1. 簡介

目前商業(yè)化的PCB仿真軟件主要有： Cadence公司的Sigrity、Ansys公司的SIwave/HFSS、CST公司的CST、Mentor公司的HyperLynx、Polor公司的Si9000等。不同的仿真軟件所使用的電磁場求解器各不一樣，但是可以大致分為幾類：

按仿真維度分： 2D、2.5D、3D

按逼近類型分： 靜態(tài)、準靜態(tài)、TEM波、全波

下表中列出了各種電磁場求解器的特點以及適用的結(jié)構(gòu)和場合。

2. 按維度分類場求解器

2D求解器

2D 求解器是最簡單和效率最高的，只適合簡單應用。例如，2D靜態(tài)求解器可以提取片上互連線橫截面的電容參數(shù)。2D準靜態(tài)求解器可以提取均勻多導體傳輸線橫截 面上單位長度低頻RLGC參數(shù)。2D全波求解器可以提取均勻多導體傳輸線橫截面上的全頻RLGC參數(shù)。典型的2D全波計算方法有：2D邊界元法、2D有限差分法、2D有限元法。

2.5D求解器

2.5D 的概念是20世紀80年代Rautio在美國雪城大學攻讀博士期間提出的，當時他在Roger教授手下做GE電子實驗室支助下做平面MOM算法的研究。在 那個年代，人們只有2D電流（XY方向）和3D電磁場的概念。GE電子實驗室的人比較關注電流，稱其為2D，而Roger教授關注是電磁場，并稱之為3D 的。Rautio和這兩個團隊都有合作，當時，他正在讀一本關于分形理論的書，書里清晰定義了分維度的概念，于是，Rautio得到啟發(fā)，提出2.5D的 概念，這也是分形維度理論第一次被用到電磁場領域。

“2.5D solver”的意思是，這個solver使用的是全波公式，公式中包含多層介質(zhì)中的6個電磁場分量（XYZ方向電場E和XYZ方磁場H），以及2個傳導 電流分量（如X和Y方向）。其利用多層介質(zhì)的全波格林函數(shù)，采用矩量法的步驟，將一個3D問題縮減為金屬表面問題。這樣就不需要對整個三維空間劃分網(wǎng)格， 只需要在金屬表面劃分網(wǎng)格即可。此外，2.5D意味著傳輸線的金屬厚度被忽略，這種做法對線寬大于金屬厚度的平面電路結(jié)構(gòu)（PCB應用）可以很好地近似， 甚至可以說半解格林函數(shù)的精度在計算多層介質(zhì)結(jié)構(gòu)方面比一般3D solver還要高。

考慮了金屬厚度并包含Z方向傳導電流的2.5D solver稱作為3D平面算法。這里的3D的意思是這個solver可以用作多層介質(zhì)的公司來求解一些3D結(jié)構(gòu)，比如傳輸線或者過孔。但是 Bondwire是不可以用這種方法來做的，全波意味著輻射被考慮在公式里面，或者說，置換電流分量被考慮在Maxwell方程組里面。

2.5D TEM求解器適合用于結(jié)構(gòu)中以TEM模式為主的情況，即在電磁場傳播方向沒有電場和磁場分量，工作頻率比較低的電源平面對結(jié)構(gòu)符合這一情況。但是，3D效應，共平面設置或缺少參考平面的設計都會降低這種方法的精度。

2.5D BEM/MOM 求解器是一種全波求解器，它基于邊界元法或矩量法公式，利用層狀介質(zhì)格林函數(shù)來求解，通常假設介質(zhì)層數(shù)無窮大的平面。但是，對于封裝和封裝-電路板連接處 存在的3D邊緣效應，3D幾何結(jié)構(gòu)和有限大介質(zhì)層精度不高。代表軟件Ansys Designer，MicroWave Office，IE3D,? Feko，Sonnet。

3D求解器

3D準靜態(tài)求解器適合芯片-封裝-電路板系統(tǒng)中出現(xiàn)大多數(shù)3D結(jié)構(gòu)，但對低頻有效，高頻結(jié)果誤差較大，如果結(jié)構(gòu)較大，計算時間會很長，消耗內(nèi)存也比較大。

3D 全波求解器是最能準確模型實際情況的求解器。它可以模擬RF、SI、PI、EMI等所涵蓋的所有效應，典型的3D全波求解器有：邊界元法 （Si9000）、有限差分法（CST、Keysight EMpro/FDTD）和有限元法(Ansys HFSS、Keysight Empro/ FEM)。

3. 按逼近類型分類場求解器

準靜態(tài)電磁算法

它需要三維結(jié)構(gòu)模型。所謂“準靜”就是指系統(tǒng)一定支持靜電場和穩(wěn)恒電流存在，表現(xiàn)為靜電場和靜磁場的場型，更精確地講，磁通變化率或位移電流很小，故在麥克 斯韋方程組中分別可以忽略B和D對時間的偏導項，對應的麥克斯韋方程分別被稱之為準靜電和準靜磁。由此推導出的算法就被稱之為準靜電算法和準靜磁算法。這類算法主要用于工頻或低頻電力系統(tǒng)或電機設備中的EMC仿真。如：變流器母線與機柜間分布參數(shù)的提取便可采用準靜電磁算法完成。對于高壓絕緣裝置顯然可采 用準靜電近似，而大電流設備，如變流器、電機、變壓器等，采用準靜磁算法是較可取的。

全波電磁算法

簡單地講就是求解麥克斯韋方程完整形式的算法。全波算法又分時域和頻域算法。

有限差分法（FD）、有限積分法（FI）、傳輸線矩陣法（TLM）、有限元法 （FEM）、邊界元法（BEM）、矩量法（MoM）和多層快速多極子法（MLFMM）均屬于全波算法。所有的全波算法均需要對仿真區(qū)域進行體網(wǎng)格或面網(wǎng)格分割。前三種方法（FD、FI和TLM法）主要是時域顯式算法，且稀疏矩陣，仿真時間與內(nèi)存均正比于網(wǎng)格數(shù)一次方；后四種方法（FEM、BEM、MoM和 MLFMM）均為頻域隱式算法。FEM也為稀疏矩陣，仿真時間和內(nèi)存正比于網(wǎng)格數(shù)的平方；而BEM和MoM由于是密集矩陣，所以時間與內(nèi)存正比是網(wǎng)格數(shù)的 三次方。FD、FI、TLM和FEM適用于任意結(jié)構(gòu)任意介質(zhì)，BEM和MoM適用于任意結(jié)構(gòu)但須均勻非旋介質(zhì)分布，而MLFMM則主要適用于金屬凸結(jié)構(gòu)， 盡管MLFMM具有超線性的網(wǎng)格收斂性，即大家熟知的NlogN計算量。

全波算法又稱低頻或精確算法，它是求解電磁兼容問題的精確方法。對 于給定的計算機硬件資源，此類方法所能仿真的電尺寸有其上限。一般來說，在沒有任何限制條件下，即任意結(jié)構(gòu)任意材料下，TLM和FI能夠仿真的電尺寸最 大，其次是FD，再者為FEM，最后是MoM和BEM。若對于金屬凸結(jié)構(gòu)而言，MLFMM則是能夠仿真電尺寸最大的全波算法。

時域算法的固有優(yōu)勢在于它非常適用于超寬帶仿真。電磁兼容本身就是一個超寬帶問題，如國軍標GJB151A RE102涉及頻段為10kHz直至40GHz六個量級的極寬頻帶。另外，對于瞬態(tài)電磁效應的仿真，如強電磁脈沖照射下線纜線束上所感應起來的瞬態(tài)沖擊電 壓的仿真，采用時域算法是自然、高效、準確的。

4. 電磁場求解器算法

電磁模型提取的方式有許多的理論，尚未有哪一種理論的準確度與效率擁有絕對的優(yōu)勢，不同的算法有不同的優(yōu)點，并且適用于不同的應用。

矩量法（MoM）

MoM是頻域的一種算法，算法的特性讓MoM適用于分析多層平面結(jié)構(gòu)的問題，如印制電路板PCB的走線分析、系統(tǒng)級封裝(SiP)和集成電路的封裝分析。

在眾多的電磁模擬理論中，MoM是其中一種比較不容易用程序?qū)崿F(xiàn)的一種算法。因為這種算法必須很有技巧地解決格林函數(shù)(Green’s Functions)和電磁耦合的積分方程。麥克斯韋方程會轉(zhuǎn)換成積分方程，此種轉(zhuǎn)換的特性就是，MoM主要的未知項是金屬表面的電流分布，而其他電磁模擬算法的主要的未知項是結(jié)構(gòu)體中的電場和磁場。

由于只有金屬表面的電六分部是必須要被考慮到網(wǎng)格中，因此網(wǎng)格數(shù)目可以大量降低，這項技巧讓MoM可以更加有效率地計算復雜的結(jié)構(gòu)，但也被限制于只能分析多層平面的問題(3D Planer)，遇到3D立體結(jié)構(gòu)就不適用。

隨著電子產(chǎn)品復雜度的提升，電磁模擬碰到的運算時間過久而無法解決復雜度很高的問題。完成電磁仿真需要做大量的矩陣運算，針對MoM而言，主要的瓶頸在于如何計算和存儲大量的耦合矩陣。一個有N個未知項的網(wǎng)絡，在內(nèi)存中就需要花費N2比例的空間，同時運算時間會成N3(如果使用Direct Solver)或N2(如果使用Iterative Solver)的比例增加。

下圖為ADS軟件隨著版本更新，改進軟件算法來優(yōu)化仿真速度和內(nèi)存使用率的參考值。

有限元法（FEM）

相對于MoM，F(xiàn)EM算法的應用范圍就廣泛得多，因為FEM是全3D的算法，可以針對任意形狀的結(jié)構(gòu)分析，如封裝結(jié)構(gòu)種的Bond-wire、Solder-balls或是其他Z軸方向是任意形態(tài)的結(jié)構(gòu)。FEM仿真器還可以仿真介質(zhì)塊或有限尺寸的基片。許多應用(例如諧振腔設計)需要此功能。FEM也是一種頻域技術。但是FEM通常仿真時間比MoM長，尤其是在多層平面結(jié)構(gòu)的部分。

下圖顯示的有Bond-wire的封裝結(jié)構(gòu)，就適合采用FEM分析，而不能用MoM分析。

FEM算法會把一個大的結(jié)構(gòu)分成許許多多的小的區(qū)域，并采用立體的網(wǎng)絡方式來計算每個小區(qū)域的場強。幾何模型可以自動分割為數(shù)目龐大的四面體，每個四面體由4個三角形構(gòu)成。這些四面體稱為有限元網(wǎng)格。三角錐的頂端正切與三個邊的場量，和每個邊的中心點的場量都會被存儲下來。而每個三角錐內(nèi)部的場型就可以通過內(nèi)插方式來計算。通過這樣把大結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)換成小結(jié)構(gòu)的方式，麥克斯韋方程就可以轉(zhuǎn)成矩陣的問題，并通過數(shù)學計算提取出任意形狀的S參數(shù)。下圖所示為立體結(jié)構(gòu)的網(wǎng)格示意圖。

FEM判斷收斂的方法通常是通過前后兩次運算結(jié)果對比，如果誤差范圍小于一定規(guī)范，就可以判斷是接近于收斂。如果誤差還是過大，將會重新定義網(wǎng)格讓網(wǎng)格密度提高以增強收斂性。但在立體結(jié)構(gòu)種，有些區(qū)域如結(jié)構(gòu)表面、角落、材質(zhì)交界面，會有收斂不佳的情況，導致FEM算法會消耗掉大量的內(nèi)存與計算時間。所以近年來借助多核心的運算外，改進結(jié)構(gòu)的收斂性與矩陣求解效率也是很重要的議題。

時域有限差分法（FDTD）

FDTD也是一種全波形式的電磁模擬算法，可用于分析任意3D的結(jié)構(gòu)，直接以時域的方式針對麥克斯韋方程式來求解，而矩陣中的未知項就像FEM一樣，是立體結(jié)構(gòu)空間中的電場與磁場。然而，F(xiàn)EM的網(wǎng)絡是三角錐形態(tài)，F(xiàn)DTD的網(wǎng)格通常是以正立方體(Yee) 的方式來表示。運用時域?qū)崟r運算的程序，在電磁波穿過三維結(jié)構(gòu)的過程中，F(xiàn)DTD方法可以隨時間的推移更新場強值，實時地更新立體空間中的電場與磁場值，所以不像FEM必須完成所有收斂和后處理運算才能得出S參數(shù)。FDTD可以隨時更新目前運算出來的S參數(shù)值。FDTD仿真可以提供極寬頻率范圍內(nèi)的數(shù)據(jù)。

由于其簡單、可靠的特性以及可以處理線性與非線性材料和器件的能力，F(xiàn)DTD 可用于眾多應用研究: 天線設計、微波電路、生物/電磁效應、EMC/EMI問題和光電等。FDTD屬于固有的并行算法，能夠充分利用最新的CPU(通用處理器)和GPU(圖形處理器)硬件資源?，F(xiàn)在復雜的工程仿真問題速度可以比傳統(tǒng)的CPU快20~40倍。

邊界元法（BEM）

邊界元法是在有限元法之后發(fā)展起來的一種較精確有效的方法 。 又稱邊界積分方程-邊界元法。它以定義在邊界上的邊界積分方程為控制方程，通過對邊界分元插值離散，化為代數(shù)方程組求解。它與基于偏微分方程的區(qū)域解法相比，由于降低了問題的維數(shù)，而顯著降低了自由度數(shù)，邊界的離散也比區(qū)域的離散方便得多，可用較簡單的單元準確地模擬邊界形狀，最終得到階數(shù)較低的線性代數(shù)方程組。又由于它利用微分算子的解析的基本解作為邊界積分方程的核函數(shù) ，而具有解析與數(shù)值相結(jié)合的特點，通常具有較高的精度。特別是對于邊界變量變化梯度較大的問題 ，如應力集中問題 ，或邊界變量出現(xiàn)奇異性的裂紋問題，邊界元法被公認為比有限元法更加精確高效。由于邊界元法所利用的微分算子基本解能自動滿足無限遠處的條件，因而邊界元法特別便于處理無限域以及半無限域問題。邊界元法的主要缺點是它的應用范圍以存在相應微分算子的基本解為前提，對于非均勻介質(zhì)等問題難以應用，故其適用范圍遠不如有限元法廣泛，而且通常由它建立的求解代數(shù)方程組的系數(shù)陣是非對稱滿陣，對解題規(guī)模產(chǎn)生較大限制。對一般的非線性問題，由于在方程中會出現(xiàn)域內(nèi)積分項，從而部分抵消了邊界元法只要離散邊界的優(yōu)點。