開(kāi)始機(jī)器學(xué)習(xí)之旅，需要什么層次的數(shù)學(xué)功底？ 尤其是對(duì)于那些沒(méi)有學(xué)過(guò)數(shù)學(xué)和統(tǒng)計(jì)學(xué)的同學(xué)們來(lái)說(shuō)，這個(gè)問(wèn)題當(dāng)前不甚清楚，在這篇文章中，我將要為那些使用機(jī)器學(xué)習(xí)技術(shù)來(lái)開(kāi)發(fā)產(chǎn)品或做學(xué)術(shù)研究的人們提供一些數(shù)學(xué)背景方面的建議。這些建議源于我與機(jī)器學(xué)習(xí)工程師、研究人員和教育工作者的對(duì)話，以及我在機(jī)器學(xué)習(xí)研究和產(chǎn)業(yè)方面的獨(dú)到經(jīng)驗(yàn)。

為了構(gòu)造（機(jī)器學(xué)習(xí)中）數(shù)學(xué)的背景，我會(huì)先講一些與傳統(tǒng)課堂不同的思維模式和策略。然后，我會(huì)概述不同類(lèi)型機(jī)器學(xué)習(xí)工作所需的具體背景，畢竟機(jī)器學(xué)習(xí)涉及的學(xué)科范圍太廣泛了（它涵蓋了高中級(jí)別的統(tǒng)計(jì)和微積分，也涵蓋了概率圖形模型（PGM）的最新進(jìn)展）。

我希望讀者們?cè)谧x到文章的最后時(shí)，能夠知道自己有效使用機(jī)器學(xué)習(xí)所必需的數(shù)學(xué)知識(shí)。

作為這篇文章的前言，我想說(shuō)：對(duì)于不同學(xué)習(xí)者的個(gè)人需求或目標(biāo)來(lái)說(shuō)，學(xué)習(xí)的風(fēng)格、架構(gòu)和資源都應(yīng)該是獨(dú)一無(wú)二的！

數(shù)學(xué)焦慮癥的小貼士

事實(shí)證明，很多人——包括工程師——都害怕數(shù)學(xué)。首先，我想談?wù)劇吧瞄L(zhǎng)數(shù)學(xué)”這類(lèi)傳說(shuō)。

事實(shí)是，擅長(zhǎng)數(shù)學(xué)的人都做過(guò)大量的數(shù)學(xué)練習(xí)。因此，在研究數(shù)學(xué)問(wèn)題被卡住時(shí)，他們依然能夠“風(fēng)雨不動(dòng)安如山”。如最近的研究所示，學(xué)生的心態(tài)，而非先天才能，才是預(yù)測(cè)一個(gè)人學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的能力的主要因素。

要清楚的是，要達(dá)到這種境界，需要時(shí)間和精力。這顯然不是你天生就有的能力。本文的剩余部分將幫助您確定所需的數(shù)學(xué)功底，并概述構(gòu)建它的策略。

萬(wàn)事開(kāi)頭難 作為軟性先修數(shù)學(xué)條件，我們假設(shè)你對(duì)線性代數(shù)/矩陣微積分都有了解，這樣你就不會(huì)為奇怪的符號(hào)苦惱。同時(shí)我們還假設(shè)你有基礎(chǔ)的概率知識(shí)。我們鼓勵(lì)你擁有基本的編程能力，這是領(lǐng)悟機(jī)器學(xué)習(xí)中的數(shù)學(xué)的有力工具。之后，你可以根據(jù)你感興趣的內(nèi)容調(diào)整你的學(xué)習(xí)重點(diǎn)。

如何在課外學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)？

我相信學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的最佳方式是以學(xué)生的身份全職學(xué)習(xí)。脫離了學(xué)校的環(huán)境，你可能不太容易獲得系統(tǒng)的知識(shí)結(jié)構(gòu)、正能量的同學(xué)壓力和其他可用資源。

為了在課外學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，我建議大家將學(xué)習(xí)小組或午餐研討會(huì)作為學(xué)習(xí)的重要途徑。在研究型的實(shí)驗(yàn)室中，這可能以閱讀小組的形式呈現(xiàn)。在構(gòu)建知識(shí)結(jié)構(gòu)方面，你的小組可以把教科書(shū)各章節(jié)過(guò)一遍，并定期對(duì)課程進(jìn)行討論，同時(shí)通過(guò)Slack平臺(tái)的途徑參與遠(yuǎn)程問(wèn)答。

這里，企業(yè)文化發(fā)揮著重要的作用——這種“額外”的研究學(xué)習(xí)應(yīng)該受到管理層的鼓勵(lì)和激勵(lì)，而不是被視為影響產(chǎn)品交付的消極怠工行為。事實(shí)上，雖然短期內(nèi)會(huì)花費(fèi)一些成本，但是構(gòu)建同伴驅(qū)動(dòng)的學(xué)習(xí)環(huán)境可以使你在長(zhǎng)期的工作中更有效率。

數(shù)學(xué)與代碼 在機(jī)器學(xué)習(xí)工作流程中，數(shù)學(xué)和代碼緊密結(jié)合。代碼通常直接由數(shù)學(xué)直覺(jué)構(gòu)建，有時(shí)它甚至?xí)蛿?shù)學(xué)符號(hào)使用相同的句法。事實(shí)上，現(xiàn)代數(shù)據(jù)科學(xué)框架應(yīng)用（例如NumPy）使得數(shù)學(xué)運(yùn)算（例如矩陣/矢量積）與可讀代碼之間的轉(zhuǎn)換變得直觀和有效。

我鼓勵(lì)你將編寫(xiě)代碼作為鞏固學(xué)習(xí)的一種方式。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和編寫(xiě)代碼都依賴(lài)于你對(duì)問(wèn)題理解和表述的精準(zhǔn)程度。例如，手動(dòng)編寫(xiě)損失函數(shù)或優(yōu)化算法，就是真正理解這些基礎(chǔ)概念的好方法。

讓我們來(lái)探索一個(gè)實(shí)際的問(wèn)題：在你的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中實(shí)現(xiàn)ReLU函數(shù)激活的反向傳播（是的，即使Tensorflow / PyTorch可以替你做這個(gè)?。?。這里簡(jiǎn)單介紹一下，反向傳播是一種依賴(lài)于微積分鏈?zhǔn)揭?guī)則來(lái)有效計(jì)算梯度的技術(shù)。為了在這個(gè)問(wèn)題設(shè)定下使用鏈?zhǔn)揭?guī)則，我們將上游導(dǎo)數(shù)與ReLU函數(shù)的梯度相乘。

我們先將ReLU激活函數(shù)進(jìn)行可視化（就是下圖的樣子），然后這樣定義這個(gè)函數(shù)：

為了計(jì)算函數(shù)的梯度（直觀來(lái)說(shuō)就是斜率），你可以想象出這樣一下分段函數(shù)，如下面的指示函數(shù)所示：

NumPy為我們提供了有用且直觀的語(yǔ)法——我們的激活函數(shù)（藍(lán)色曲線）可以通過(guò)代碼表述出來(lái)，其中x是我們的輸入，relu是我們的輸出：

relu = np.maximum(x, 0)

ReLU函數(shù)的梯度函數(shù)（紅色曲線）可以如下所示，grad表示上游梯度：

grad[x < 0] = 0

在沒(méi)有首先自己推導(dǎo)梯度公式的情況下，這行代碼可能沒(méi)有任何意義。在我們的代碼中，對(duì)于滿(mǎn)足[h <0]條件（即x<0）的所有元素，將其對(duì)應(yīng)上游激活函數(shù)的梯度（grad）數(shù)值設(shè)置為0。在數(shù)學(xué)上，這實(shí)際上相當(dāng)于ReLU梯度函數(shù)的分段表示，所有x軸上小于0的數(shù)值，當(dāng)乘以上游梯度時(shí)，它的值會(huì)變成0。

正如我們所見(jiàn)，通過(guò)我們對(duì)微積分的基本理解，我們可以清楚地理解代碼的含義。

構(gòu)建機(jī)器學(xué)習(xí)產(chǎn)品必需的數(shù)學(xué)知識(shí)

為了介紹這一節(jié)，我與機(jī)器學(xué)習(xí)工程師進(jìn)行了交談，確定了數(shù)學(xué)在調(diào)試系統(tǒng)時(shí)最有力的地方。以下是工程師基于數(shù)學(xué)見(jiàn)解回答的問(wèn)題示例。

如果你還沒(méi)有遇到過(guò)它們，請(qǐng)不要擔(dān)心。希望本節(jié)能夠?yàn)槟闾峁┮恍┨囟▎?wèn)題的相關(guān)內(nèi)容，也許你也會(huì)遇到類(lèi)似的問(wèn)題并嘗試解決喲！

Q：我該用哪種聚類(lèi)方法可視化高維的客戶(hù)數(shù)據(jù)呢？

A：PCA或者tSNE。

Q：我該如何校準(zhǔn)用來(lái)阻隔虛假用戶(hù)交易的安全閾值（例如在0.9或0.8的置信水平下）？

A：可以使用概率校準(zhǔn)（Probability calibration）。

Q：描述我衛(wèi)星數(shù)據(jù)在世界特定地區(qū)（如硅谷與阿拉斯加州）的偏差的最佳方法是什么？

A：這是一個(gè)開(kāi)放的研究型問(wèn)題。也許可以基于“人口平價(jià)”（demographic parity，該方法是要求預(yù)測(cè)必須與某特定敏感屬性不相關(guān)）的原則展開(kāi)。

通常，統(tǒng)計(jì)和線性代數(shù)可以通過(guò)某種方式應(yīng)用于這些問(wèn)題中的任何一個(gè)。但是，要獲得滿(mǎn)意的答案通常需要針對(duì)特定領(lǐng)域的方法。如果是這樣的話，你如何縮小你所需學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)范疇呢？

定義一個(gè)系統(tǒng)我們并不缺乏資源（例如數(shù)據(jù)分析使用scikit-learn，深度學(xué)習(xí)使用keras）去幫助我們進(jìn)行系統(tǒng)建模。而在建模之前，我們需要圍繞將要被建模的系統(tǒng)考慮這些問(wèn)題：

系統(tǒng)的輸入/輸出分別是什么？

應(yīng)該如何準(zhǔn)備好合適的數(shù)據(jù)格式，從而適應(yīng)系統(tǒng)要求？

如何進(jìn)行特征建?；驍?shù)據(jù)整理，以便于模型的推廣？

如何為需要解決的問(wèn)題設(shè)定合理的目標(biāo)？

你會(huì)驚訝地發(fā)現(xiàn)——要定義一個(gè)系統(tǒng)，其實(shí)非常復(fù)雜。而搭建數(shù)據(jù)工作流（data pipeline）也并不容易。換句話說(shuō)，構(gòu)建一個(gè)機(jī)器學(xué)習(xí)產(chǎn)品需要進(jìn)行大量的繁瑣復(fù)雜的工作；而這些工作并不需要太深的數(shù)學(xué)背景。

數(shù)學(xué)需要“按需學(xué)習(xí)”當(dāng)你一頭扎進(jìn)一個(gè)機(jī)器學(xué)習(xí)的任務(wù)中時(shí)，會(huì)發(fā)現(xiàn)其中有些步驟對(duì)你來(lái)說(shuō)難以進(jìn)行，這種情況在進(jìn)行算法調(diào)試時(shí)尤為常見(jiàn)。當(dāng)你停滯其中時(shí)，是否知道該如何解決這一窘境呢？你設(shè)定的權(quán)重是否合理？

為什么模型沒(méi)有按照某個(gè)損失定義進(jìn)行收斂？衡量成功的正確指標(biāo)是什么？此時(shí)，有一些方法可以幫助到你：對(duì)數(shù)據(jù)做出假設(shè)、以不同方式約束優(yōu)化、或嘗試不同的算法。

通常，你會(huì)發(fā)現(xiàn)建模/調(diào)試過(guò)程中需要數(shù)學(xué)直覺(jué)（例如，選擇損失函數(shù)或評(píng)估指標(biāo)），這些直覺(jué)可能有助于做出明智的工程決策。 這些是你學(xué)習(xí)的機(jī)會(huì)！

來(lái)自Fast.ai的Rachel Thomas是這種“按需”方法的支持者——在教育學(xué)生時(shí)，她發(fā)現(xiàn)對(duì)于深度學(xué)習(xí)的學(xué)生來(lái)說(shuō)，讓他們對(duì)將要學(xué)習(xí)的內(nèi)容感到興奮更為重要。之后，針對(duì)這些學(xué)生的數(shù)學(xué)教育即可“按需”填補(bǔ)之前未涉及的知識(shí)漏洞。

接下來(lái)我將介紹對(duì)研究性工作中的機(jī)器學(xué)習(xí)方法有用的數(shù)學(xué)思維方式。批判性的觀點(diǎn)認(rèn)為，機(jī)器學(xué)習(xí)研究方法就像是就像是“拿來(lái)主義”，人們只是通過(guò)把更多運(yùn)算扔進(jìn)模型中，從而獲得更好的預(yù)測(cè)表現(xiàn)。在一些圈子里，研究人員對(duì)實(shí)證研究方法仍然持懷疑態(tài)度，認(rèn)為這些方法缺乏數(shù)學(xué)上的嚴(yán)謹(jǐn)性（例如某些深度學(xué)習(xí)方法），這些方法是不能將人類(lèi)智慧發(fā)揮到極致的。

值得關(guān)注的是，研究界是建立在現(xiàn)有系統(tǒng)和假設(shè)的基礎(chǔ)上，而這些系統(tǒng)和假設(shè)可能不會(huì)擴(kuò)展我們對(duì)該領(lǐng)域的基本理解。研究人員需要提供新的基本模塊，供我們?cè)谠擃I(lǐng)域中獲取全新洞察力和方法。

這可能意味著我們需要像“深度學(xué)習(xí)教父” Geoff Hinton在他最近的Capsule Networks論文中所做的那樣 ，重新思考構(gòu)建某些領(lǐng)域的基礎(chǔ)知識(shí)（如應(yīng)用于圖形分類(lèi)的卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)）。

為了邁出下一步，我們需要提一些基本問(wèn)題。這需要在數(shù)學(xué)方面的極度熟練——深度學(xué)習(xí)一書(shū)的作者M(jìn)ichael Nielsen稱(chēng)之為“有趣的探索”。這個(gè)過(guò)程涉及數(shù)千小時(shí)停滯、提問(wèn)、重新思考問(wèn)題以探索新觀點(diǎn)。

“有趣的探索”使科學(xué)家們能夠提出深刻，富有洞察力的問(wèn)題，而不僅僅是簡(jiǎn)單的想法或架構(gòu)的結(jié)合。顯而易見(jiàn)，想要學(xué)會(huì)機(jī)器學(xué)習(xí)研究領(lǐng)域內(nèi)需要的所有知識(shí)，是不可能的任務(wù)！要正確地進(jìn)行“有趣的探索”，你需要遵循自己的興趣，而不是為最熱門(mén)的新結(jié)果感到焦慮。

機(jī)器學(xué)習(xí)研究是一個(gè)非常豐富的研究領(lǐng)域。當(dāng)然，它在公平性、可解釋性和可獲得性方面也存在亟待解決的問(wèn)題。在所有科學(xué)學(xué)科中都是如此，基本思維的獲得并不能一蹴而就。要在解決關(guān)鍵問(wèn)題所需的高水平數(shù)學(xué)框架的廣度進(jìn)行思考，需要長(zhǎng)期的耐心。

將機(jī)器學(xué)習(xí)研究“大眾化”希望我沒(méi)有把“研究數(shù)學(xué)”描繪得太深?yuàn)W，因?yàn)檫@些通過(guò)數(shù)學(xué)而產(chǎn)生的思考應(yīng)該以直觀的形式呈現(xiàn)！可悲的是，許多機(jī)器學(xué)習(xí)論文仍然充斥著復(fù)雜且不一致的術(shù)語(yǔ)，使關(guān)鍵的直覺(jué)難以被辨別。作為一名學(xué)生，你可以嘗試將密集的論文翻譯成容易被直觀理解和消化的小塊文章，通過(guò)博客和推特等發(fā)表，這將對(duì)你自己和這個(gè)領(lǐng)域大有裨益。你甚至可以從distill.pub中找些例子，當(dāng)作解釋機(jī)器模型研究方法結(jié)果的讀物。換句話說(shuō)，將技術(shù)思想的祛魅化作“有趣的探索”手段——你自己的學(xué)習(xí)（和機(jī)器學(xué)習(xí)Twitter）會(huì)感謝你的！主要領(lǐng)悟總的來(lái)說(shuō)，我希望這篇文章為你提供了一個(gè)思考研究機(jī)器學(xué)習(xí)所需數(shù)學(xué)教育的開(kāi)端。

不同的問(wèn)題需要不同程度的直覺(jué)，我鼓勵(lì)你首先弄清楚你的目標(biāo)是什么。

如果你希望構(gòu)建產(chǎn)品，請(qǐng)通過(guò)問(wèn)題尋找同行和學(xué)習(xí)小組，并深入研究最終目標(biāo)，激發(fā)你的學(xué)習(xí)。

在研究領(lǐng)域，廣泛的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)可以為你提供工具，通過(guò)提供新的基礎(chǔ)知識(shí)來(lái)推動(dòng)該領(lǐng)域的發(fā)展。