我們以示波器為例，看看頻域中的尼奎斯特頻率和混疊現(xiàn)象。

尼奎斯特頻率是任何實(shí)時數(shù)字化示波器可進(jìn)行采集而不會混疊的最高頻率。此頻率為采樣率的一半。超過尼奎斯特頻率的頻率將會導(dǎo)致采樣不足，從而出現(xiàn)混疊。尼奎斯特頻率也稱為折疊頻率，因?yàn)樵诓榭搭l域時，混疊的頻率分量將從該頻率向后折疊。

信號中的頻率分量高于采樣率的一半時發(fā)生混疊。因?yàn)?FFT 頻譜受到該頻率的限制，所以任何較高的分量都以較低（混疊）的頻率顯示。

下圖對混疊做了說明。這是 990 Hz 方波的頻譜，具有很多的諧波。方波的水平時間 /格設(shè)置可設(shè)置采樣率，從而導(dǎo)致 FFT 分辨率為 1.91 Hz。從顯示的 FFT頻譜波形中可看到，高于尼奎斯特頻率的輸入信號分量要在顯示中鏡像（混疊），并反映在右邊沿之外。

混疊

因?yàn)轭l率范圍為從約等于 0 到尼奎斯特頻率，所以防止混疊的最佳方式是確保頻率范圍大于輸入信號中出現(xiàn)的高能量頻率。

Nyquist 采樣定理

數(shù)字測量應(yīng)用所需的采用率為多少？一些工程師對于 Nyquist 理論深信不疑，并且認(rèn)為只要采樣率是示波器帶寬的 2 倍便足矣。而其他工程師則不相信建立于 Nyquist 標(biāo)準(zhǔn)的數(shù)字濾波技術(shù)，更愿意使用采樣率為帶寬技術(shù)指標(biāo) 10 至 20 倍的示波器。實(shí)際情況介于二者之間。

若要理解其中的原因，則必須了解 Nyquist 的理論及其與示波器頻率響應(yīng)之間的關(guān)系。Harry Nyquist 博士假設(shè)：Nyquist 采樣定理對于具有最大頻率 fMAX 的有限帶寬信號，等間隔采樣頻率 fS 必須大于兩倍的最大頻率 fMAX，才能唯一地重建信號而不會有混疊現(xiàn)象。

Nyquist 采樣定理可以歸納為兩個簡單規(guī)則，然而，對于 DSO 技術(shù)而言卻不是那么簡單。

1. 采集的最高頻率分量必須小于采樣率的一半。

2. 第二個規(guī)則是必須等間隔采樣，而這一點(diǎn)經(jīng)常會被遺忘。

Nyquist 所稱的 fMAX 就是我們通常所指的 Nyquist 頻率（fN），它不同于示波器帶寬（fBW）。如果示波器帶寬恰好指定為 Nyquist（fN），則意味著示波器具有理想的磚墻式（brick-wall）響應(yīng)，該響應(yīng)在此相同頻率下會完全衰減（如圖 2 所示）。低于 Nyquist 頻率的頻率分量會完全通過（增益 =1），高于 Nyquist 頻率的頻率分量則會完全予以排除。然而，這種頻率響應(yīng)濾波器無法在硬件中實(shí)施。

圖 2：理想的磚墻式頻率響應(yīng)

帶寬技術(shù)指標(biāo)為 1 GHz 及以下的大部分示波器具有稱為高斯頻率響應(yīng)的響應(yīng)類型。當(dāng)信號輸入頻率接近示波器的指定帶寬時，測得的幅度會慢慢下降。信號在帶寬頻率下將會衰減 3 dB（~30%）。如果示波器的帶寬正好指定為 Nyquist（fN）（如圖 3 所示），輸入信號超過這個頻率的分量盡管衰減超過 3 dB，但也被采樣（紅色陰影部分），尤其當(dāng)輸入信號中包含快速邊沿時，情況更是如此（測量數(shù)字信號時）。這種現(xiàn)象違背了 Nyquist 采樣定理的第一條規(guī)則。

圖 3：帶寬（fBW）指定為 Nyquist 頻率（fN）時，典型的示波器高斯頻率響應(yīng)

大多數(shù)示波器廠商不會將示波器的帶寬指定在 Nyquist 頻率（fN），不過也有部分廠商會這樣做。但是，波形記錄儀 / 數(shù)字轉(zhuǎn)換器的廠商往往會將其儀器的帶寬指定在 Nyquist 頻率。現(xiàn)在我們看一下，如果示波器的帶寬與 Nyquist 頻率（fN）相同時會是什么狀況。

圖 4 顯示：在三或四通道模式下工作時， 500-MHz 帶寬的示波器正好以 1 GSa/s的速度進(jìn)行采樣。盡管輸入信號的基本頻率（時鐘頻率）處于 Nyquist 的范圍內(nèi)，但是信號邊沿所包含的重要頻率分量遠(yuǎn)落在 Nyquist 頻率（fN）之外。仔細(xì)查看會發(fā)現(xiàn)，該信號的邊沿具有不同程度的預(yù)沖、過沖和各種邊沿速度，呈現(xiàn)出“不穩(wěn)定” 的趨勢。這就是混疊的跡象，它清晰地表明僅僅使用帶寬為采樣率 2 倍的示波器還不足以獲得可靠的數(shù)字信號測量結(jié)果。

圖 4：使用 1 GSa/s 采樣率和 500-MHz 帶寬的示波器進(jìn)行采樣所產(chǎn)生的混疊邊沿

那么，示波器的帶寬（fBW）的定義應(yīng)該怎么關(guān)聯(lián)到波器的采樣率（fS）和 Nyquist 頻率（fN）呢？為了盡量避免對超出 Nyquist 頻率（fN）的頻率分量進(jìn)行采集，大多數(shù)示波器廠商將其具有典型高斯頻率響應(yīng)的示波器帶寬指定為實(shí)時采樣率的 1/4 至 1/5 或更低（如圖 5 所示）。盡管以比示波器帶寬大更多倍的速率采樣可以進(jìn)一步降低采集 Nyquist 頻率（fN）之外頻率分量的可能性，但是 4:1 的采樣率與帶寬比足以獲得可靠的數(shù)字測量結(jié)果。

帶寬技術(shù)指標(biāo)在 2-GHz 和更高范圍的示波器通常具有更陡峭的頻率衰減響應(yīng) / 特征。我們將這種類型的頻率響應(yīng)稱為“最大平坦度”響應(yīng)。由于具有最大平坦度響應(yīng)的示波器接近于磚墻式濾波器的理想特征，在這種情況下，超出 Nyquist 的頻率分量衰減程度更高，因此無需進(jìn)行多次采樣即可很好地顯示使用數(shù)字濾波的輸入信號。理論上廠商可以將具有此類響應(yīng)的示波器帶寬（假設(shè)前端模擬硬件具備相應(yīng)能力）指定為 fS/2.5。

圖 5：將示波器帶寬（fBW）限制為采樣率的 1/4（fS/4），可以降低 Nyquist 頻率（fN）之上的頻率分量

圖 6 顯示了 500-MHz 帶寬的示波器捕獲邊沿速度在 1 ns（10% - 90%）范圍的 100-MHz 的時鐘信號。500 MHz 的帶寬技術(shù)指標(biāo)是精確捕獲此數(shù)字信號的最小推薦帶寬。這一特定的示波器能夠在雙通道工作模式下以 4 GSa/s 進(jìn)行采樣，或者在三或四通道工作模式下以 2 GSa/s 進(jìn)行采樣。圖 6 顯示的是 2 GSa/s 采樣的示波器，其采樣頻率是 Nyquist 頻率（fN）的兩倍，帶寬頻率（fBW）的四倍。該圖表明，采樣率與帶寬之比為 4:1 的示波器可以非常穩(wěn)定而準(zhǔn)確地表示輸入信號。并且，借助 Sin(x)/x 波形重建 / 插值數(shù)字濾波技術(shù)，此示波器的波形和測量分辨率可達(dá)幾十皮秒的量級。與我們之前圖 4 所顯示的例子（采用相同帶寬的示波器，但僅為帶寬（fN）兩倍的速度進(jìn)行采樣）相比，波形穩(wěn)定性和精確度的差別顯而易見。

圖 6：采用是德科技 500-MHz 帶寬示波器以 2 GSa/s 的速率進(jìn)行采樣，可以精確測量這個邊沿速度為 1 ns 的 100-MHz 時鐘信號

那么，如果我們將采樣率增大一倍，使其達(dá)到 4 GSa/s，再以相同的 500-MHz 帶寬示波器（fBW x 8）采樣，結(jié)果又會怎樣呢？您可能會直觀地認(rèn)為該示波器將會獲得更佳的波形和測量結(jié)果。但正如圖 7 所示，您只能取得很小的改進(jìn)。如果仔細(xì)觀察這兩個波形圖（圖 6 和圖 7），您將會發(fā)現(xiàn)，以 4 GSa/s（fBW x 8）采樣時，顯示的波形中僅有輕微的預(yù)沖和過沖。但是，上升時間測量顯示相同的結(jié)果（1.02 ns）。波形保真度略有提高的關(guān)鍵在于：當(dāng)此示波器的采樣率與帶寬之比由 4:1（2 GSa/s）升至 8:1（4 GSa/s）時，沒有引入其他的誤差源。這就引出了我們的一個主題：如果違背 Nyquist 規(guī)則二會怎么樣呢？Nyquist 強(qiáng)調(diào)必須等間隔進(jìn)行采樣。用戶在評測數(shù)字存儲示波器時，往往會忽視這一重要規(guī)則。

圖 7：采用是德科技 500-MHz 帶寬示波器以 4 GSa/s 采樣，與 2 GSa/s 采樣相比，對測量效果的提高微乎其微。

審核編輯：湯梓紅