歐拉公式與三角函數(shù)

　　根據(jù)歐拉公式 1 ，可以輕易推出：

　　三角函數(shù)定義域被擴(kuò)大到了復(fù)數(shù)域。我們把復(fù)數(shù)當(dāng)作向量來看待，復(fù)數(shù)的實(shí)部是 X 方向，虛部是Y 方向，很容易觀察出其幾何意義。

　　歐拉公式推導(dǎo)三角函數(shù)

　　將三角函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，它在復(fù)變函數(shù)論里占有非常重要的地位，并且有著廣泛而重要的應(yīng)用利用歐拉公式易得：

　　因此，歐拉公式使指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)在復(fù)數(shù)域中實(shí)現(xiàn)了相互轉(zhuǎn)化．近年來，歐拉公式已被廣泛應(yīng)用到初等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)。本文將利用歐拉公式導(dǎo)出部分三角函數(shù)公式。

　　1、三角函數(shù)大降冪

　　高次冪的正余弦函數(shù)在計(jì)算上給我們帶來諸多不便，利用歐拉公式可把高次冪的正余弦函數(shù)表示為一次冪函數(shù)的代數(shù)和，從而簡化計(jì)算。

　　1.1 余弦大降冪由式（2）易得：

　　1.2正弦大降冪由式（3）及式（2）易得：

　　以上所得到的降冪公式（４）（６）（８）（１０）皆與數(shù)學(xué)手冊［８］中給出的降冪公式完全一致

　　2 、導(dǎo)出三角函數(shù)多倍角公式

　　根據(jù)歐拉公式（１），一方面有：

　　以上所得到的多倍角公式（１４）（１５）和（２０）（２１）也與數(shù)學(xué)手冊［８］中完全一致。

　　3、導(dǎo)出和差化積公式文［３］利用歐拉公式導(dǎo)出了兩角和（差）的正、余弦公式

　　4、導(dǎo)出積化和差公式利用歐拉公式易得

　　5、結(jié)束語

? ? ? ? ? ? 在數(shù)學(xué)歷史上有很多公式都是歐拉發(fā)現(xiàn)的，它們都叫做歐拉公式，且分散在各個數(shù)學(xué)分支之中，復(fù)變函數(shù)論里的歐拉公式是最著名的歐拉公式之一．三角函數(shù)公式眾多，類型紛繁、靈活，這給解決三角變換問題帶來了諸多不便，本文通過歐拉公式來推導(dǎo)得出的結(jié)論，不僅可以使計(jì)算方便，也有很多理論上的意義．