簡(jiǎn) 介：這學(xué)期的信號(hào)與系統(tǒng)進(jìn)展到第五章，拉普拉斯變換與 z 變換。前幾天看到一篇博文中對(duì)于無限電阻網(wǎng)絡(luò)求解相鄰節(jié)點(diǎn)阻抗中使用了離散傅里葉變換 (DFT) 的方法比較新穎。分析了DFT在其中僅僅是起到描述線性時(shí)不變離散時(shí)間系統(tǒng)的作用，所以將其替換成 z 變換進(jìn)行描述，則在分析求解過程中會(huì)更加的清晰。
關(guān)鍵詞：z變換，DFT，電阻網(wǎng)絡(luò)

01電阻網(wǎng)絡(luò)

一、問題來源

在網(wǎng)文 Infinite Ladder of 1Ω of Resistor[1]中討論了如下無窮電阻網(wǎng)絡(luò)兩個(gè)相鄰節(jié)點(diǎn)之間的電阻。特別有意思的是，文中還是用了離散傅里葉變換（DFT）給出了另外一種求解方式。這不禁讓人們好奇：在這樣的電阻網(wǎng)絡(luò)分析中，離散傅里葉變換到底起到什么作用？

▲ 圖1.1 一歐姆組成的無線電阻網(wǎng)絡(luò)

二、問題求解

1、普通求解方法

▲ 圖1.1.4 相鄰節(jié)點(diǎn)之間的等效電阻

2、離散傅里葉求解

▲ 圖1.1.5 每個(gè)節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的電壓與電流

▲ 圖1.1.6 在相鄰兩個(gè)節(jié)點(diǎn)施加正負(fù)1A電流激勵(lì)

三、利用Z變換求解

1、z變換方程

2、留數(shù)定理求取積分

上述積分通過留數(shù)定理進(jìn)行求取。積分公式中包含有三個(gè)極點(diǎn)

根據(jù)上述分析，可以知道積分號(hào)中的被積函數(shù)的收斂域只能如下圖所示。

▲ 圖1.3.1 積分式內(nèi)函數(shù)的收斂域

所以，對(duì)應(yīng)的圍線積分的路徑中只包含有兩個(gè)極點(diǎn)。這兩個(gè)極點(diǎn)對(duì)應(yīng)的留數(shù)分別為

所以相鄰節(jié)點(diǎn)之間的電阻為：

02DFT與ZT

??可以看到最后計(jì)算時(shí)，利用留數(shù)定理計(jì)算最終的積分值比較方便，避免了比較復(fù)雜的三角函數(shù)的積分計(jì)算。但在分析被積函數(shù)的收斂域的時(shí)候，需要比較小心。

※總??結(jié) ※

這學(xué)期的信號(hào)與系統(tǒng)進(jìn)展到第五章，拉普拉斯變換與 z 變換。前幾天看到一篇博文中對(duì)于無限電阻網(wǎng)絡(luò)求解相鄰節(jié)點(diǎn)阻抗中使用了離散傅里葉變換 (DFT) 的方法比較新穎。分析了DFT在其中僅僅是起到描述線性時(shí)不變離散時(shí)間系統(tǒng)的作用，所以將其替換成 z 變換進(jìn)行描述，則在分析求解過程中會(huì)更加的清晰。

作者：TsinghuaJoking
文章來源：卓晴

審核編輯 黃昊宇