傳遞函數(shù)表示線性定常系統(tǒng)自身,將輸入信號(hào)變換成輸出信號(hào)的能力。這是線性定常系統(tǒng)自身的特點(diǎn),一個(gè)不同的輸入就會(huì)有一個(gè)不同的輸出。輸入信號(hào)本身不影響傳遞函數(shù),傳遞函數(shù)是我這個(gè)系統(tǒng)自身決定的。
獲得傳遞函數(shù)的方法多種多樣,可以直接使用微分方程進(jìn)行變換,也可以使用復(fù)阻抗法求取。但重要的是變換傳遞函數(shù)的能力,針對(duì)不同應(yīng)用場(chǎng)合,變換傳遞函數(shù)的形式。閱讀傳遞函數(shù)的能力,比如通過(guò)傳遞函數(shù)能否看出系統(tǒng)極點(diǎn)和零點(diǎn)的位置,以及增益。
根據(jù)線性網(wǎng)絡(luò)理論,由電容、電阻和電感組成的電路網(wǎng)絡(luò),其傳遞函數(shù)H可以用如下通用式表示:
在這個(gè)式子中,很重要的一點(diǎn)是分母的階數(shù)m必須大于或等于分子的階數(shù)n。當(dāng)m>n時(shí),H(s)的幅值會(huì)隨著s趨于無(wú)窮而趨于0,滿足該性質(zhì)的傳遞函數(shù)為”嚴(yán)格正則”。分母多項(xiàng)式D(s)階數(shù)反映了該電路網(wǎng)絡(luò)的階數(shù)。讓分母多項(xiàng)式D(s)=0,解出的所有根稱為系統(tǒng)的極點(diǎn),讓分子多項(xiàng)式N(s)等于0,解出的所有根為系統(tǒng)的零點(diǎn)。
傳遞函數(shù)是一個(gè)分式,分子和分母都是多項(xiàng)式?;趹?yīng)用場(chǎng)合的不同,它有三種常見(jiàn)的變換形式:
第1種傳遞函數(shù)寫(xiě)法:在因式分解的時(shí)候,使s的最高項(xiàng)系數(shù)為1時(shí)。這種形式一眼就可以看出它的零點(diǎn)和極點(diǎn)。這個(gè)形式是傳遞函數(shù)根軌跡形式,也稱為首1型傳遞函數(shù)形式。這個(gè)時(shí)候提出來(lái)的常數(shù),叫作根軌跡增益。應(yīng)用在根軌跡的場(chǎng)合。
第2種傳遞函數(shù)寫(xiě)法:在作因式分解的時(shí)候,常數(shù)項(xiàng)全部提出來(lái),常數(shù)項(xiàng)變?yōu)?,通俗的說(shuō)我們叫尾1型傳遞函數(shù)形式。這個(gè)時(shí)候提出來(lái)的系數(shù)我們叫作環(huán)路增益或者叫開(kāi)環(huán)增益。應(yīng)用在bode圖繪制,奈氏圖繪制,系統(tǒng)開(kāi)環(huán)頻率響應(yīng)分析的場(chǎng)合。
這兩個(gè)系數(shù)有什么關(guān)系,b0和bm有什么關(guān)系,b0=bm*z1*....zm。從數(shù)學(xué)角度看,就是提取公因式的事情,提的大和提的小的問(wèn)題。提的小是前面的系數(shù),提的大是后面的系數(shù)。
第3種傳遞函數(shù)寫(xiě)法:當(dāng)傳遞函數(shù)帶有積分環(huán)節(jié),可以寫(xiě)成這種形式。這種形式應(yīng)用在環(huán)路補(bǔ)償?shù)膱?chǎng)合。
wp0是什么呢?
引入一個(gè)概念,稱為“0dB穿越極點(diǎn)”。對(duì)于包含原點(diǎn)極點(diǎn)的傳遞函數(shù),也就是當(dāng)s=0時(shí),傳遞函數(shù)的幅值趨于無(wú)窮大。通常原點(diǎn)極點(diǎn)的s會(huì)帶有一個(gè)系數(shù),例如1/[sRC(1+...)],可以將其重寫(xiě)為如下形式:
式中,wp0就是“0dB穿越極點(diǎn)”,它在上式中等于1/RC,對(duì)應(yīng)截止頻率,也就是說(shuō)s=wp0時(shí),wp0/s的幅值等于1(或0dB)。
下圖種畫(huà)出了wp0/s的幅值與頻率的關(guān)系,是一條斜率為負(fù)的斜線。
當(dāng)原點(diǎn)極點(diǎn)與一個(gè)零點(diǎn)組合在一起時(shí),斜線會(huì)在零點(diǎn)頻率處轉(zhuǎn)折并維持在增益G0,G0稱為中頻增益。下圖顯示了不同wp0的幅值-頻率關(guān)系。
審核編輯:湯梓紅
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傳遞函數(shù)
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原文標(biāo)題:傳遞函數(shù)的三種形式及應(yīng)用場(chǎng)合
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