性能。由圖3和圖4可知，irPEG算法與PEG算法誤碼率相比，性能相差不大，表明irPEG算法構(gòu)造具有下三角結(jié)構(gòu)的多元LDPC碼在大幅度降低硬件實現(xiàn)復雜度的同時，具有較強的糾錯能力。

對Code1和Code2譯碼時間進行測量，保持仿真環(huán)境一致性，如表2和表3所示。由表2可知，irPEG算法時間明顯比PEG算法少，當誤比特數(shù)較少時，時間節(jié)省量少于50%，隨著誤比特數(shù)增加，時間節(jié)省量穩(wěn)定在50%，因此，irPEG算法耗費時間僅為PEG算法50%。Code2在信噪比為4 dB時的仿真測試結(jié)果如表3所示，同樣表明譯碼所需時間減少一半。

參數(shù)設置如下：碼率1/2、2/3、3/4、4/5、6/7，矩陣通過PEG和HC生成，十六進制(Code3)下仿真，1/2碼率時，基矩陣16列，目標矩陣P為24×24單位陣；2/3碼率時，基矩陣18列，P為16×16單位陣；3/4碼率時，基矩陣16列，P為16×16單位陣；4/5碼率時，基矩陣20列，P為12×12單位陣；6/7碼率時，基矩陣14列，P為16×16單位陣，固定信息位長768 bit。圖5為Code3情況時，PEG算法與HC算法在不同碼率下的誤比特率性能。

由圖5可知，HC算法與PEG算法構(gòu)造的多元LDPC碼在低信噪比時沒有明顯差別；在高信噪比下HC算法性能略差于PEG算法構(gòu)造的多元LDPC碼，因此兩種算法具有一致的編碼增益。

5 結(jié)論

本文提出基于多元LDPC碼迭代編碼算法的混合校驗矩陣構(gòu)造算法，首先對迭代編碼算法改進，使其適用于多元LDPC碼；然后采用后項迭代法使PEG算法具有下三角結(jié)構(gòu)，并將其作為混合構(gòu)造算法基矩陣；最后采用改進后具有下三角的QC-LDPC碼算法生成循環(huán)移位矩陣和有限域系數(shù)矩陣，設置校驗矩陣的個數(shù)，從中選取最優(yōu)的校驗矩陣，該校驗矩陣消除了短環(huán)影響，形成混合構(gòu)造算法。仿真結(jié)果表明，本文提出的算法可以更好地適用于5G移動通信系統(tǒng)且滿足譯碼算法的需求，對于高速通信設備來說是一種很好的候選校驗矩陣構(gòu)造算法。