初始化對(duì)訓(xùn)練深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的收斂性有重要影響。簡單的初始化方案可以加速訓(xùn)練，但是它們需要小心避免常見的陷阱。

近期，deeplearning.ai就如何有效地初始化神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)參數(shù)發(fā)表了交互式文章，圖靈君將結(jié)合這篇文章與您一起探索以下問題：

1、有效初始化的重要性

2、梯度爆炸或消失的問題

3、什么是正確的初始化？

4、Xavier初始化的數(shù)學(xué)證明

一、有效初始化的重要性

要構(gòu)建機(jī)器學(xué)習(xí)算法，通常需要定義一個(gè)體系結(jié)構(gòu)（例如Logistic回歸，支持向量機(jī)，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)）并訓(xùn)練它來學(xué)習(xí)參數(shù)。 以下是神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的常見訓(xùn)練過程：

1、初始化參數(shù)

2、選擇優(yōu)化算法

3、重復(fù)這些步驟：

a、正向傳播輸入

b、計(jì)算成本函數(shù)

c、使用反向傳播計(jì)算與參數(shù)相關(guān)的成本梯度

d、根據(jù)優(yōu)化算法，使用梯度更新每個(gè)參數(shù)

然后，給定一個(gè)新的數(shù)據(jù)點(diǎn)，您可以使用該模型來預(yù)測(cè)它的類。

初始化步驟對(duì)于模型的最終性能至關(guān)重要，它需要正確的方法。 為了說明這一點(diǎn)，請(qǐng)考慮下面的三層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。 您可以嘗試使用不同的方法初始化此網(wǎng)絡(luò)，并觀察它對(duì)學(xué)習(xí)的影響。

當(dāng)初始化方法為零時(shí)，對(duì)于梯度和權(quán)重，您注意到了什么?

用零初始化所有權(quán)重會(huì)導(dǎo)致神經(jīng)元在訓(xùn)練期間學(xué)習(xí)相同的特征。

實(shí)際上，任何常量初始化方案的性能表現(xiàn)都非常糟糕。 考慮一個(gè)具有兩個(gè)隱藏單元的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，并假設(shè)我們將所有偏差初始化為0，并將權(quán)重初始化為一些常數(shù)α。 如果我們?cè)谠摼W(wǎng)絡(luò)中正向傳播輸入（x1，x2），則兩個(gè)隱藏單元的輸出將為relu（αx1+αx2）。 因此，兩個(gè)隱藏單元將對(duì)成本具有相同的影響，這將導(dǎo)致相同的梯度。

因此，兩個(gè)神經(jīng)元將在整個(gè)訓(xùn)練過程中對(duì)稱地進(jìn)化，有效地阻止了不同的神經(jīng)元學(xué)習(xí)不同的東西。

在初始化權(quán)重時(shí)，如果值太小或太大，關(guān)于成本圖，您注意到了什么?

盡管打破了對(duì)稱性，但是用值（i）太小或（ii）太大來初始化權(quán)重分別導(dǎo)致（i）學(xué)習(xí)緩慢或（ii）發(fā)散。

為高效訓(xùn)練選擇適當(dāng)?shù)某跏蓟凳潜匾?。我們將在下一?jié)進(jìn)一步研究。

二、梯度的爆炸或消失問題

考慮這個(gè)9層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。

在優(yōu)化循環(huán)的每次迭代（前向，成本，后向，更新）中，我們觀察到當(dāng)您從輸出層向輸入層移動(dòng)時(shí)，反向傳播的梯度要么被放大，要么被最小化。 如果您考慮以下示例，此結(jié)果是有意義的。

假設(shè)所有激活函數(shù)都是線性的（標(biāo)識(shí)函數(shù)）。 然后輸出激活是：

其中，L=10,W[1],W[2],…,W[L?1]都是大小為(2,2)的矩陣，因?yàn)閷覽1]到[L-1]有2個(gè)神經(jīng)元，接收2個(gè)輸入。考慮到這一點(diǎn)，為了便于說明，如果我們假設(shè)W[1]=W[2]=?=W[L?1]=W，輸出預(yù)測(cè)是y^=W[L]WL?1x（其中WL?1將矩陣W取為L-1的冪，而W[L]表示Lth矩陣）。

初始化值太小，太大或不合適的結(jié)果是什么？

情形1：過大的初始化值會(huì)導(dǎo)致梯度爆炸

考慮這樣一種情況:初始化的每個(gè)權(quán)重值都略大于單位矩陣。

這簡化為y^=W[L]1.5L?1x，并且a[l]的值隨l呈指數(shù)增加。 當(dāng)這些激活用于反向傳播時(shí)，就會(huì)導(dǎo)致梯度爆炸問題。 也就是說，與參數(shù)相關(guān)的成本梯度太大。 這導(dǎo)致成本圍繞其最小值振蕩。

情形2：初始化值太小會(huì)導(dǎo)致梯度消失

類似地，考慮這樣一種情況:初始化的每個(gè)權(quán)重值都略小于單位矩陣。

這簡化為y^=W[L]0.5L?1x，并且激活a [l]的值隨l呈指數(shù)下降。 當(dāng)這些激活用于反向傳播時(shí)，這會(huì)導(dǎo)致消失的梯度問題。 相對(duì)于參數(shù)的成本梯度太小，導(dǎo)致在成本達(dá)到最小值之前收斂。

總而言之，使用不適當(dāng)?shù)闹党跏蓟瘷?quán)重將導(dǎo)致神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練的發(fā)散或減慢。雖然我們用簡單的對(duì)稱權(quán)重矩陣說明了梯度爆炸/消失問題，但觀察結(jié)果可以推廣到任何太小或太大的初始化值。

三、如何找到合適的初始化值

為了防止網(wǎng)絡(luò)激活的梯度消失或爆炸，我們將堅(jiān)持以下經(jīng)驗(yàn)法則：

1、激活的平均值應(yīng)為零。

2、激活的方差應(yīng)該在每一層保持不變。

在這兩個(gè)假設(shè)下，反向傳播的梯度信號(hào)不應(yīng)該在任何層中乘以太小或太大的值。 它應(yīng)該移動(dòng)到輸入層而不會(huì)爆炸或消失。

更具體地考慮層l， 它的前向傳播是：

我們希望以下內(nèi)容：

確保零均值并保持每層輸入方差的值不會(huì)產(chǎn)生爆炸/消失信號(hào)，我們稍后會(huì)解釋。 該方法既適用于前向傳播（用于激活），也適用于反向傳播傳播（用于激活成本的梯度）。 推薦的初始化是Xavier初始化（或其派生方法之一），對(duì)于每個(gè)層l：

換句話說，層l的所有權(quán)重是從正態(tài)分布中隨機(jī)選取的，其中均值μ= 0且方差σ2= n [l-1] 1其中n [l-1]是層l-1中的神經(jīng)元數(shù)。 偏差用零初始化。

下面的可視化說明了Xavier初始化對(duì)五層全連接神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的每個(gè)層激活的影響。

您可以在Glorot等人中找到這種可視化背后的理論。（2010年）。 下一節(jié)將介紹Xavier初始化的數(shù)學(xué)證明，并更準(zhǔn)確地解釋為什么它是一個(gè)有效的初始化。

四、Xavier初始化的合理性

在本節(jié)中，我們將展示Xavier初始化使每個(gè)層的方差保持不變。 我們假設(shè)層的激活是正態(tài)分布在0附近。 有時(shí)候，理解數(shù)學(xué)原理有助于理解概念，但不需要數(shù)學(xué)，就可以理解基本思想。

讓我們對(duì)第（III）部分中描述的層l進(jìn)行處理，并假設(shè)激活函數(shù)為tanh。 前向傳播是：

目標(biāo)是導(dǎo)出Var（a [l-1]）和Var（a [l]）之間的關(guān)系。 然后我們將理解如何初始化我們的權(quán)重，使得：Var(a[l?1])=Var(a[l])。

假設(shè)我們使用適當(dāng)?shù)闹党跏蓟覀兊木W(wǎng)絡(luò)，并且輸入被標(biāo)準(zhǔn)化。 在訓(xùn)練初期，我們處于tanh的線性狀態(tài)。 值足夠小，因此tanh(z[l])≈z[l]，意思是：

此外，z[l]=W[l]a[l?1]+b[l]=向量(z1[l],z2[l],…,zn[l][l])其中zk[l]=∑j=1n[l?1]wkj[l]aj[l?1]+bk[l]。 為簡單起見，我們假設(shè)b[l]=0（考慮到我們將選擇的初始化選擇，它將最終為真）。 因此，在前面的方程Var(a[l?1])=Var(a[l])中逐個(gè)元素地看，現(xiàn)在給出：

常見的數(shù)學(xué)技巧是在方差之外提取求和。 為此，我們必須做出以下三個(gè)假設(shè)：

1、權(quán)重是獨(dú)立的，分布相同；

2、輸入是獨(dú)立的，分布相同；

3、權(quán)重和輸入是相互獨(dú)立的。

因此，現(xiàn)在我們有：

另一個(gè)常見的數(shù)學(xué)技巧是將乘積的方差轉(zhuǎn)化為方差的乘積。公式如下:

使用X=wkj[l]和Y=aj[l?1]的公式，我們得到：

我們差不多完成了！ 第一個(gè)假設(shè)導(dǎo)致E[wkj[l]]2=0，第二個(gè)假設(shè)導(dǎo)致E[aj[l?1]]2=0，因?yàn)闄?quán)重用零均值初始化，輸入被歸一化。 從而：

上述等式源于我們的第一個(gè)假設(shè)，即:

同樣，第二個(gè)假設(shè)導(dǎo)致：

同樣的想法：

總結(jié)一下，我們有:

瞧！ 如果我們希望方差在各層之間保持不變(Var(a[l])=Var(a[l?1]))，我們需要Var(W[l])=n[l?1]1。 這證明了Xavier初始化的方差選擇是正確的。

請(qǐng)注意，在前面的步驟中，我們沒有選擇特定的層ll。 因此，我們已經(jīng)證明這個(gè)表達(dá)式適用于我們網(wǎng)絡(luò)的每一層。 讓LL成為我們網(wǎng)絡(luò)的輸出層。 在每一層使用此表達(dá)式，我們可以將輸出層的方差鏈接到輸入層的方差：

根據(jù)我們?nèi)绾纬跏蓟瘷?quán)重，我們的輸出和輸入的方差之間的關(guān)系會(huì)有很大的不同。 請(qǐng)注意以下三種情況。

因此，為了避免正向傳播信號(hào)的消失或爆炸，我們必須通過初始化Var(W[l])=n[l?1]1來設(shè)置n[l?1]Var(W[l])=1。

在整個(gè)證明過程中，我們一直在處理在正向傳播期間計(jì)算的激活。對(duì)于反向傳播的梯度也可以得到相同的結(jié)果。這樣做，您將看到，為了避免梯度消失或爆炸問題，我們必須通過初始化Var(W[l])=n[l]1來設(shè)置n[l]Var(W[l])=1。

結(jié)論

實(shí)際上，使用Xavier初始化的機(jī)器學(xué)習(xí)工程師會(huì)將權(quán)重初始化為N(0,n[l?1]1)或N(0,n[l?1]+n[l]2)。 后一分布的方差項(xiàng)是n [l-1] 1和n [1] 1的調(diào)和平均值。

這是Xavier初始化的理論依據(jù)。 Xavier初始化與tanh激活一起工作。 還有許多其他初始化方法。 例如，如果您正在使用ReLU，則通常的初始化是He初始化（He et al，Delving Deep into Rectifiers），其中權(quán)重的初始化方法是將Xavier初始化的方差乘以2。雖然這種初始化的理由稍微復(fù)雜一些，但它遵循與tanh相同的思考過程。