前面我們從代數(shù)角度出發(fā)討論了控制系統(tǒng)穩(wěn)定性的定義和勞斯－赫爾維茨穩(wěn)定判據(jù)。本節(jié)介紹判別系統(tǒng)穩(wěn)定性的另一種判據(jù)――奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)。該判據(jù)是根據(jù)開(kāi)環(huán)頻率特性來(lái)判定閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。同時(shí)，它還能反映系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定的程度，對(duì)于不穩(wěn)定的系統(tǒng)，判據(jù)與勞斯穩(wěn)定判據(jù)一樣，還能確切回答閉環(huán)系統(tǒng)有多少個(gè)不穩(wěn)定的特征根。

對(duì)于圖5－34所示的反饋控制系統(tǒng)，閉環(huán)傳遞函數(shù)為：

(5-38)

其特征方程式為

(5-39)

令

(5-40)

將式（5－40）代入式（5－39）得

式中， 、 、…、 是 的零點(diǎn)，也是閉環(huán)特征方程式的根； 、 、…、 是 的極點(diǎn)，也是開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)。因此根據(jù)前述閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件，要使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，特征函數(shù) 的全部零點(diǎn)都必須位于s平面的左半平面上。

5.4.1 輻角原理

由于 是s的有理分式，則由復(fù)變函數(shù)的理論知道， 除了在s平面上的有限個(gè)奇點(diǎn)外，它總是解析的，即為單值、連續(xù)的正則函數(shù)。因而對(duì)于s平面上的每一點(diǎn)，在 平面上必有唯一的一個(gè)映射點(diǎn)與之相對(duì)應(yīng)。同理，對(duì)s平面上任意一條不通過(guò) 的極點(diǎn)和零點(diǎn)的閉合曲線 ，在 平面上必有唯一的一條閉合曲線 與之相對(duì)應(yīng)，如圖5－35所示。若s平面上的閉合曲線 按順時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)，則其在 平面上的映射曲線 的運(yùn)動(dòng)方向可能是順時(shí)針，也可能是逆時(shí)針，它完全取決于復(fù)變函數(shù) 本身的特性。在此我們感興趣的不是映射曲線 的具體形狀，而是它是否包圍 平面的坐標(biāo)原點(diǎn)以及圍繞原點(diǎn)的方向和圈數(shù)，因?yàn)樗c系統(tǒng)的穩(wěn)定性有著密切的關(guān)系。

圖5－35　s平面上封閉曲線及其在F(s)平面上的映射線

由式（5-41）可知，復(fù)變函數(shù) 的相角為

(5-42)

假設(shè)s平面上的閉合曲線 以順時(shí)針?lè)较驀@ 的一個(gè)零點(diǎn)－ ， 的其余零點(diǎn)和極點(diǎn)均位于閉合曲線 之外。當(dāng)點(diǎn)s沿著閉合曲線 走了一周時(shí)，向量 的相角變化了 ，其余各向量的相角變化都為 。這表示在 平面上的映射曲線按順時(shí)針?lè)较驀@著坐標(biāo)原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周，如圖5－36所示。由此推論，若s平面上的閉合曲線 以順時(shí)針?lè)较虬鼑?的z個(gè)零點(diǎn)，則在 平面上的映射曲線 將按順時(shí)針?lè)较驀@著坐標(biāo)原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)z周。

如果s平面上的閉合曲線 按順時(shí)針?lè)较驀@著 的一個(gè)極點(diǎn) 旋轉(zhuǎn)一周，則向量 的相角變化了 。由式（5－42）可知， 的相角變化了 。這表示 平面上的映射曲線 按逆時(shí)針?lè)较驀@其坐標(biāo)原點(diǎn)一周。由此推廣到一般，若s平面上的閉合曲線 按順時(shí)針?lè)较驀@著 的p個(gè)極點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周，則其在 平面上的映射曲線 按逆時(shí)針?lè)较驀@著坐標(biāo)原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)p周。

綜上所述，可得到如下的輻角原理。

輻角原理　　設(shè)除了有限個(gè)奇點(diǎn)外， 是一個(gè)解析函數(shù)。如果s平面上的閉合曲線 以順時(shí)針?lè)较虬鼑?的Z個(gè)零點(diǎn)和P個(gè)極點(diǎn)，且此曲線不通過(guò) 的任何極點(diǎn)和零點(diǎn)，則其在 平面上的映射曲線 將圍繞著坐標(biāo)原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)N周，其中 。若 ，表示曲線 以順時(shí)針?lè)较驀@；若 ，則表示曲線 以逆時(shí)針?lè)较驀@。

5.4.2 奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)

如果閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的，則其特征方程式的根，即 所有的零點(diǎn)均位于s的左半平面。為了判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性，檢驗(yàn) 是否有零點(diǎn)在s的右半平面上即可。為此，在s平面上所取的閉合曲線 應(yīng)包含s的整個(gè)右半平面，如圖5-37所示。這樣，如果 有零點(diǎn)或極點(diǎn)在s的右半平面上，則它們必被此曲線所包圍。這一閉合曲線稱(chēng)為奈奎斯特軌線，它是由 軸表示的 部分和半徑為無(wú)窮大的半圓 部分組成。即s按順時(shí)針?lè)较蜓刂?由 運(yùn)動(dòng)到 ，爾后沿著半徑為無(wú)窮大的半圓 由 運(yùn)動(dòng)到 ，其中 。

由于 中的 ，當(dāng)s沿著奈氏軌線 運(yùn)動(dòng)時(shí)，有

＝常數(shù)

這說(shuō)明當(dāng)s沿著半徑為無(wú)窮大的半圓變化時(shí)，函數(shù) 始終是一常數(shù)。由此， 平面上的映射曲線 是否包圍坐標(biāo)原點(diǎn)，只取決于奈氏軌線中 部分的映射，即由 軸的映射曲線來(lái)表征。

設(shè)在 軸上不存在 的極點(diǎn)和零點(diǎn)，則當(dāng)s沿著 軸由 運(yùn)動(dòng)到 時(shí)，在 平面上的映射曲線 為

(5-43)

設(shè)閉合曲線 以順時(shí)針?lè)较虬鼑?img height=21 src="/article/UploadPic/2009-7/2009727142642478.gif" width=35 align=absMiddle v:shapes="_x0000_i1186"> 的z個(gè)零點(diǎn)和p個(gè)極點(diǎn)，由輻角原理可知，在 平面上的映射曲線 將按順時(shí)針?lè)较驀@著坐標(biāo)原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)N周，其中

(5-44)

由于

因而映射曲線 對(duì)其坐標(biāo)原點(diǎn)的圍繞相當(dāng)于開(kāi)環(huán)頻率特征曲線 對(duì)GH平面上的（－1，j0）點(diǎn)的圍繞，圖5－38示出了奈氏曲線映射在這兩個(gè)平面上的位置。

通過(guò)上述分析可知，閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性可通過(guò)其開(kāi)環(huán)頻率響應(yīng) 曲線對(duì)（－1，j0）點(diǎn)的包圍與否來(lái)判別，這就是下述的奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)。

奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)：

(1) 如果開(kāi)環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的，即P＝0，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是 曲線不包圍（－1，j0）點(diǎn)。

(2) 如果開(kāi)環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定，且已知有P個(gè)開(kāi)環(huán)極點(diǎn)在s的右半平面，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是 曲線按逆時(shí)針?lè)较驀@（－1，j0）點(diǎn)旋轉(zhuǎn)P周。

綜上，應(yīng)用奈氏判據(jù)判別閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性的具體步驟為：

（1）首先要確定開(kāi)環(huán)系統(tǒng)是否穩(wěn)定，若不穩(wěn)定，則P為多少？

（2）作出奈氏曲線 。具體作圖時(shí)可先畫(huà)出 從0到 的一段曲線，然后以實(shí)軸為對(duì)稱(chēng)軸，畫(huà)出 從0到 的另一段曲線，從而得到完整的奈氏曲線。

（3）計(jì)算奈氏曲線 對(duì)點(diǎn)（－1，j0）按順時(shí)針?lè)较虻陌鼑?shù)N。

（4）根據(jù)輻角原理確定Z是否為零。如果Z＝0，表示.閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定；反之， ，表示該閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。Z的數(shù)值反映了閉環(huán)特征方程式的根在s右半平面上的個(gè)數(shù)。

例 5－5 試用奈氏判據(jù)判別閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為

試用奈氏判據(jù)判別閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

解：當(dāng)ω由 變化時(shí)， 曲線如圖5－39所示。因?yàn)?img height=21 src="/article/UploadPic/2009-7/2009727142642236.gif" width=68 align=absMiddle v:shapes="_x0000_i1207"> 的開(kāi)環(huán)極點(diǎn)為－0.5，－1，－2，在s的右半平面上沒(méi)有任何極點(diǎn)，即P＝0，由圖5－39可知，由于奈氏曲線不包圍（－1，j0）這點(diǎn)，因此N＝0，則Z＝N＋P＝0。這表示該閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

5.4.3 奈奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)的進(jìn)一步說(shuō)明

1、開(kāi)環(huán)極點(diǎn)位于虛軸的情況

如果 在虛軸上存在極點(diǎn)，那么就不能直接用圖5－37所示的奈氏軌線，因?yàn)檩椊窃碇贿m用于奈氏軌線 不通過(guò) 的奇點(diǎn)。為此，可對(duì)圖5－37所示的奈氏軌線作些修改，使其沿著半徑為 的半圓繞過(guò)虛軸上的所有極點(diǎn)。假設(shè)開(kāi)環(huán)系統(tǒng)在坐標(biāo)原點(diǎn)處有其極點(diǎn)，則對(duì)應(yīng)的奈氏途徑要修改為如圖5－40所示。比較圖5－40與圖5－37可以發(fā)現(xiàn)，它們的區(qū)別在于圖5－40中多了一個(gè)半徑為無(wú)窮小的半圓 部分，其余兩者完全相同。因此，只需要研究圖5－40中的 部分在GH平面上的映射。

設(shè)系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)

(5-45)

在 部分上，令 ，其中 ，代入上式得

(5-46)

當(dāng)s按逆時(shí)針?lè)较蜓刂?img height=23 src="/article/UploadPic/2009-7/2009727142643116.gif" width=21 align=absMiddle v:shapes="_x0000_i1219"> 由點(diǎn)a移動(dòng)到c時(shí)，由式（5－46）可求得其在GH平面上的映射曲線：

對(duì)于 的I型系統(tǒng)， 部分在GH平面上的映射曲線為一個(gè)半徑為無(wú)窮大的半圓，如圖5－41a所示。圖中點(diǎn) 、 和 分別為 半圓上點(diǎn)a、b和c的映射點(diǎn)。

對(duì)于 的Ⅱ型系統(tǒng)， 部分在GH平面上的映射曲線是一個(gè)半徑為無(wú)窮大的半圓，如圖5－41b所示。

把上述 部分在GH平面上的映射曲線和 的奈氏曲線在 和 處相連接，就組成了一條封閉曲線。此時(shí)，又可應(yīng)用奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)了。

例5－6　試判別該系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

反饋控制系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳函數(shù)為

試判別該系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

解：由于該系統(tǒng)為I型系統(tǒng)，它在坐標(biāo)原點(diǎn)處有一個(gè)開(kāi)環(huán)極點(diǎn)，因而在s上所取的奈氏軌線應(yīng)如圖5－40所示。該圖的 部分在GH平面上的映射曲線為一半徑為無(wú)窮大的半圓，若將它與圖5－42的奈氏曲線 相連接，則有N＝2，而系統(tǒng)的P＝0，因而Z＝2，即閉環(huán)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，且有兩個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)位于s的右半平面。

例5－7　試分析時(shí)間常數(shù)的相對(duì)大小對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響并畫(huà)出它們所對(duì)應(yīng)的奈氏圖?！?/P>

已知系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為

試分析時(shí)間常數(shù) 和 的相對(duì)大小對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，并畫(huà)出它們所對(duì)應(yīng)的奈氏圖。

解　由開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)得

根據(jù)以上兩式，作出在 ， 和 三種情況下的 曲線，如圖5-43所示。當(dāng) 時(shí)， 曲線不包圍（－1，j0）點(diǎn)，因而閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的。當(dāng) 時(shí)， 曲線通過(guò)（－1，j0）點(diǎn)，說(shuō)明閉環(huán)極點(diǎn)位于 軸上，相應(yīng)的系統(tǒng)為不穩(wěn)定的。當(dāng) 時(shí)， 曲線以順時(shí)針?lè)较虬鼑?1，j0）點(diǎn)旋轉(zhuǎn)兩周，這意味著有兩個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)位于s右半平面上，該閉環(huán)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。

2、利用奈氏判據(jù)確定系統(tǒng)的參數(shù)穩(wěn)定范圍

如果系統(tǒng)中的某個(gè)參數(shù)或若干個(gè)參數(shù)是可以變化的，為使系統(tǒng)穩(wěn)定，可利用奈氏判據(jù)來(lái)確定系統(tǒng)的參數(shù)穩(wěn)定范圍，即根據(jù)奈氏曲線是否通過(guò)（－1，j0）點(diǎn)的條件來(lái)選定參數(shù)。下面以例說(shuō)明之。

例5－8 試用奈氏判據(jù)確定該閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的K值范圍。

已知一單位反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為

試用奈氏判據(jù)確定該閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的K值范圍。

解　該系統(tǒng)是一個(gè)非最相位系統(tǒng)，其開(kāi)環(huán)系統(tǒng)幅頻和相頻特性的表達(dá)式分別為

和慣性環(huán)節(jié)一樣，它的奈氏圖也是一個(gè)圓，如圖5－44所示。由于系統(tǒng)的P＝1，當(dāng)ω由 變化時(shí)， 曲線如按逆時(shí)針?lè)较驀@（－1，j0）點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周，即N＝－1，則Z＝1－1＝0，表示閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。由圖5－44可見(jiàn)，系統(tǒng)穩(wěn)定的條件是K＞1。

3、具有時(shí)滯環(huán)節(jié)的穩(wěn)定性分析

由于時(shí)滯系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)中有著 的環(huán)節(jié)，其閉環(huán)特征方程為一超越方程，因而勞斯穩(wěn)定判據(jù)就不適用了。但是，奈氏穩(wěn)定判據(jù)卻能較方便地用于對(duì)這類(lèi)系統(tǒng)穩(wěn)定性的判別。

設(shè)含有時(shí)滯環(huán)節(jié)的開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的傳遞如下：

(5-47)

式中， 為時(shí)滯時(shí)間常數(shù)。將上式改寫(xiě)成：

(5-48)

其中

(5-49)

不含時(shí)滯環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)。相應(yīng)地，開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的幅頻特性和相頻特性為：

(5-50)

上式表明，當(dāng) 時(shí)，相對(duì)于 ， 的幅值沒(méi)有變化，而相角則在每個(gè) 上順時(shí)針多轉(zhuǎn)動(dòng)了 。

由于實(shí)際的控制系統(tǒng)中， ，因此當(dāng) 時(shí)， 的模趨于零，因而 隨 以螺旋形趨于原點(diǎn)，并且與GH平面的負(fù)半軸相交無(wú)窮點(diǎn)，如圖5－45。因此為使系統(tǒng)穩(wěn)定，奈氏曲線與負(fù)實(shí)軸相交點(diǎn)必須位于（－1，j0）的左邊。

例5－9　試分析滯后時(shí)間 對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。

設(shè)一時(shí)滯控制系統(tǒng)如圖5－46所示。已知圖中的 ，試分析滯后時(shí)間 對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。

解　　系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為

(5-51)

取 值分別為0,2，4，圖5－47示出了式（5－51）在不同 值時(shí)的奈氏曲線。由圖可見(jiàn)，當(dāng)滯后時(shí)間 為零時(shí)，系統(tǒng)相當(dāng)于無(wú)時(shí)滯環(huán)節(jié)，不包圍（－1，j0）,所以閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的；當(dāng) ＝2時(shí)， 剛好經(jīng)過(guò)（－1，j0），系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)；當(dāng) ＝4時(shí)， 包圍（－1，j0）點(diǎn)，所以閉環(huán)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。可見(jiàn)，時(shí)滯時(shí)間的增大，對(duì)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定和性能都是極為不利的。

5.4.4 奈氏穩(wěn)定判據(jù)在對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖上的應(yīng)用

與奈氏圖的繪制相比，開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性的繪制更為簡(jiǎn)單、方便，因而研究開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性形式的奈氏穩(wěn)定判據(jù)是有實(shí)際意義的。注意到開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的奈氏圖與相應(yīng)的對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖之間有著下列的對(duì)應(yīng)關(guān)系：

1）GH平面上單位圓的圓周與對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖上的0dB線相對(duì)應(yīng)，單位圓的外部對(duì)應(yīng)于 ，單位圓的內(nèi)部對(duì)應(yīng)于 。

2）GH平面上的負(fù)實(shí)軸與對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖上的 線相對(duì)應(yīng)。

如果 曲線以逆時(shí)針?lè)较虬鼑ǎ?，j0）點(diǎn)一周，則此曲線必然由上向下穿越負(fù)實(shí)軸的 線段一次。由于這種穿越使相角增大，故稱(chēng)為正穿越，其次數(shù)用 表示。反這，若 曲線按順時(shí)針?lè)较虬鼑ǎ?，j0）點(diǎn)一周，則此曲線將由下向上穿越負(fù)實(shí)軸的 線段一次。由于這種穿越使相角減小，故稱(chēng)為負(fù)穿越，其次數(shù)用 表示。圖5－48a所示的為正負(fù)穿越數(shù)各一次的圖形。顯然，對(duì)應(yīng)于圖5－48a上的正負(fù)穿越在伯德圖上表現(xiàn)為：在 的頻域內(nèi)，當(dāng) 增加時(shí)，相頻曲線 由下而上（負(fù)穿越）和由上而下（正穿越）穿過(guò) 線各一次，如圖5－48b所示。

不難看出，在極坐標(biāo)圖上 曲線對(duì)于（－1，j0）點(diǎn)的包圍圈數(shù)N與其相頻特性曲線 在對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖上的負(fù)，正穿越數(shù)之差相等。即有

(5-52)

式中， 為在 頻率范圍內(nèi) 的負(fù)穿越數(shù)；為在 頻率范圍內(nèi) 的正穿越數(shù)。這樣，式（5－44）便可改寫(xiě)為

(5-53)

應(yīng)用上式，就可得到對(duì)數(shù)頻率特性形式的奈奎斯特判據(jù)：閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是，當(dāng)變化時(shí)，在 頻率范圍內(nèi)，相率特性 穿越 線的次數(shù)（正、負(fù)穿越數(shù)之差）為 。

在使用對(duì)數(shù)頻率特性的奈氏穩(wěn)定判據(jù)時(shí)，應(yīng)注意如下兩點(diǎn)：

（1） 判據(jù)中的頻率范圍是 ，而非如前述的 ；

（2） 若P為奇數(shù)，則意味著開(kāi)環(huán)系統(tǒng)并未產(chǎn)生真正的穿越，即相頻特性的起點(diǎn)在負(fù)半軸