軟件工程師們常常宣稱他們從來不用在大學(xué)里學(xué)到的任何數(shù)學(xué)知識。 說到這個，他們還會說連大學(xué)里學(xué)到的計算機(jī)專業(yè)知識都用不了多少。我搞了三十年數(shù)學(xué)，就讓別人來談計算機(jī)專業(yè)方面的情況，不過就數(shù)學(xué)的使用情況而言，我不得不坦白承認(rèn)那些軟件工程師太對了：他們就是用不著大學(xué)里學(xué)的數(shù)學(xué)。

但他們也太錯了。他們每天都運用著大學(xué)里學(xué)到的數(shù)學(xué)。

其實這沒什么矛盾。關(guān)鍵在于“運用”這詞何解。一種理解是軟件工程師們曾在數(shù)學(xué)課上常碰到的。比如，在高數(shù)課上學(xué)了分步積分法后，學(xué)生們就用該方法解相應(yīng)的練習(xí)題和考試題。這種所謂的“運用”最為常見，而且也是當(dāng)軟件工程師說他們從不用大學(xué)數(shù)學(xué)時所暗指的。不過，這種理解建立在把人的學(xué)習(xí)方式看作“填鴨”的觀點上。

根據(jù)這種“填鴨”觀，教育主要就是把知識灌到我們頭腦中，而運用我們所學(xué)主要就是把灌進(jìn)去的東西再倒出來。我敢說，這種教育觀高度簡化而且錯了。不過，現(xiàn)行教育制度（我也置身其中）下，人們開課，然后設(shè)置三小時反芻般的筆試（譯注：三小時的筆試是北美很多大學(xué)期末考試的標(biāo)準(zhǔn)）來檢驗課的效果。正是這種方式，一次又一次滋養(yǎng)了教育是填鴨的觀念。

相比之下，數(shù)十年來所有關(guān)于大腦工作方式及學(xué)習(xí)方法的大量研究都表明，掌握知識和像算法般的系統(tǒng)化做事步驟不過是人們學(xué)習(xí)過程的表象（我們知道那些是表象，因為我們一般都會在期末考試后飛快地忘記課堂上學(xué)到的東西）。教育的真正價值不在于此。我們的大腦或許是世上適應(yīng)性系統(tǒng)的最佳范例。當(dāng)我們讓大腦經(jīng)受長期的教育，大腦就會發(fā)生永久性的改變。從身體角度講，大腦中某部分傳導(dǎo)神經(jīng)纖維鏈進(jìn)一步生長并得到加強(qiáng)。從功用和經(jīng)驗的角度講，我們獲取了新的知識和技能。學(xué)習(xí)過程重復(fù)得越多，上述的改變就越強(qiáng)越久。

重復(fù)學(xué)習(xí)在數(shù)學(xué)里展現(xiàn)的效果之強(qiáng)烈，其他學(xué)科無出其右。形式化數(shù)學(xué)大概有五千多歲。5000年在漫漫進(jìn)化史中不過眨眼工夫，而且肯定只夠我們的大腦做出最細(xì)微的改變。因此，雖然閃族人在5000年到8000年前提出抽象的數(shù)，人類的數(shù)學(xué)思維當(dāng)在更久更久前便已發(fā)軔。我們在最初的自然選擇中發(fā)展了思考大自然和社會的能力，但人腦中應(yīng)數(shù)學(xué)思考而生的新改變將綜合我們的能力，使我們不光能思考具象的世界，還能推演我們頭腦所創(chuàng)照的純粹抽象世界。

要人腦處理新層次上的抽象極度困難。這就是為什么直到18世紀(jì)數(shù)學(xué)家們才能自如地處理零和負(fù)數(shù)，也是為什么直到今天許多人都不能接受負(fù)一的平房根是真正的數(shù)。

但是，軟件工程全跟抽象相關(guān)，它的每一個概念，觀點，以及方法，都是完全抽象的。當(dāng)然，很多軟件工程師都不這樣覺得，但這正說明了我的觀點。他們從數(shù)學(xué)課上得到的最大收益便是曾對純粹抽象的物體和結(jié)構(gòu)進(jìn)行過嚴(yán)格推演。而且，數(shù)學(xué)課是唯一給他們這種體驗的科目。這種體驗不在于那些課堂上教的重要東西，而在于其本身是數(shù)學(xué)化的。日常生活中，熟悉滋生出輕慢，而在學(xué)習(xí)如何在高度抽象的領(lǐng)域工作時，熟悉培養(yǎng)出的是種感覺，唔，熟悉的感覺 -- 就是說，曾經(jīng)讓人感到抽象的東西開始變得具體，因而變得比較容易對付。

盡管學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)帶給計算機(jī)專業(yè)人士的回報大過常人，但現(xiàn)今社會里每個人都能由此受益。例如，美國教育部1997年一項研究（The Reilly Report）表明，在高中修過嚴(yán)格的代數(shù)或幾何課的學(xué)生在升學(xué)方面表現(xiàn)更加優(yōu)秀，而且升學(xué)后的表現(xiàn)也更好，不管他們在大學(xué)里學(xué)的是什么。換句話說，看來完成一門嚴(yán)格的數(shù)學(xué)課 -- 學(xué)生們甚至不用學(xué)得多好 -- 是讓人們提高自己思維能力，變得聰穎的絕佳方法。這種思維能力能讓人們在各方面受益。

（我在自己的書，《數(shù)學(xué)基因：數(shù)學(xué)思考如何演進(jìn)及數(shù)為什么像閑言碎語》（Basic Books， 2000）中，我更加仔細(xì)地分析了本文的觀點，并確定了哪些生存優(yōu)勢致使人類有能力進(jìn)行數(shù)學(xué)思考。）

如我在這篇短文中所指，學(xué)數(shù)學(xué)對軟件工程師們的這種好處比對其他人大得多。其實，這是基本的先決條件。雖然并沒在工程系學(xué)生的必修數(shù)學(xué)課的要求里被正式提到，但它的確是數(shù)學(xué)為什么有用的真正理由。

Keith Devlin （devlin@csli.stanford.edu） 是斯坦福大學(xué)語言及信息研究中心的執(zhí)行主任

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總結(jié)一下：

軟件工程師不需要的是：死板的大學(xué)數(shù)學(xué)課中的內(nèi)容，比如積分。這是“填鴨”。

軟甲工程師需要的是：從數(shù)學(xué)課中重復(fù)學(xué)習(xí)而得到的抽象能力，比如對純粹抽象的物體和結(jié)構(gòu)進(jìn)行嚴(yán)格推演，使得對于抽象的東西開始感到具體而容易對付。

這樣說來，SICP一書真的是值得好好讀一讀的。