這是達(dá)林頓(S. Darlington)經(jīng)典著作，現(xiàn)代網(wǎng)絡(luò)綜合的開山之作，濾波器類文章引用最高文章，他總結(jié)了之前濾波器的設(shè)計(jì)方法，并指出其缺陷，首次提出了使用插入損耗來設(shè)計(jì)濾波器的方法，這種方法一直沿用至今。將這篇文章分四次發(fā)表，這是其二。

綜合特定插入損耗指標(biāo)的LC四端口網(wǎng)絡(luò)(二)

SYNTHESIS OF REACTANCE 4-POLES WHICH PRODUCE PRESCRIBED INSERTION LOSS CHARACTERISTICS

包括對(duì)濾波器設(shè)計(jì)的特殊應(yīng)用
作者 S. Darlington*

使用實(shí)際電路結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)開路和短路阻抗

已經(jīng)開發(fā)出了設(shè)計(jì)方法，用于設(shè)計(jì)產(chǎn)生規(guī)定的開路和短路阻抗的各種不同的LC四端口網(wǎng)絡(luò)電路結(jié)構(gòu)，例如通過第一部分中描述的方法從插入損耗函數(shù)確定的阻抗。據(jù)說其中一些電路結(jié)構(gòu)是規(guī)范的(Canonical)，因?yàn)樗鼈兛梢员辉O(shè)計(jì)為具有任何一組可以用物理LC網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)的阻抗。其他的則不那么通用，但可以更有利地使用，或者是通用電路結(jié)構(gòu)的特殊情況，已經(jīng)為其開發(fā)了更簡(jiǎn)單的設(shè)計(jì)方法。

Cauer規(guī)范電路結(jié)構(gòu)

最簡(jiǎn)單的一般設(shè)計(jì)理論適用于由Cauer (5)引入的兩種規(guī)范LC 四端口網(wǎng)絡(luò)的設(shè)計(jì)。它們的電路結(jié)構(gòu)如圖6所示。它們是根據(jù)三個(gè)開路阻抗或短路導(dǎo)納的部分分式展開設(shè)計(jì)的，通過注意不同展開的部分分式之間的某些關(guān)系以及這些部分分式與各網(wǎng)絡(luò)分支的對(duì)應(yīng)關(guān)系來設(shè)計(jì)。由于Cauer已經(jīng)非常完整地描述了這些網(wǎng)絡(luò)，因此在這里沒有必要更詳細(xì)地描述它們。

圖6 Cauer的規(guī)范LC 四端口網(wǎng)絡(luò)

規(guī)范的串聯(lián)段電路結(jié)構(gòu)

Cauer的規(guī)范電路結(jié)構(gòu)僅在LC四端口特性的理論研究中特別有趣。當(dāng)涉及到實(shí)際應(yīng)用時(shí)，幾乎總是更喜歡使用由簡(jiǎn)單網(wǎng)絡(luò)或段以圖7所示的串聯(lián)方式連接而成的等效電路。在選擇性網(wǎng)絡(luò)或?yàn)V波器的情況下，使用串聯(lián)段通常是實(shí)際的需要。首先，使用串聯(lián)段允許通過不那么精確地調(diào)整元件到其理論值來獲得對(duì)理論傳輸特性的合理近似。

此外，最常見的濾波器可以以串聯(lián)形式構(gòu)建，而無需使用Cauer規(guī)范電路結(jié)構(gòu)的等效網(wǎng)絡(luò)所需的互感。

圖7 串聯(lián)四端口網(wǎng)絡(luò)電路

對(duì)于許多用途而言，梯形網(wǎng)絡(luò)是串聯(lián)組合的最有用形式。然而，即使在最一般的定義下，即任何由交替的串聯(lián)和并聯(lián)兩端阻抗組成的序列，梯形電路結(jié)構(gòu)也不能用于實(shí)現(xiàn)所有可用更一般的電抗四端網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)的開路和短路阻抗。另一方面，可以表明，梯形電路結(jié)構(gòu)的稍微修改或推廣總是可以實(shí)現(xiàn)的，因此可以被稱為規(guī)范電抗四端網(wǎng)絡(luò)。該電路結(jié)構(gòu)定義為四種類型的任意串聯(lián)組合，如圖8所示，可能在網(wǎng)絡(luò)的一端和理想變壓器串聯(lián)。

在許多情況下，上述規(guī)范網(wǎng)絡(luò)中并不需要所有四種類型的段，而且經(jīng)常出現(xiàn)沒有理想變壓器的情況。事實(shí)也證明，串聯(lián)電感通?？梢园诖?lián)分支中或類型的網(wǎng)絡(luò)中，這樣可以使類型和中的感性耦合不那么理想，甚至可以被這些部分中的并聯(lián)自感完全替代。例如，在大多數(shù)濾波器中，既沒有類型的段也沒有理想變壓器，而類型中的感性耦合幾乎總是可以消除的。

通用的LC二端網(wǎng)絡(luò)。類型和可能是不對(duì)稱的。
圖8 產(chǎn)生規(guī)范LC四端網(wǎng)絡(luò)的串聯(lián)段類型

串聯(lián)段電路結(jié)構(gòu)的一般理論

一端以恒定電阻終端的LC四端口網(wǎng)絡(luò)的輸入阻抗可以很容易地從開路和短路阻抗中確定。相反，可以證明，除了對(duì)應(yīng)于交換輸入或輸出端子的可能性的傳遞阻抗的符號(hào)有明顯的模糊性之外，開路和短路阻抗通常可以從對(duì)應(yīng)于規(guī)定的終端電阻的阻抗函數(shù)中確定。該規(guī)則的唯一例外對(duì)應(yīng)于導(dǎo)致降低階數(shù)的阻抗的終端值，并且對(duì)于任何一個(gè)網(wǎng)絡(luò)，這樣的值只能是有限的。

根據(jù)上述原則，獲得規(guī)定的開路和短路電抗阻抗的一種方法是，將一個(gè)以電阻終端的LC四端口設(shè)計(jì)為一個(gè)二端口，該二端口產(chǎn)生的輸入阻抗由開路和短路阻抗計(jì)算得出。在四端口的終端添加適當(dāng)?shù)睦硐胱儔浩?，將產(chǎn)生規(guī)定的開路和短路阻抗，前提是設(shè)計(jì)使得輸入阻抗的階數(shù)對(duì)于規(guī)定的阻抗和最終電路結(jié)構(gòu)是正常的。為了從所需的開路和短路阻抗計(jì)算輸入阻抗中獲得假定的終端電阻，添加的理想變壓器通常是必要的。

Brune（8）已經(jīng)展示了如何將任何給定的正實(shí)函數(shù)實(shí)現(xiàn)為A、B和C類型段的串聯(lián)組合的輸入阻抗，前提是允許在各段之間包含串聯(lián)電阻。當(dāng)正實(shí)函數(shù)的電阻段的根僅以相同的對(duì)出現(xiàn)并且都是實(shí)數(shù)或虛數(shù)時(shí)，可以以一種方式來執(zhí)行Brune的設(shè)計(jì)方法，以消除除形成終端的電阻之外的所有電阻。如果Brune的方法被最近的修改所替代，允許使用D類型的段，則對(duì)實(shí)數(shù)或虛數(shù)根的要求變得不必要。所獲得的電路結(jié)構(gòu)可以顯示為，具有與規(guī)定函數(shù)相同階數(shù)的阻抗函數(shù)將通過終端電阻的一般值獲得，即規(guī)定函數(shù)不代表降低階數(shù)的特殊情況。因此，可以容易地找到與任何可以產(chǎn)生輸入阻抗的LC四端口網(wǎng)絡(luò)相對(duì)應(yīng)的串聯(lián)段等效物，該輸入阻抗對(duì)于電路結(jié)構(gòu)是正常的階數(shù)，并且電阻部分的所有根都以相同的對(duì)出現(xiàn)。這被證明是所有物理LC四端口網(wǎng)絡(luò)的特性。

上述分析證明了通過在A、B、C、D類型的串聯(lián)組合的一端添加一個(gè)理想變壓器而形成的LC四端口網(wǎng)絡(luò)的規(guī)范性質(zhì)。還可以證明，通過一對(duì)端子通過電阻終端閉合而形成的兩端阻抗構(gòu)成一個(gè)規(guī)范的一般二端口。如上所述，這種類型的二端口可以對(duì)應(yīng)于任何正實(shí)函數(shù)，前提是電阻部分的根僅以相同的對(duì)出現(xiàn)。然而，當(dāng)允許使用導(dǎo)致降低階數(shù)的阻抗函數(shù)的終端電阻的特殊值時(shí)，對(duì)正實(shí)函數(shù)的限制變得不必要。由于LC四端口網(wǎng)絡(luò)的規(guī)范性質(zhì)，這可以通過僅僅展示如何找到一組導(dǎo)致由任何給定的正實(shí)函數(shù)表示的輸入阻抗的物理開路和短路電抗阻抗來證明。如何完成這一點(diǎn)如下所示。

假設(shè)要設(shè)計(jì)一個(gè)LC網(wǎng)絡(luò)，以便在遠(yuǎn)端以規(guī)定的電阻終端時(shí)在一端產(chǎn)生規(guī)定的輸入阻抗。由于輸入功率和接收功率的相等性，可以通過規(guī)定的阻抗容易地計(jì)算出在第二個(gè)電阻終端輸入端時(shí)將獲得的插入損耗。然后可以使用第一部分的通用理論來確定相應(yīng)的物理上可實(shí)現(xiàn)的開路和短路阻抗集。很容易證明，如果它是一個(gè)正實(shí)函數(shù)，那么其中一個(gè)將對(duì)應(yīng)于規(guī)定的阻抗。

設(shè)計(jì)流程

現(xiàn)在考慮設(shè)計(jì)串聯(lián)LC四端口網(wǎng)絡(luò)的實(shí)際操作，該LC網(wǎng)絡(luò)產(chǎn)生規(guī)定的開路和短路阻抗。如上所述，第一步是計(jì)算網(wǎng)絡(luò)任意一端的輸入阻抗，該端對(duì)應(yīng)于任意的遠(yuǎn)端終端，但要求阻抗函數(shù)的階數(shù)必須對(duì)開路和短路阻抗正常。然后設(shè)計(jì)一種類型為或的段，使其在被較低次的新物理阻抗終端時(shí)產(chǎn)生所需的輸入阻抗。接著設(shè)計(jì)第二段，使其在被進(jìn)一步降低階數(shù)的新阻抗終端時(shí)產(chǎn)生所需的終端阻抗。這一過程一直持續(xù)到所需的終端阻抗降低為恒定電阻為止。最后，用理想變壓器與電阻的等效組合代替所需的終端電阻，該電阻與計(jì)算原始輸入阻抗時(shí)假定的終端電阻相同。

Brune展示了如何將具有實(shí)頻軸上極點(diǎn)或根的任何正實(shí)函數(shù)分別實(shí)現(xiàn)為類型為或的段的輸入阻抗，并在降低階數(shù)的阻抗下被端接。Brune還展示了如何將沒有實(shí)頻軸上的根或極點(diǎn)，但電阻部分有一對(duì)相同的實(shí)根或虛根的正實(shí)函數(shù)實(shí)現(xiàn)為類型的段在被降低階數(shù)的物理阻抗下的輸入阻抗。最后，如果輸入阻抗的電阻部分的所有根都以相同對(duì)出現(xiàn)，則每種情況下所需的終端阻抗都具有相同的特性。因此，為了完成設(shè)計(jì)方法的解釋，只需要展示電阻部分的相同復(fù)根的出現(xiàn)如何允許使用類型為的段，就像當(dāng)根是實(shí)數(shù)或虛數(shù)時(shí)使用類型為的段一樣。

D型段的設(shè)計(jì)

假設(shè)某一規(guī)定的D型段在阻抗端接時(shí)產(chǎn)生規(guī)定的輸入阻抗。如果用表示D型段的行列式，并將輸入和輸出網(wǎng)格分別編號(hào)為1和2，則與的關(guān)系為：

其中，表示D型段在終端的短路阻抗。假設(shè)是一個(gè)正實(shí)函數(shù)，其電阻部分具有一對(duì)相同的復(fù)根，可以證明以下條件始終確定一個(gè)物理上的D型段，該線段導(dǎo)致一個(gè)比更低階數(shù)的物理上的：函數(shù)和需要具有一對(duì)重復(fù)根，它們也與的電阻部分的一對(duì)復(fù)根重合。

可以輕易證明，上述的和的根的重合會(huì)導(dǎo)致阻抗中不是的根的所有根都被抵消，這就排除了在平面的右半部分存在根的可能性。如果還假設(shè)D型段是物理上可實(shí)現(xiàn)的，簡(jiǎn)單的附加分析表明必須實(shí)際上是一個(gè)正實(shí)函數(shù)。這證明了本身的正實(shí)性，但不排除在中，的重合極點(diǎn)的正留數(shù)掩蓋了具有負(fù)留數(shù)的實(shí)極點(diǎn)。最后，可以證明，通過向原始輸入阻抗添加，可以在不改變的相應(yīng)留數(shù)的情況下分離兩個(gè)阻抗的任何重合極點(diǎn)?？梢酝ㄟ^證明上述條件導(dǎo)致表達(dá)式的根和極點(diǎn)的八次重合來證明的階數(shù)降低。

為了證明和的根的條件實(shí)際上導(dǎo)致了一個(gè)物理上的D型段，首先從該條件推導(dǎo)出元件值的顯式公式，而不考慮物理可實(shí)現(xiàn)性的問題。輸入阻抗在這些公式中僅通過及其電阻部分的雙重根處的導(dǎo)數(shù)值出現(xiàn)。這允許在公式中用產(chǎn)生輸入阻抗并在適當(dāng)?shù)暮愣娮柘露私拥奈锢鞮C四端口的開路阻抗替換。然后可以證明，D型段的相應(yīng)電容和自感將是有限的正實(shí)數(shù)。

梯形網(wǎng)絡(luò)所需的條件

當(dāng)所有插損無限大的頻率都是實(shí)數(shù)或虛數(shù)時(shí)，D型段不必包含在規(guī)范串聯(lián)段電路中。這是因?yàn)橥暾W(wǎng)絡(luò)的無限損耗頻率是各個(gè)部分的相應(yīng)臨界頻率，而D型段僅需要實(shí)現(xiàn)無限損耗的復(fù)頻率。當(dāng)D型段不存在時(shí)，網(wǎng)絡(luò)可以被視為一般的電抗梯形網(wǎng)絡(luò)，這可以定義為由LC兩端口組成的交替串聯(lián)和并聯(lián)支路的任意組合。雖然C型段中的串聯(lián)電感之間的耦合使它們比交替串聯(lián)和并聯(lián)兩端口更復(fù)雜，但可以將耦合視為僅僅是實(shí)現(xiàn)等效網(wǎng)絡(luò)中出現(xiàn)的負(fù)電感的裝置。

中間串聯(lián)低通梯形電路結(jié)構(gòu)

在上述類型的梯形網(wǎng)絡(luò)中可能存在的大量組合，只有少數(shù)是常用的。為了確定元件值而不涉及使用前面描述的串聯(lián)段的一般理論所需的工作，已經(jīng)為這些特定電路結(jié)構(gòu)開發(fā)了廣泛的特殊設(shè)計(jì)理論。特殊設(shè)計(jì)理論最好首先針對(duì)圖9所示的特定類型的梯形進(jìn)行開發(fā)，盡管它不一定是鏡像參數(shù)理論中的中間串聯(lián)型低通濾波器，但也可以被稱為中間串聯(lián)低通電路結(jié)構(gòu)。其他常見的電路結(jié)構(gòu)可以通過對(duì)這個(gè)特例的理論進(jìn)行簡(jiǎn)單的修改來設(shè)計(jì)。

最早計(jì)算圖9所示的中間串聯(lián)低通結(jié)構(gòu)的梯形元件值的特殊公式是由Norton（7）作為他的恒阻對(duì)濾波器理論的一部分而開發(fā)的。盡管Norton的公式代表了中間串聯(lián)低通梯形理論發(fā)展的重要一步，但已經(jīng)發(fā)現(xiàn)在數(shù)值問題中它們所要求的計(jì)算過于復(fù)雜，通常必須進(jìn)行非常高精度的數(shù)值計(jì)算。

圖9 中間串聯(lián)低通梯形電路結(jié)構(gòu)

因此，對(duì)設(shè)計(jì)問題進(jìn)行了廣泛的進(jìn)一步分析，推導(dǎo)出了一組新的公式。這些新公式在數(shù)值計(jì)算方面相對(duì)令人滿意，并且在各種理論研究中也很有用，例如確定可以用中間串聯(lián)低通梯形實(shí)現(xiàn)的阻抗。此外，公式的推導(dǎo)涉及另一組公式的開發(fā)，這組公式以非常緊湊的形式用行列式表示，并且在某些理論研究中很有用，盡管當(dāng)應(yīng)用于普通數(shù)值問題時(shí)它們具有與Norton公式相同的缺點(diǎn)。

推導(dǎo)設(shè)計(jì)公式的假設(shè)和條件

如果暫時(shí)采用某些簡(jiǎn)單的假設(shè)，中間串聯(lián)低通電路結(jié)構(gòu)的梯形設(shè)計(jì)公式的發(fā)展會(huì)得到簡(jiǎn)化。當(dāng)這些假設(shè)不滿足時(shí)，應(yīng)遵循的方法最好在公式推導(dǎo)出來之后進(jìn)行研究。首先，最簡(jiǎn)單的方法是從假設(shè)一組開路和短路阻抗開始，這些阻抗預(yù)先知道適合該電路結(jié)構(gòu)，將具有這種特性的阻抗問題留到以后解決。盡管可以找到需要排除某些解的特殊阻抗集，但進(jìn)一步假設(shè)阻抗是這樣的，通常遇到的元件解的多重性都是可能的。盡管在某些特殊情況下，某些開路和短路阻抗的階數(shù)可能會(huì)降低，但暫時(shí)假設(shè)所有插損無限大的頻率都是不同的，并且所有開路和短路阻抗對(duì)于該電路結(jié)構(gòu)都是正常階數(shù)，也可以避免某些困難。

以下關(guān)系適用于與上述假設(shè)一致的任何中間串聯(lián)低通電路結(jié)構(gòu)的梯形網(wǎng)絡(luò)，是所有已知元件值公式的基礎(chǔ)。首先，并聯(lián)支路的諧振與插損無限大的頻率相同，除了在無窮大處的一個(gè)無限損耗點(diǎn)。其次，在并聯(lián)支路諧振時(shí)，任何開路和短路驅(qū)動(dòng)點(diǎn)阻抗的假設(shè)值獨(dú)立于與其終端被并聯(lián)支路隔開的元件，該并聯(lián)支路在梯形中起短路作用。最后，在假設(shè)電路結(jié)構(gòu)的正常階數(shù)阻抗下，驅(qū)動(dòng)點(diǎn)阻抗函數(shù)相對(duì)于頻率的導(dǎo)數(shù)具有相同的特性。

事實(shí)證明，上述關(guān)系足以從一個(gè)開路或短路驅(qū)動(dòng)點(diǎn)阻抗以及插損無限大的頻率來確定所有元件值，除了開路阻抗情況下的遠(yuǎn)端電感。通?？色@得的解的多重性只是由于無限損耗的有限頻率可以任意分布在并聯(lián)支路作為其各自的諧振。為了獲得唯一的解，最好一開始就假設(shè)已經(jīng)選擇了特定的分布。然后問題就變成了將一個(gè)已知的LC二端阻抗實(shí)現(xiàn)為中間串聯(lián)低通電路結(jié)構(gòu)的梯形的開路或短路阻抗，其并聯(lián)支路諧振已經(jīng)規(guī)定。

連分?jǐn)?shù)展開基礎(chǔ)

元件值公式的開發(fā)需要引入廣泛的特殊符號(hào)，以便將設(shè)計(jì)問題簡(jiǎn)化為確定已知函數(shù)的特別簡(jiǎn)單的連分?jǐn)?shù)展開。首先，考慮圖10所示的各網(wǎng)絡(luò)支路阻抗的指定中的常數(shù)，用而不是表示，這樣更簡(jiǎn)單。 常數(shù)代表以表示的并聯(lián)支路諧振或無限損耗有限點(diǎn)的倒數(shù)，因此假定它們是已知的。因此，所考慮的問題相當(dāng)于確定所謂的梯形網(wǎng)絡(luò)系數(shù)，因?yàn)閺倪@些系數(shù)和一起確定元件值沒有任何困難。為了避免前面提到的設(shè)計(jì)公式的歧義，這些公式僅僅是各個(gè)的特定公式，方便地包含附加要求，即系數(shù)等的編號(hào)應(yīng)從它們要計(jì)算的特定開路或短路驅(qū)動(dòng)點(diǎn)阻抗的端子開始。

圖10 中間串聯(lián)低通梯形的阻抗支路設(shè)計(jì)

眾所周知，將2端阻抗實(shí)現(xiàn)為規(guī)定電路結(jié)構(gòu)的梯形網(wǎng)絡(luò)的輸入阻抗的問題相當(dāng)于獲得阻抗的某種規(guī)定形式的連分?jǐn)?shù)展開或一些相關(guān)函數(shù)的問題。對(duì)于所考慮的特定網(wǎng)絡(luò)，如果要展開的函數(shù)是通過將阻抗函數(shù)除以或其等效的而得到的，則所需的連分?jǐn)?shù)是最簡(jiǎn)單的。換句話說，最好定義為

其中是計(jì)算系數(shù)等的開路或短路阻抗。

由于是的奇有理函數(shù)，因此必須是的函數(shù)。這建議用新變量替換以降低的次數(shù)。然而，事實(shí)證明，如果使用此變量的倒數(shù)，則會(huì)獲得更簡(jiǎn)單的連分?jǐn)?shù)。因此，引入了以下附加符號(hào)：

其中表示新變量，而表示對(duì)應(yīng)于無限損耗頻率的的值。用這種符號(hào)表示，所需的連分?jǐn)?shù)展開具有以下形式：

問題是解決這個(gè)恒等式的，假設(shè)常數(shù)和變量的函數(shù)是已知的。

在推導(dǎo)通過上述問題的解決而開發(fā)的更有用的公式時(shí)，分析的第一部分致力于推導(dǎo)前面提到的以行列式形式緊湊表示的替代公式。最終的公式然后通過將行列式展開為函數(shù)的部分分式表示來推導(dǎo)。由于推導(dǎo)的兩個(gè)部分都涉及漫長(zhǎng)而復(fù)雜的代數(shù)運(yùn)算，因此在這里只對(duì)其進(jìn)行簡(jiǎn)要概述。如果行列式中初步公式的陳述先于它們推導(dǎo)的概述，將更加明晰。

以行列式表示的的公式

在的初步解中出現(xiàn)的行列式由形成，定義為上述符號(hào)表示的：

其中,?等用于表示和在等處的取值。使用符號(hào)和是一致的，因?yàn)槭钱?dāng)接近時(shí)所接近的極限。

行列式本身有三種不同的類型。行列式定義為，其中和取值從1到。即，

行列式是通過將的最后一列的元件更改為1而獲得的。即，

最后，行列式是通過將的最后一列的元件從更改為而獲得的。因此，

除了之外，所有這些行列式都給出了梯形網(wǎng)絡(luò)系數(shù)的公式。這些系數(shù)由以下設(shè)計(jì)方程給出：

系數(shù)對(duì)應(yīng)于形成最后一個(gè)串聯(lián)支路的電感。如果函數(shù)是從開路阻抗獲得的，則必須從其他阻抗確定該系數(shù)。如果對(duì)應(yīng)于短路阻抗，則可以從在零頻率下的值或通過使用上述公式和任意附加常數(shù)來找到。

上述公式可以通過一種相當(dāng)直接但冗長(zhǎng)且繁瑣的歸納法推導(dǎo)出來。首先從Norton方程或直接從連分?jǐn)?shù)（25）在和附近的行為推導(dǎo)出前四個(gè)系數(shù)的公式。這給出了上述的關(guān)于和的特殊公式，并顯示了關(guān)于和的公式與關(guān)于和的一般公式一致。然后證明如果關(guān)于和的公式是正確的，那么關(guān)于和的公式也必須是正確的。這首先通過使用關(guān)于和的公式來表示從網(wǎng)絡(luò)中移除前兩個(gè)分支（對(duì)應(yīng)于和）所得到的“簡(jiǎn)化”阻抗中的和來完成。然后將這個(gè)“簡(jiǎn)化”阻抗替換為原始阻抗和關(guān)于和的公式的等效表達(dá)式。最終通過對(duì)結(jié)果方程中行列式的大量操作得出關(guān)于和的一般公式。

除非所有的常數(shù)都是不同的（符合最初的假設(shè)，即沒有兩個(gè)相同的無限損耗頻率），否則公式（30）是不確定的。然而，可以通過假設(shè)無限小的差異并使用Taylor級(jí)數(shù)展開表示作為?的函數(shù)來處理重合的無限損耗頻率。當(dāng)所有的無限損耗頻率都是相同的，除了一個(gè)在無窮大處的頻率時(shí)，連分?jǐn)?shù)（25）變成一個(gè)由Fry（12）考慮的Stieltjes分?jǐn)?shù)類型。無疑可以通過Taylor級(jí)數(shù)方法從（30）推導(dǎo)出Stieltjes分?jǐn)?shù)展開中的已知常數(shù)公式。

在得出最終公式后，通過展示如何擴(kuò)展第一組行列式，最好考慮除了沒有兩個(gè)相同頻率的無限損耗之外的摒棄原始假設(shè)的效果。

通過展開行列式推導(dǎo)最終設(shè)計(jì)公式

可以輕易證明，如果將函數(shù)展開為部分分?jǐn)?shù)的和，只要從中推導(dǎo)出的開路或短路驅(qū)動(dòng)點(diǎn)阻抗在物理上是可實(shí)現(xiàn)的，該展開將始終采用以下形式：

在這個(gè)表達(dá)式中，除了有時(shí)可能為零之外，所有的和都是正的且都是有限的。

根據(jù)的部分分?jǐn)?shù)展開，如(26)中定義的行列式元件變?yōu)椋?/p>

而只需在此公式中將等于即可得到。出現(xiàn)在的公式(30)中的由(27)至(29)定義的行列式可以根據(jù)這些的部分分?jǐn)?shù)表示進(jìn)行展開。然而，這些展開的推導(dǎo)過程太長(zhǎng)且復(fù)雜，只能在此簡(jiǎn)要概述。

在推導(dǎo)行列式的展開時(shí)，首先檢查與展開中的部分分?jǐn)?shù)數(shù)量相同的特定行列式。發(fā)現(xiàn)這個(gè)特定的行列式可以表示為兩個(gè)一般形式為的行列式的乘積，這在行列式理論的著名論文中進(jìn)行了評(píng)估。然后證明了較高階的行列式必須為零，而較低階的行列式則等同于可分解的相似行列式的和。這些和中的每一項(xiàng)實(shí)際上都是通過僅使用的部分分?jǐn)?shù)中的個(gè)來獲得的行列式，即，通過將(32)中除了個(gè)之外的所有設(shè)置為零。對(duì)于每個(gè)可能的個(gè)部分分?jǐn)?shù)的選擇，必須有一個(gè)這樣的項(xiàng)。確定了行列式的展開之后，可以通過將它們視為行列式的某些極限情況來展開和行列式。

當(dāng)將這些行列式的展開插入到用于計(jì)算的方程(30)中時(shí)，可以消去無窮大損耗點(diǎn)等之間的差的各種因子。然后，這些公式變?yōu)椋?/p>

其中，代表原始行列式展開的未取消部分。

這些最好用這些量來表示，這些量由遞歸公式定義：

用這些量來表示，在一般情況下需要非常復(fù)雜的求和和乘積符號(hào)。因此，最好通過列出足夠多的特定情況來避免一般情況的必要性，以確定這樣的聲明必須顯示什么。

簡(jiǎn)化后的的公式列在表I中，以及在實(shí)際計(jì)算梯形網(wǎng)絡(luò)系數(shù)時(shí)所需的額外先前關(guān)系。這些足以表示一般情況，并且對(duì)于普通的設(shè)計(jì)目的也足夠了，特別是當(dāng)網(wǎng)絡(luò)的兩端的阻抗已知時(shí)，可以從每端確定部分元件。然而，通過為特定段數(shù)開發(fā)更專門形式的方程，可以獲得一些額外的簡(jiǎn)化。阻抗在零和無窮大的行為也可以有利地用于確定一個(gè)或兩個(gè)系數(shù)，對(duì)于這些系數(shù)，標(biāo)準(zhǔn)公式最復(fù)雜或用于檢查目的。還推導(dǎo)出了對(duì)稱格型網(wǎng)絡(luò)的梯形等價(jià)的特殊簡(jiǎn)化公式，這些公式通常在對(duì)稱電路的設(shè)計(jì)中首先計(jì)算。然而，當(dāng)考慮格型網(wǎng)絡(luò)的理論時(shí)，最好在后面介紹這些公式。

在普通的數(shù)值問題中，展開的公式不需要極高的計(jì)算精度，而在使用Norton方程或行列式公式時(shí)通常需要這種精度。同樣，當(dāng)遇到無限損耗的重合頻率時(shí)，展開的公式不會(huì)像其他公式那樣變得不確定。盡管從一個(gè)問題到另一個(gè)問題，這種情況的階數(shù)可能會(huì)有很大差異，但這些公式也會(huì)導(dǎo)致普通設(shè)計(jì)問題中更直接的數(shù)值計(jì)算。雖然公式的復(fù)雜性隨著網(wǎng)絡(luò)復(fù)雜性的增加而迅速增加，使它們不適合設(shè)計(jì)超過四段或可能五段的梯形網(wǎng)絡(luò)，但很少遇到這樣復(fù)雜的網(wǎng)絡(luò)。最后，一般段數(shù)的梯形公式假設(shè)一種形式，使它們?cè)谘芯康屯ㄌ菪尉W(wǎng)絡(luò)的阻抗要求或避免耦合線圈等的可能性等一般研究中很有用。

表I：一般中間串聯(lián)低通梯形網(wǎng)絡(luò)

以及其它乘積和的和。

插入損耗函數(shù)與可通過中間串聯(lián)低通梯形結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)的阻抗

中間串聯(lián)低通梯形結(jié)構(gòu)適合實(shí)現(xiàn)如下形式的插入功率比：

其中，表示梯形中的并聯(lián)分支數(shù)量，而和為任意常數(shù)。除了對(duì)應(yīng)于和的離散選擇的某些特殊情況外，總是可以通過直接的方法找到可與中間串聯(lián)低通梯形結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)并受電路結(jié)構(gòu)的正常階數(shù)和元件值的正常多重性先前假設(shè)限制的相應(yīng)開路和短路阻抗。

確定阻抗的第一步是使用的分子和分母作為多項(xiàng)式和，為第一部分的一般阻抗理論中的多項(xiàng)式和找到解。很容易證明，部分中指示的多項(xiàng)式的解的多重性是這樣的：就一般可實(shí)現(xiàn)性而言，和的符號(hào)可以任意選擇，也可以選擇的符號(hào)。除了上面提到的非常特殊的情況外，如果和的符號(hào)按照以下條件選擇，則第一部分中方程（18）中展示的阻抗公式會(huì)產(chǎn)生與所需類型的梯形相對(duì)應(yīng)的可實(shí)現(xiàn)阻抗：在零頻率下必須為正，在無限頻率下必須為負(fù)，而在零頻率下必須為正或?yàn)樨?fù)，這取決于終端是大于還是小于。

特殊情況下遇到的困難

在特殊情況下可能遇到的困難分為兩種類型。第一種類型，盡管阻抗函數(shù)具有該電路結(jié)構(gòu)的正常形式，但仍可能遇到。第二種類型對(duì)應(yīng)于由于相應(yīng)通用公式的分子和分母的根重合而出現(xiàn)的各種開路或短路阻抗，其階數(shù)較低。

可以證明，如果所有的阻抗都是正常階數(shù)，則無窮損耗的有限頻率不能與開路或短路驅(qū)動(dòng)點(diǎn)阻抗的根或極點(diǎn)重合。因此，表I的設(shè)計(jì)公式中出現(xiàn)的量的對(duì)應(yīng)值都將是有限的。在這些量中，總是正的，但和可能是負(fù)的。因此，由表I中指示的方式由形成的量都將是有限的，但量和可能為零。的消失僅僅是用一個(gè)簡(jiǎn)單導(dǎo)體代替了一個(gè)串聯(lián)電感，但的消失導(dǎo)致了對(duì)三個(gè)網(wǎng)絡(luò)分支的要求，這些分支在所有頻率上都具有無窮阻抗，一個(gè)并聯(lián)分支和兩個(gè)相鄰的串聯(lián)分支。

如果不再假定所有的的解的多樣性都是物理的，則通常可以通過修改特定無窮損耗頻率的選擇來克服這種類型的困難，這些特定頻率應(yīng)作為各個(gè)并聯(lián)分支的諧振，或者選擇對(duì)應(yīng)于相同插入損耗的不同阻抗集。然而，有可能遇到所有解決方案都導(dǎo)致相同困難的情況。然后必須修改梯形電路，至少使用一個(gè)反諧振電路作為串聯(lián)分支。這可以通過適當(dāng)?shù)匦薷恼５脑O(shè)計(jì)方法來實(shí)現(xiàn)。

當(dāng)存在與開路或短路驅(qū)動(dòng)點(diǎn)阻抗的根或極點(diǎn)重合的無窮損耗的有限頻率時(shí)，一些阻抗函數(shù)的階數(shù)將降低。然后，通?？梢酝ㄟ^將終端串聯(lián)或并聯(lián)分支或兩者都添加到具有正常電路結(jié)構(gòu)阻抗的中間串聯(lián)損耗通梯形電路來實(shí)現(xiàn)阻抗。然而，通常也可能僅僅通過使用在計(jì)算元件值時(shí)仍具有正常階數(shù)的阻抗來獲得正常中間串聯(lián)低通形式的完整網(wǎng)絡(luò)。當(dāng)所有阻抗都降低階數(shù)時(shí)，可以使用正常設(shè)計(jì)方法的修改，或者使用適用于規(guī)范串聯(lián)段電路結(jié)構(gòu)的一般方法。

消除各種元件

允許任何或所有無窮損耗的頻率置于無窮大處沒有任何困難。這僅僅要求相應(yīng)的并聯(lián)分支是簡(jiǎn)單的電容而不是諧振電路。通過在（35）中將適當(dāng)?shù)脑O(shè)置為零，以及在表I的設(shè)計(jì)公式中將代表它們平方的相應(yīng)設(shè)置為零來進(jìn)行設(shè)計(jì)。

式（35）的一般形式中的某些功率比也導(dǎo)致一個(gè)或多個(gè)串聯(lián)電感的消失。這類情況中有一個(gè)特殊情況特別重要，在這種情況下，一個(gè)終端串聯(lián)分支消失，而下一個(gè)并聯(lián)分支是一個(gè)簡(jiǎn)單的電容，留下圖11所示的網(wǎng)絡(luò)類型。功率比的適當(dāng)形式是通過將分子中的項(xiàng)減少一個(gè)，并將的數(shù)量也減少一個(gè)從（35）中獲得的。換句話說，

圖11 與插入損耗函數(shù)的特殊形式相對(duì)應(yīng)的中間串聯(lián)低通梯形電路結(jié)構(gòu)的特殊形式

其他常見類型的梯形網(wǎng)絡(luò)

圖12所示的梯形網(wǎng)絡(luò)電路結(jié)構(gòu)可描述為中間并聯(lián)低通電路結(jié)構(gòu)，通過重新定義系數(shù)（與圖中所示的分支阻抗相對(duì)應(yīng)）可以非常容易地進(jìn)行設(shè)計(jì)。這些系數(shù)與短路和開路導(dǎo)納的關(guān)系與中間串聯(lián)類型梯形的系數(shù)與開路和短路阻抗的關(guān)系完全相同。因此，當(dāng)中間串聯(lián)和中間并聯(lián)梯形網(wǎng)絡(luò)在和端接時(shí)，只要它們的系數(shù)滿足以下方程關(guān)系，就會(huì)產(chǎn)生相同的插入損耗：

其中，和分別是中間串聯(lián)和中間并聯(lián)梯形網(wǎng)絡(luò)的系數(shù)，必須在兩個(gè)網(wǎng)絡(luò)中從相反的兩端進(jìn)行編號(hào)。

在中間串聯(lián)類型梯形網(wǎng)絡(luò)中可實(shí)現(xiàn)的負(fù)電感在相應(yīng)的并聯(lián)類型電路結(jié)構(gòu)中變?yōu)樨?fù)電容。然而，可以通過以適當(dāng)?shù)姆绞揭肜硐胱儔浩鱽韺?shí)現(xiàn)這些電路結(jié)構(gòu)。要了解如何實(shí)現(xiàn)這一點(diǎn)，只需注意，由任何二端元件（如電容）并聯(lián)的理想變壓器等效于一對(duì)“完全耦合阻抗”，與完全耦合電感類似。

其他類型的梯形網(wǎng)絡(luò)可以通過使用眾所周知的頻率變換方法來設(shè)計(jì)。先前的設(shè)計(jì)公式適用于確定一個(gè)由電抗元件組成的低通梯形網(wǎng)絡(luò)，該網(wǎng)絡(luò)產(chǎn)生的插入損耗由的適當(dāng)函數(shù)表示。假設(shè)通過將替換為相關(guān)變量，將其他一些插入損耗函數(shù)變換為相同的函數(shù)。由于低通濾波器理論中的電抗元件僅僅是用于產(chǎn)生與或其倒數(shù)成比例的阻抗的裝置，因此現(xiàn)在可以使用相同的理論來設(shè)計(jì)一個(gè)由與或其倒數(shù)成比例的阻抗組成的相應(yīng)梯形網(wǎng)絡(luò)。如果原始低通梯形網(wǎng)絡(luò)的所有元件都是正數(shù)，則變換后的梯形網(wǎng)絡(luò)的阻抗分支可以用物理兩端元件實(shí)現(xiàn)，條件是代表物理阻抗函數(shù)。如果原始低通梯形網(wǎng)絡(luò)包括可通過耦合線圈實(shí)現(xiàn)的負(fù)電感，則變換后的梯形網(wǎng)絡(luò)中的負(fù)元件可以通過使用理想變壓器來實(shí)現(xiàn)，就像包括負(fù)電容的中間并聯(lián)低通梯形網(wǎng)絡(luò)一樣。

圖12 中間并聯(lián)低通梯形網(wǎng)絡(luò)電路結(jié)構(gòu)

通過在低通梯形網(wǎng)絡(luò)中用電容替換電感或反之，可以獲得中間串聯(lián)和中間并聯(lián)高通電路結(jié)構(gòu)。這些電路結(jié)構(gòu)可以通過定義為并使用由的函數(shù)表示的功率比來設(shè)計(jì)，這些函數(shù)與適用于低通電路結(jié)構(gòu)的函數(shù)相同。帶通電路結(jié)構(gòu)可以通過定義為來設(shè)計(jì)，前提是當(dāng)它們的插入損耗特性相對(duì)于繪制時(shí)，它們關(guān)于對(duì)稱。然后，它們可以作為所有諧振在的串聯(lián)和并聯(lián)諧振電路的組合來實(shí)現(xiàn)。帶阻電路結(jié)構(gòu)的情況與此完全類似，其為。

通常遇到的其他梯形電路結(jié)構(gòu)只有圖13所示的更一般的帶通類型及其逆類型。所示的串聯(lián)類型通常可以設(shè)計(jì)為一個(gè)等效的更簡(jiǎn)單的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，如圖14所示。它可以通過圖15A所示的所謂的阻抗變換從等效網(wǎng)絡(luò)中確定。等效網(wǎng)絡(luò)本身的形式是這樣的，表I的公式可以直接應(yīng)用于其設(shè)計(jì)。例如，在遠(yuǎn)離變壓器的端子處測(cè)量的短路驅(qū)動(dòng)點(diǎn)阻抗是由一個(gè)與確定中間串聯(lián)低通梯形網(wǎng)絡(luò)的開路阻抗完全相同的電路結(jié)構(gòu)確定的，該梯形的遠(yuǎn)端端子并聯(lián)分支由一個(gè)簡(jiǎn)單的電容組成。表I的公式?jīng)]有涵蓋的唯一操作是變壓器阻抗比的確定，它由開路和短路驅(qū)動(dòng)點(diǎn)阻抗在零頻率時(shí)的行為來確定。

圖13 一般的中間串聯(lián)帶通梯形網(wǎng)絡(luò)電路結(jié)構(gòu)

圖14 圖13網(wǎng)絡(luò)的等效電路

圖15 表示阻抗變換原理的網(wǎng)絡(luò)等效電路

圖13的逆電路結(jié)構(gòu)由并聯(lián)諧振電路代替串聯(lián)諧振電路組成，其設(shè)計(jì)方法完全相同，借助圖15B所示的等效關(guān)系進(jìn)行設(shè)計(jì)。

正元件的充分條件

從實(shí)際構(gòu)造的角度來看，在實(shí)現(xiàn)物理梯形網(wǎng)絡(luò)中的負(fù)元件時(shí)有時(shí)需要完全耦合的電感和理想變壓器，這是非常不理想的。下面陳述的兩個(gè)條件足以確保中間串聯(lián)低通梯形網(wǎng)絡(luò)中的所有元件都是正的，使得在梯形網(wǎng)絡(luò)本身或與梯形網(wǎng)絡(luò)通過頻率變換或反演關(guān)系（如式（37））相關(guān)聯(lián)的其他網(wǎng)絡(luò)中，不需要使用耦合線圈或理想變壓器。雖然這些條件不是必需的，但它們?cè)谧C明濾波器設(shè)計(jì)中遇到的大多數(shù)梯形網(wǎng)絡(luò)都期望在不使用耦合的情況下實(shí)現(xiàn)時(shí)非常有用。

假設(shè)一個(gè)中間串聯(lián)低通電路結(jié)構(gòu)和適當(dāng)一般形式的阻抗，第一個(gè)條件要求所有無窮損耗的頻率都是實(shí)數(shù)（或無窮大），并且大于至少一個(gè)開路驅(qū)動(dòng)點(diǎn)阻抗的所有有限極點(diǎn)。第二個(gè)條件要求與最接近終端的并聯(lián)分支的諧振相對(duì)應(yīng)的特定無窮損耗頻率也等于或大于相應(yīng)開路阻抗的所有根。通過檢查表I的公式并回顧所有的和都是正的，很容易建立這些條件的充分性。

一個(gè)有趣的特殊情況是所有的無窮損耗頻率都出現(xiàn)在無窮遠(yuǎn)處?？梢钥闯觯鲜鰲l件在這個(gè)特殊情況下總是滿足的。因此，所有形如式（35）且所有的都為零的功率比都可以用與定-k低通鏡像參數(shù)濾波器相同電路結(jié)構(gòu)的網(wǎng)絡(luò)來實(shí)現(xiàn)，前提是滿足一般物理要求，即它在所有實(shí)頻率下必須不小于。對(duì)于所有的都為零的功率比（36），情況也是如此，相應(yīng)的定-k電路結(jié)構(gòu)僅包括奇數(shù)個(gè)“半段”。這兩個(gè)特殊的功率比包括中的所有偶次多項(xiàng)式，它們具有單位常數(shù)項(xiàng)，并且滿足實(shí)頻率下的物理極限。

對(duì)稱和逆阻抗梯形網(wǎng)絡(luò)

用作濾波器的梯形網(wǎng)絡(luò)通常具有滿足兩個(gè)特殊條件之一的阻抗和終端。一種條件要求電對(duì)稱網(wǎng)絡(luò)和相等的終端。另一個(gè)要求每個(gè)開路阻抗相對(duì)于終端的平均值等于網(wǎng)絡(luò)另一端短路阻抗的倒數(shù)。

如果要滿足對(duì)稱性或逆阻抗的要求，在第一部分中，與插入損耗相關(guān)的阻抗公式（18）中的多項(xiàng)式或必須恒等于零。對(duì)和與插入功率比的關(guān)系的檢查表明，它們的抵消需要以下形式的表達(dá)式：

在對(duì)稱網(wǎng)絡(luò)和相等終端的情況下，以及

在逆阻抗網(wǎng)絡(luò)的情況下。

功率比的（38）和（39）形式的指標(biāo)簡(jiǎn)化了設(shè)計(jì)方法，因?yàn)樵诖_定和時(shí)不需要提取根，唯一的根提取涉及找到多項(xiàng)式和。很容易證明，這些功率比物理實(shí)現(xiàn)所需的條件允許和是的任何具有實(shí)系數(shù)的偶次多項(xiàng)式。換句話說，對(duì)于一般形式的每個(gè)功率比

至少有一個(gè)對(duì)應(yīng)的對(duì)稱或逆阻抗網(wǎng)絡(luò)，其中是的任何具有實(shí)系數(shù)的奇或偶有理函數(shù)，而代表，并且當(dāng)為奇函數(shù)時(shí)，它必須為1。

當(dāng)?shù)乃袠O點(diǎn)都是實(shí)數(shù)或虛數(shù)且有限時(shí)，導(dǎo)致對(duì)稱網(wǎng)絡(luò)的功率比（38）可以用適用于圖9所示的正常電路結(jié)構(gòu)中的中間串聯(lián)低通梯形的形式（35）來表示。當(dāng)遵守相同的條件，除了一個(gè)在無窮遠(yuǎn)處的項(xiàng)的單極點(diǎn)，并且當(dāng)還選擇和使得在零頻率時(shí)為零時(shí)，導(dǎo)致逆阻抗網(wǎng)絡(luò)的功率比（39）可以用適用于圖11所示的在一端以并聯(lián)電容終端的中間串聯(lián)低通梯形的形式（36）來表示。對(duì)于非中間串聯(lián)低通電路結(jié)構(gòu)的梯形網(wǎng)絡(luò)，存在完全相似的關(guān)系。

圖16 平衡格型電路網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)

格型網(wǎng)絡(luò)與對(duì)稱梯形網(wǎng)絡(luò)的設(shè)計(jì)

眾所周知，對(duì)于每一個(gè)電氣上對(duì)稱的實(shí)際網(wǎng)絡(luò)，都存在一個(gè)如圖16所示的等效格型網(wǎng)絡(luò)。當(dāng)開路和短路阻抗已知時(shí)，可以通過公知的公式非常容易地計(jì)算出阻抗臂。然而，當(dāng)需要設(shè)計(jì)一個(gè)LC格型網(wǎng)絡(luò)以產(chǎn)生形式為(38)規(guī)定的功率比時(shí)，通過下面描述的公式確定阻抗支路比先計(jì)算開路和短路阻抗，然后再計(jì)算阻抗臂的方式更簡(jiǎn)單。

當(dāng)功率比以形式(38)給定時(shí)，值顯然可以表示為的兩個(gè)多項(xiàng)式的乘積：

表II 中間串聯(lián)梯形低通網(wǎng)絡(luò)與格型網(wǎng)絡(luò)等效

一級(jí)?

兩級(jí)?

三級(jí)?

其中都是偶次多項(xiàng)式，使得的所有根都是的具有負(fù)實(shí)部的根。結(jié)果表明，產(chǎn)生規(guī)定功率比的一個(gè)格型網(wǎng)絡(luò)的阻抗臂和與等的關(guān)系由以下公式給出：

其中表示相等的終端電阻。獲得與規(guī)定的功率比對(duì)應(yīng)的其他三個(gè)LC格型網(wǎng)絡(luò)，可以通過交換這些阻抗并用它們相對(duì)于的倒數(shù)來替換它們來實(shí)現(xiàn)。

在設(shè)計(jì)具有規(guī)定插入損耗的對(duì)稱梯形電路時(shí)，通常從等效格型網(wǎng)絡(luò)確定元件值比從開路和短路阻抗確定元件值更容易。例如，在設(shè)計(jì)一個(gè)、兩個(gè)或三個(gè)并聯(lián)支路的中間串聯(lián)低通梯形電路或相關(guān)網(wǎng)絡(luò)時(shí)，可以使用表II中列出的特殊設(shè)計(jì)公式。這些公式的推導(dǎo)方式與表I中的一般公式非常相似，通過使用開路阻抗來制定（30）中行列式的部分分式展開，并注意對(duì)稱所需的常數(shù)之間的關(guān)系。常數(shù)之間的關(guān)系是由于開路阻抗與兩個(gè)阻抗臂之和成正比，這要求相應(yīng)部分分式的和在插損無限大的頻率下相等。即使不使用其他特殊關(guān)系，將開路阻抗作為兩個(gè)函數(shù)之和的初始確定也簡(jiǎn)化了使用表I所需的部分分式展開的計(jì)算。

腳注

[30]. 部分并不一定意味著具有鏡像參數(shù)理論的屬性的濾波器部分，而僅僅是當(dāng)四端口網(wǎng)絡(luò)串聯(lián)連接時(shí)的組合的組成部分。
[31]. 互感的要求大大增加了構(gòu)建網(wǎng)絡(luò)的難度。如果需要線圈之間的理想耦合，它只能是近似的。如果要求低于理想耦合，則很難同時(shí)調(diào)整自感和互感。
[32]. 通過根據(jù)逆網(wǎng)絡(luò)和頻率變換的原理對(duì)C型和D型部分進(jìn)行適當(dāng)修改，可以獲得由類似串聯(lián)部分組成的其他規(guī)范網(wǎng)絡(luò)。然而，在這里考慮上述串聯(lián)組合的特殊類型就足夠了。
[33]. 根據(jù)LC四端口的行列式及其各種余子式，輸入阻抗為。除非在特殊情況下，相同因子的抵消導(dǎo)致阻抗函數(shù)的次數(shù)降低，這需要和與和成正比，其中和是阻抗函數(shù)的最簡(jiǎn)單有理分?jǐn)?shù)表達(dá)式的分子和分母。行列式的必要偶性和奇性只允許對(duì)開路和短路阻抗有兩個(gè)相應(yīng)的解。事實(shí)證明，從一個(gè)解過渡到另一個(gè)解會(huì)改變的符號(hào)，因此只有一個(gè)解是物理的。
[34]. 函數(shù)的電阻部分定義為偶數(shù)部分，僅表示實(shí)頻時(shí)的實(shí)部。
[35]. 更詳細(xì)的設(shè)計(jì)方法將在后面進(jìn)行說明。
[36]. 根據(jù)LC網(wǎng)絡(luò)的行列式? 及其各種余子式，輸入阻抗的電阻部分表示為。顯然，分母的單根只有在具有特殊值時(shí)才能與分子的任何雙根重合。
[37]. 由于阻抗函數(shù)通常必須小于電路結(jié)構(gòu)的常規(guī)次數(shù)，因此通常存在等效的2極，代表更有效地使用元件。盡管存在這種實(shí)際缺點(diǎn)，但了解這種特殊2極的規(guī)范性質(zhì)對(duì)于一般網(wǎng)絡(luò)理論問題是有用的。
[38]. 具體來說，損耗可以借助第一部分的（16）進(jìn)行計(jì)算。
[39]. 在設(shè)計(jì)的每個(gè)階段減少終止阻抗次數(shù)的精確方式是導(dǎo)致原始輸入阻抗為正常次數(shù)的最終電路結(jié)構(gòu)的原因。
[40]. 從輸入阻抗計(jì)算終止阻抗可以消除阻抗部分的一對(duì)相同根，從而降低阻抗函數(shù)的次數(shù)，并且可以將一對(duì)或多對(duì)相同的實(shí)根轉(zhuǎn)換為阻抗函數(shù)的根或極，或者反之亦然。否則，阻力部分的根保持不變。
[41]. 如前所述，第一部分的理論可用于證明任何正實(shí)函數(shù)都可以實(shí)現(xiàn)為電阻終止LC四端口的輸入阻抗。
[42]. 網(wǎng)絡(luò)的無限損耗頻率是指通過一般有限電阻終端獲得的無限損耗頻率，不包括將插入電壓比的一般表達(dá)式的根和極重合的任何特定終端。每個(gè)無限損耗頻率都包含在以下一組或多組臨界頻率中：開路傳輸阻抗的根，短路傳輸阻抗的極，網(wǎng)絡(luò)同一端的開路和短路驅(qū)動(dòng)點(diǎn)阻抗的重合根或極，以及通過電阻終端獲得的輸入阻抗的電阻部分的零點(diǎn)。
[43]. 在許多情況下，可以消除負(fù)電感而無需引入耦合，但是這樣做的條件并不簡(jiǎn)單。
[44]. 這種類型的梯形顯然等效于通常與由一個(gè)或多個(gè)由簡(jiǎn)單串聯(lián)電感組成的A型部分結(jié)合使用的C型部分。
[45]. 諾頓（Norton）引入了這些關(guān)系作為他的設(shè)計(jì)方程的基礎(chǔ)。
[46]. 在當(dāng)前的假設(shè)下，無限損耗的有限頻率是開路傳輸阻抗的根，也是相應(yīng)短路阻抗的有限極。
[47]. 這似乎與眾所周知的事實(shí)相反，即需要三個(gè)阻抗才能確定一個(gè)四端口網(wǎng)絡(luò)。這里提供的其他數(shù)據(jù)是通過假設(shè)適用于受特殊限制的特定電路結(jié)構(gòu)的阻抗來提供的?；叵胍幌拢司W(wǎng)絡(luò)遠(yuǎn)端的兩端并聯(lián)支路外，還可以根據(jù)一個(gè)短路驅(qū)動(dòng)點(diǎn)阻抗和短路傳輸阻抗來設(shè)計(jì)考爾（Cauer）的并聯(lián)或?qū)Ъ{型規(guī)范LC四端口。對(duì)于正在考慮的特定電路，在等效并聯(lián)類型規(guī)范網(wǎng)絡(luò)中不存在終端并聯(lián)支路，而可以從短路驅(qū)動(dòng)點(diǎn)阻抗和無限損耗頻率中找到短路傳輸阻抗。
[48]. 盡管變量在第一部分的一般理論中更方便，但事實(shí)證明在本文考慮的梯形網(wǎng)絡(luò)理論中更方便。
[49]. 當(dāng)稍后允許無限損耗點(diǎn)變?yōu)闊o限時(shí)，無限損耗點(diǎn)的值的倒數(shù)比其值本身更方便。
[50]. 例如，F(xiàn)ry（12）描述的各種梯形對(duì)應(yīng)于Stieltjes分?jǐn)?shù)。
[51].?的公式涉及。如（27）、（28）和（29）所定義，這些量看起來很奇怪，因?yàn)樗鼈冎皇且浑A行列式。然而，這些一階行列式僅代表。
[52]. 如果對(duì)應(yīng)于短路阻抗，可以假設(shè)在短路處連接了一個(gè)任意的并聯(lián)支路，因?yàn)樗粫?huì)影響。這允許被準(zhǔn)確地確定，就好像有一個(gè)完整的額外“部分”一樣。
[53]. 這個(gè)推導(dǎo)還沒有得到嚴(yán)格的證明，但已經(jīng)進(jìn)行得足夠遠(yuǎn)，可以指出公式轉(zhuǎn)換的方式。
[54]. 例如，參見Scott和Mathews（13）的論文中關(guān)于功能行列式的章節(jié)。
[55].?和類型的高階行列式的類似消失顯示了連分?jǐn)?shù)的有限性質(zhì)（25）。
[56]. 離散選擇常數(shù)意味著總是可以通過單個(gè)常數(shù)的微小變化來避免的選擇。當(dāng)然，假設(shè)滿足物理要求，即它必須是正的，并且在所有實(shí)際頻率下都不小于。
[57]. 如果允許修改中間串聯(lián)的低通梯形網(wǎng)絡(luò)，實(shí)際上所有解通常都是可實(shí)現(xiàn)的。例如，如果網(wǎng)絡(luò)的一端包含理想變壓器，則可以違反對(duì)或符號(hào)的要求。同樣，如果向梯形的一端添加并聯(lián)電容器，并且允許用完全耦合的線圈實(shí)現(xiàn)負(fù)串聯(lián)電感，則可以正常違反對(duì)符號(hào)的要求。
[58].?當(dāng)然也可能是負(fù)的，導(dǎo)致負(fù)元件，但這些都可以通過耦合線圈來實(shí)現(xiàn)。
[59]. 然而，與諧振并聯(lián)支路相鄰的終端串聯(lián)電感的消失通常不會(huì)以這種方式改變功率比表達(dá)式中分子的次數(shù)。
[60]. 當(dāng)然，在頻率變換中包含任意常數(shù)因子有時(shí)更方便。例如，在帶通濾波器的設(shè)計(jì)中，通常方便的是首先設(shè)計(jì)一個(gè)截止頻率為的低通濾波器。然后，通過用代替來獲得所需的帶通濾波器，代表

其中對(duì)應(yīng)于帶通濾波器的兩個(gè)截止頻率。
[61]. 除了一個(gè)或多個(gè)并聯(lián)支路是簡(jiǎn)單電感的限制情況外，這種類型的等效總是存在的。通過用電容代替電感，反之亦然，總是可以得到類似的等效電路結(jié)構(gòu)，除非一個(gè)或多個(gè)并聯(lián)支路是簡(jiǎn)單的電容器。當(dāng)遇到簡(jiǎn)單的電感和電容并聯(lián)支路時(shí)，必須使用特殊的設(shè)計(jì)方法。
[62]. Norton（14）發(fā)現(xiàn)了由圖15A和15B表示的阻抗變換原理。在確定圖13所示的網(wǎng)絡(luò)電路結(jié)構(gòu)與圖14所示的類型之一時(shí)，串聯(lián)電容如何在不同的串聯(lián)支路之間分配存在相當(dāng)大的任意性。
[63]. 除非它們被修改以補(bǔ)償耗散效應(yīng)。
[64]. 如果在網(wǎng)絡(luò)描述中使用像阻抗和傳輸常數(shù)，則這些條件分別要求相等和反向的像阻抗。
[65]. 當(dāng)為奇數(shù)且不等于1時(shí)，開路驅(qū)動(dòng)點(diǎn)阻抗的比值，與相應(yīng)短路阻抗的比值相同，將等于終端的比值。這允許使用對(duì)稱網(wǎng)絡(luò)與理想變壓器的組合。在反向阻抗網(wǎng)絡(luò)的情況下允許不等終端是方便的，而在對(duì)稱或比例阻抗的情況下則不方便，因?yàn)樵诜聪蜃杩沟那闆r下，如果要避免理想變壓器，通常需要不等終端。
[66]. Campbell（15）指出了這一點(diǎn)。
[67]. 就形式（38）的功率比而言，多項(xiàng)式和有些任意。然而，結(jié)果表明，盡管存在這種任意性，但只有四個(gè)相應(yīng)的格型網(wǎng)絡(luò)。

參考文獻(xiàn)

1). Pupin, M. I.: "Wave Propagation over Non-Uniform Cables and Long Distance Air-Lines," Trans. A. I. E. E., 17, 445-507 (1900).
2). Campbell, G. A.: "On Loaded Lines in Telephonic Transmission," Phil. Mag., 5, 313-330 (1903).
3). Zobel, O. J.: "Theory and Design of Uniform and Composite Electric Wave Filters," Bell System Tech. Journal, 2, 1-46 (1923), and "Transmission Characteristics of Electric Wave Filters," Bell System Tech. Journal, 3, 567-620 (1924). ?
4). Bode, H. W.: "A General Theory of Electric Wave Filters," Journal of Math. and Physics, 13, 275-362 (1934).
5). Cauer, W.: "Ein Reaktanztheorem," Preuss. Akad. d. Wissenschaften, Phys.Math. Kl., Sitzber., Nos. 30-32, 673-681 (1931).
6). Gewertz, C. M.: "Synthesis of a Finite Four-Terminal Network from its Prescribed Driving-Point Functions and Transfer Function," Journal of Math. and Physics, 12, 1-257 (1933).
7). Norton, E. L.: "Constant Resistance Networks with Applications to Filter Groups," Bell System Tech. Journal, 16, 178-193 (April, 1937).
8). Brune, O.: "Synthesis of a Finite Two-Terminal Network Whose DrivingPoint Impedance is a Prescribed Function of Frequency," Journal of Math. and Physics., 10, 191-235 (1931).
9). Dietzold, R. L.: "A Mechanical Root Finder," Bell Labs. Record, 16, Dec., 1937.
10). Mayer, H. F.: "Ueber die Daempfung von Siebketten in Durchlaissigkeitsbereich," E. N. T., 2, 335-338 (1925).
11). Bode, H. W. and Dietzold, R. L.: "Ideal Wave Filters," Bell System Tech. Journal, 14, 215-252 (1935).
12). Fry, T. C.: "The Use of Continued Fractions in the Design of Electrical Networks," Am. Math. Soc., Bull., 35, 463-498 (1929).
13). Scott, R. F. and Mathews, G. B.: "The Theory of Determinants," Second Edition, 1904.
14). Norton, E. L.: U. S. Patent No. 1681554.
15). Campbell, G. A.: "Physical Theory of the Electric Wave-Filter," Bell System Tech. Journal, 1, 1-32 (1922).
16). Cauer, W.: "Ein Interpolationsproblem mit Funktionen mit Positiven Realteil," Mathematische Zeitschrift, 38, 1-44 (1933).
17). Shea, T. E.: "Transmission Networks and Wave Filters," D. Van Nostrand Co., New York, 1929 -p. 253, Fig. 138.
18). Guillemin, E. A.: "Communication Networks," John Wiley and Sons, New York, N. Y., 1935-Vol. II.
19). Cayley, A.: "An Elementary Treatise on Elliptic Functions," second edition, G. Bell and Sons, London, 1895.
20). Jacobi, C. G. J.: "Fundamenta Nova Theoriae Functionum Ellipticarum," K?nigsberg, 1829.
21). Silberstein, L.: "Synopsis of Applicable Mathematics," G. Bell and Sons, London, 1923-Section on Elliptic Functions, pp. 152-170.
22). Bode, H. W.: U. S. Patents Nos. 1955788, 2002216, 2029014.

審核編輯：黃飛

?