作者：葉揚(yáng)波 著名數(shù)學(xué)家，美國(guó)愛(ài)荷華大學(xué)教授。作為數(shù)論學(xué)家，他在中國(guó)大陸出版有《跡公式與模形式》等專著。以下是他談Atiyah關(guān)于黎曼猜想的證明的文章，觀點(diǎn)專業(yè)而且獨(dú)到，轉(zhuǎn)載此文，希望大家能根據(jù)此文看到Atiyah證明黎曼猜想的基本思想與價(jià)值。

這幾天大家都非常關(guān)心Atiyah證明黎曼猜想的事情。作為一名數(shù)論工作者，我自然也非常關(guān)心，而且反復(fù)閱讀了Atiyah的兩篇論文。現(xiàn)在所有的人都在說(shuō)他的證明不對(duì)，我想要進(jìn)一步弄清楚（1）他是用什么思路什么方法來(lái)研究黎曼猜想的，（2）他的所謂證明是否嚴(yán)格，（3）即使他的證明是錯(cuò)的，他的思路方法是否有可取之處?，F(xiàn)在談?wù)勎业目捶ǎ匝a(bǔ)充大家的熱議。

問(wèn)題（2）最容易回答，老先生的文章的確有許多漏洞。比如最關(guān)鍵的Todd函數(shù)T(s)他說(shuō)在任意凸區(qū)域內(nèi)是多項(xiàng)式，我覺(jué)得他應(yīng)該說(shuō)T(s)在凸區(qū)域內(nèi)是局部多項(xiàng)式。他又說(shuō)T(s)把直線Im(s)=1/2映射到自己，可是又說(shuō)T(s)在這條直線上的極限為137.035999...他說(shuō)T(s)在這條直線上是單調(diào)增，可是他明明剛說(shuō)過(guò)T(s)在凸區(qū)域1/4

更加致命的錯(cuò)誤可能是用T(s)來(lái)證明黎曼猜想。老先生用T(s)和黎曼zeta函數(shù)

zeta(s)=1/1^s+1/2^s+1/3^s+...

作了一個(gè)復(fù)合函數(shù)，宣稱該復(fù)合函數(shù)恒等于零，用這個(gè)矛盾推出了黎曼猜想成立?？墒沁@個(gè)證明過(guò)程中沒(méi)有用到zeta(s)的任何性質(zhì)與定義，也就是說(shuō)你可以把zeta(s)換成任何其他函數(shù)也能證明出來(lái)類似的定理。這就有點(diǎn)天方夜譚了。

Atiyah的證明是建立在實(shí)數(shù)域R上的von Neumann馮·卡門(mén)代數(shù)A和有理數(shù)域Q上的Hirzebruch代數(shù)A(Q)上的。這兩個(gè)代數(shù)超級(jí)巨大，比如A是2x2復(fù)矩陣代數(shù)與自身的無(wú)窮張量積的弱閉包。2x2復(fù)矩陣有兩個(gè)映射到復(fù)數(shù)域C，為矩陣映到其兩個(gè)特征值。老爺子把這兩個(gè)映射擴(kuò)充到A的中心C(A)上，用這兩個(gè)映射一來(lái)一回定義T(s)?？墒蔷仃嚧鷶?shù)的中心不是都由相同對(duì)角元素的對(duì)角矩陣組成的嗎？這兩個(gè)特征值是一樣的對(duì)不對(duì)？就算兩個(gè)特征值不一樣，你憑什么說(shuō)哪個(gè)是第一個(gè)哪個(gè)是第二個(gè)？尤其是還要來(lái)一個(gè)無(wú)窮張量積，全裹和到一塊兒去了，這樣定義出來(lái)的T(s)令人費(fèi)解。

回到問(wèn)題（1），大家已經(jīng)看出來(lái)了，Atiyah的理論是建立在巨大無(wú)比的兩個(gè)代數(shù)結(jié)構(gòu)上的。這兩個(gè)巨大的代數(shù)一個(gè)在R上，一個(gè)在Q上，它們之間的關(guān)系包含了所有的數(shù)論信息。而以這兩個(gè)代數(shù)中的元素作為線性算子，它們的特征值為所謂的證明提供了核心的基礎(chǔ)框架。不管證明對(duì)不對(duì)，上面這幾句話概括了Atiyah的思路與方法。

那么問(wèn)題（3）來(lái)了，到底Atiyah的思路與方法有沒(méi)有可取之處？

近年來(lái)數(shù)論界對(duì)黎曼猜想的研究，公認(rèn)的一個(gè)進(jìn)展是發(fā)現(xiàn)黎曼zeta函數(shù)的非平凡零點(diǎn)與重原子能級(jí)有同樣的統(tǒng)計(jì)分布。重原子能級(jí)是量子力學(xué)中Hamiltonian算子的特征值。這個(gè)發(fā)現(xiàn)一度被認(rèn)為是自黎曼猜想之后人類對(duì)黎曼zeta函數(shù)的第二個(gè)重大發(fā)現(xiàn)。但是幾年之后一位學(xué)者在德國(guó)的一家圖書(shū)館翻閱黎曼數(shù)學(xué)手稿，赫然發(fā)現(xiàn)黎曼在計(jì)算黎曼zeta函數(shù)零點(diǎn)的手稿的紙背，寫(xiě)有大量關(guān)于原子能級(jí)的計(jì)算。這一下真相大白，原來(lái)黎曼早就意識(shí)到了非平凡零點(diǎn)與重原子能級(jí)之間的可能聯(lián)系。

從此數(shù)論學(xué)家們的目標(biāo)就是要找到這樣一個(gè)算子，使得它的特征值是黎曼zeta函數(shù)的非平凡零點(diǎn)。然后通過(guò)研究這個(gè)算子，就像對(duì)稱算子特征值均為實(shí)數(shù)一樣，證明所有非平凡零點(diǎn)的實(shí)部均為1/2，從而證明黎曼猜想。而這個(gè)思路在有限域上的函數(shù)域上已經(jīng)被證明了。

從這個(gè)意義下來(lái)說(shuō)，Atiyah的思路是對(duì)的。算子有了，特征值也出現(xiàn)了。是不是他用的von Neumann算子代數(shù)和Hirzebruch算子代數(shù)真的包含了大家夢(mèng)寐以求可以用來(lái)證明黎曼猜想的那個(gè)算子，或者可以在其之上構(gòu)建出一個(gè)，我想這未來(lái)的幾年一定會(huì)研究輩出。大家翹首以待吧，或者最好親身加入這個(gè)研究的行列。這條路如果最終能夠走通，Atiyah的文章就是有歷史意義的了。