這是一篇關(guān)于模擬高斯濾波器設(shè)計(jì)的經(jīng)典文章，發(fā)表于1959年1月的《電氣通信》雜志上。此篇文章引用度比較高，而且內(nèi)容非常詳實(shí)，包含了高斯濾波器綜合和實(shí)現(xiàn)的整個(gè)過程，文章中也討論了有限Q值的濾波器設(shè)計(jì)非常有參考價(jià)值。

在過去的三十多年里，濾波器的設(shè)計(jì)一直遵循鏡像參數(shù)法(the image-parameter theory)。這種理論在商業(yè)中得到了廣泛應(yīng)用，很大程度上是因?yàn)榇蠖鄶?shù)濾波器只需要滿足近似的性能要求。在需要更精確特性的場合，通常只需在實(shí)際濾波器中調(diào)整元件值，就能得到可接受的設(shè)計(jì)。然而，要實(shí)現(xiàn)通帶內(nèi)精確的幅度和相位響應(yīng)，基于鏡像參數(shù)法的簡單近似就不再適用，需要使用基于現(xiàn)代網(wǎng)絡(luò)理論(modern network theory, 即插入損耗法)的方法來解決。

現(xiàn)代網(wǎng)絡(luò)理論是基爾霍夫定律(Kirchhoff's laws)在濾波器參數(shù)計(jì)算中的優(yōu)雅擴(kuò)展。從所需濾波器的幅度、相位或時(shí)間響應(yīng)的預(yù)定指標(biāo)出發(fā)，方程會(huì)計(jì)算出必須包含在濾波器中的每個(gè)元件的精確值，而不受鏡像參數(shù)法的固有限制，即在物理上不實(shí)際的終端阻抗和無耗電抗。

十多年前，關(guān)于現(xiàn)代網(wǎng)絡(luò)理論的濾波器設(shè)計(jì)的一系列實(shí)用論文中的第一篇發(fā)表在《電氣通信》(Electrical Communication)上。本期還有一篇關(guān)于這個(gè)系列的文章。

譯注：這里說的十多年前的文章主要由Vitold Belevitch所貢獻(xiàn)，可以參考：https://en.wikipedia.org/wiki/Vitold_Belevitch

Gaussian-Response Filter Design

高斯響應(yīng)濾波器設(shè)計(jì)

By MILTON DISHAL

ITT Laboratories, a division of International Telephone and Telegraph Corporation; Nutley, New Jersey

具有高斯響應(yīng)特性的濾波器在脈沖系統(tǒng)中非常有用，因?yàn)樗鼈冊(cè)诳焖?a target="_blank">信號(hào)變化后產(chǎn)生的波形過沖和振鈴很小。本文首先概述了理想高斯濾波器的幅度、相位、脈沖響應(yīng)、階躍響應(yīng)和有效熱噪聲帶寬。接下來給出了一種物理可實(shí)現(xiàn)的幅度特性逼近。并提供了這種逼近的復(fù)頻率根(最高到9階)。然后，按綜合復(fù)雜度的順序，考慮了使用這些根來設(shè)計(jì)分段調(diào)諧系統(tǒng)、僅一端有阻性負(fù)載的無耗和均勻有耗濾波器，以及兩端均有阻性負(fù)載的同樣的濾波器；所有設(shè)計(jì)都提供了階高斯幅度逼近。數(shù)值設(shè)計(jì)數(shù)據(jù)提供在7個(gè)表格中；并給出了一個(gè)低通和一個(gè)帶通設(shè)計(jì)實(shí)例。

在許多通信系統(tǒng)中，特別是涉及脈沖的系統(tǒng)，希望系統(tǒng)響應(yīng)幅度隨帶寬(response-magnitude-versus-bandwidth)變化特性呈高斯形狀(譯注：推導(dǎo)過程可以參考和ChatGPT聊聊高斯濾波器設(shè)計(jì))。

本文沒有考慮這個(gè)問題的系統(tǒng)方面，但可以提到的是，使用高斯響應(yīng)形狀的一些有益的定性結(jié)果是在快速信號(hào)變化后產(chǎn)生的過沖和振鈴非常小，以及在施加脈沖時(shí)可以獲得的對(duì)稱脈沖輸出。

本文旨在提供精確數(shù)據(jù)，使得能夠成功設(shè)計(jì)和構(gòu)建具有幅度與頻率特性為階理想高斯幅度響應(yīng)逼近的低通和帶通濾波器，其中是整個(gè)濾波器中的元件數(shù)量(在低通濾波器中，元件表示電抗(reactances)；在帶通濾波器中，表示諧振器(resonators))。正如后面一節(jié)所示，產(chǎn)生理想高斯響應(yīng)需要無限數(shù)量的元件，因此在使用有限數(shù)量的元件時(shí)，只能逼近這種響應(yīng)。

1. 理想高斯響應(yīng)特性

為了便于參考，本節(jié)簡要介紹了理想高斯響應(yīng)的五個(gè)經(jīng)常用到的特性。

1.1 相對(duì)衰減幅度與帶寬的關(guān)系

方程(1)給出了理想高斯相對(duì)衰減幅度的表達(dá)式：

譯注：這里的系數(shù)0.3466是這樣算出來的，令，即讓其傳遞函數(shù)的3dB截止頻率處功率衰減一半。解得，這里和下述公式中的相同，下式是系統(tǒng)傳遞函數(shù)：

其中 是濾波器在零帶寬時(shí)的峰值輸出電壓， 是任意帶寬 下的輸出電壓， 是帶寬值(低通情況下為實(shí)際弧度頻率，對(duì)稱載波中心帶通情況下為總帶寬)。 是歸一化帶寬，通?？梢詮乃诘姆匠讨型茖?dǎo)出其意義。例如，繪制(1)的圖像可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng) 時(shí)，相對(duì)衰減為1奈培(neper)或8.68dB。從同一相對(duì)衰減圖中可以看出，，經(jīng)過重新歸一化至3dB帶寬后，得到(1)的第二個(gè)右側(cè)表達(dá)式。對(duì)(1)的兩側(cè)取，以獲得dB表示的簡單的相對(duì)衰減式(1A)：

譯注：這里式(1A)求解高斯濾波器衰減特性，對(duì)式(1)兩邊取得到:

在兩倍的3dB帶寬處，理想高斯相對(duì)衰減的幅度為12dB；在三倍的3dB帶寬處，為27dB；等等。

1.2 相對(duì)衰減相位(相位滯后)與帶寬的關(guān)系

基于表示幅度(1)所需的無窮項(xiàng)級(jí)數(shù)這一事實(shí)，可以證明理想高斯相位特性具有無限斜率，并且完全線性，如下式所示：

其中 是帶通響應(yīng)中間或低通響應(yīng)零頻率處的實(shí)際相移。相位特性的無限線性斜率導(dǎo)致通過理想高斯濾波器的信號(hào)具有無限時(shí)間延遲。通過有限數(shù)量的網(wǎng)絡(luò)元件對(duì)高斯響應(yīng)進(jìn)行逼近將導(dǎo)致有限的時(shí)間延遲。

譯注：這一小結(jié)容易產(chǎn)生疑惑，對(duì)于(1)式，實(shí)際上還包含一個(gè)虛部為0的項(xiàng)，即信號(hào)相位為0，得到結(jié)論，理想高斯濾波器對(duì)所有信號(hào)的相位移動(dòng)都是0。但是為什么這里作者指出相位特性具有無限斜率，且對(duì)信號(hào)具有無限時(shí)間延遲呢？

這里可以這樣理解：實(shí)際上對(duì)于一個(gè)理想高斯濾波器，我們需要無窮多的元器件來綜合實(shí)現(xiàn)，比如如下這樣，

當(dāng)輸入端輸入信號(hào)后，因?yàn)橹虚g有無窮項(xiàng)，信號(hào)永遠(yuǎn)也無法輸出！所以說理想高斯濾波器對(duì)信號(hào)具有無限時(shí)間延遲，也即得到相位的無限斜率特性。

1.3 脈沖響應(yīng)與時(shí)間的關(guān)系

理想高斯濾波器的脈沖響應(yīng)為：

譯注：時(shí)域脈沖響應(yīng)可以使用頻域的反傅里葉變換求得：

其中所以這里的系數(shù).

其中 是從脈沖響應(yīng)中心的無限延遲處計(jì)算的時(shí)間差(正負(fù))， 是任意時(shí)間 處的輸出， 是峰值輸出(在 時(shí)出現(xiàn))。繪制(3)的圖像顯示，半幅度點(diǎn)之間的總時(shí)間寬度為，10%幅度的總時(shí)間寬度為，1%幅度的總時(shí)間寬度為，0.1%幅度的時(shí)間寬度為。其中， 是低通情況下的實(shí)際3dB截止頻率，對(duì)于對(duì)稱載波中心帶通情況， 是總3dB帶寬的一半。

1.4 階躍響應(yīng)與時(shí)間的關(guān)系

理想高斯濾波器的階躍響應(yīng)為：

譯注：階躍響應(yīng)使用沖擊響應(yīng)的積分求得：

其中，原文中的公式(4)是錯(cuò)誤的。

其中是從階躍響應(yīng)中間向上的無限延遲時(shí)間(正負(fù))計(jì)算的時(shí)間差。繪制(4)時(shí)，可以看到10%至90%的上升時(shí)間等于0.344 /，5%至95%的上升時(shí)間等于0.437 /，其中是低通情況下的實(shí)際3dB截止頻率，對(duì)稱載波為中心的帶通情況下是總3dB帶寬的一半。

1.5 有效噪聲帶寬

為了計(jì)算無線電接收機(jī)的熱噪聲限制靈敏度，需要知道評(píng)估接收機(jī)選擇性的有效噪聲帶寬。對(duì)于歸一化高斯響應(yīng)形狀，熱噪聲帶寬

有效熱噪聲帶寬是具有與實(shí)際電壓平方響應(yīng)形狀相同的峰值響應(yīng)和相同總面積的矩形電壓平方歸一化響應(yīng)形狀的寬度。

2. 使用個(gè)網(wǎng)絡(luò)元件逼近高斯幅度特性

如前所述，要用多項(xiàng)式形式表示的無窮項(xiàng)數(shù)目的期望網(wǎng)絡(luò)功能，需要綜合一個(gè)包含無窮多元件的集總線性網(wǎng)絡(luò)。因此，在實(shí)際應(yīng)用中需要對(duì)第1節(jié)中詳細(xì)介紹的理想高斯響應(yīng)進(jìn)行逼近。設(shè)計(jì)工程師必須決定需要逼近哪個(gè)特性，所逼近的特性有：幅度特性、相位特性、相位斜率特性(phase-slope)、脈沖響應(yīng)特性、階躍響應(yīng)特性等。本文討論的是高斯幅度特性的逼近問題。

2.1 相對(duì)衰減幅度的公式

正如很多次所提到的(例如，參見達(dá)林頓的論文)，一個(gè)由有限數(shù)量元件組成的集總線性網(wǎng)絡(luò)，在通帶之外產(chǎn)生持續(xù)增加的衰減，其相對(duì)衰減幅度公式如下：

是歸一化帶寬變量的最高次冪為的多項(xiàng)式，其中是網(wǎng)絡(luò)元件的數(shù)量，是該多項(xiàng)式在帶寬最小值處的數(shù)值。通過從多項(xiàng)式的常數(shù)項(xiàng)中減去并加上，顯然可以將(5)寫成以下形式：

因此，為了將期望的高斯相對(duì)衰減幅度方程(1)與物理可實(shí)現(xiàn)的網(wǎng)絡(luò)聯(lián)系起來，需要對(duì)(1)的平方求級(jí)數(shù)，而不是直接對(duì)(1)求級(jí)數(shù)，因?yàn)?5)表明，如果要將多項(xiàng)式中的項(xiàng)數(shù)與網(wǎng)絡(luò)中的元件數(shù)關(guān)聯(lián)起來，必須使用相對(duì)衰減幅度的平方。

譯注：這里作者將衰減曲線對(duì)曲線的最小值做了歸一化處理，這樣就將衰減方程寫成了:

的形式，也就是說這節(jié)的重點(diǎn)是現(xiàn)在所謂的特征函數(shù)(The Characteristic Function)。感興趣的同學(xué)可以參考《濾波器設(shè)計(jì)的逼近方法 - Butterworth, Chebyshev, Elliptic》。文中寫到"必須使用相對(duì)衰減幅度的平方"才能獲得實(shí)際元件值，這個(gè)說法通俗的解釋是由于實(shí)際器件都是正實(shí)數(shù)，而(1)式只能包含左半邊平面極點(diǎn)的函數(shù)，解出來的會(huì)存在虛數(shù)，而平方后，這些虛數(shù)都變?yōu)閷?shí)數(shù)，就可以和實(shí)際器件形成對(duì)應(yīng)關(guān)系了。

2.2 幅度逼近的結(jié)果

當(dāng)上述平方之后，然后使用已知的收斂無窮級(jí)數(shù)，我們得到:

根據(jù)(5)關(guān)于多項(xiàng)式最高次冪的說明，可以看出，兩元件(低通電路的電抗；帶通電路的諧振器)濾波器可以滿足(6)的前三項(xiàng)，三元件濾波器可以滿足前四項(xiàng)，依此類推。一般來說，個(gè)元件的濾波器可以滿足(6)的前項(xiàng)。

在數(shù)學(xué)上有許多不同的方法來指定對(duì)期望曲線的最佳逼近；在本文中，所采用的逼近方法是盡可能滿足式(6)中的實(shí)際數(shù)值系數(shù)。

現(xiàn)在可以繪制用個(gè)元件所構(gòu)成濾波器網(wǎng)絡(luò)獲得的高斯幅度逼近的曲線。圖1顯示了3dB截止點(diǎn)內(nèi)的曲線部分，圖2顯示了3dB截止點(diǎn)外的曲線部分，這些曲線是包含多達(dá)10個(gè)元件的濾波器網(wǎng)絡(luò)的結(jié)果。在繪制之后，我們還記錄了的關(guān)系，并將所有曲線重新歸一化到它們自己的3dB截止點(diǎn)。從這些曲線中，工程師可以輕松確定滿足預(yù)定指標(biāo)逼近所需的網(wǎng)絡(luò)元件數(shù)量。從圖2中，應(yīng)注意到一個(gè)重要的事實(shí)：濾波器中使用的元件數(shù)量決定了逼近滿足理想高斯響應(yīng)的相對(duì)衰減曲線(即相對(duì)響應(yīng)曲線)的程度；例如，一個(gè)四元件濾波器可以在大約11dB點(diǎn)附近逼近高斯響應(yīng)，誤差在1dB以內(nèi)；6個(gè)元件則在大約18dB；8個(gè)元件在大約26dB；10個(gè)元件在大約34dB；如此等等。

圖1-在3dB截止點(diǎn)以內(nèi)的階高斯幅度逼近濾波器的相對(duì)衰減曲線。濾波器中的元件數(shù)量。

圖2-在3dB截止點(diǎn)以外的階高斯幅度逼近濾波器的相對(duì)衰減曲線。

理想高斯響應(yīng)需要多大程度上逼近才行？這是一個(gè)重要的問題，取決于特定系統(tǒng)的要求，這個(gè)問題不在本文的討論范圍之內(nèi)。

3. 高斯幅度逼近的復(fù)根及其在參差調(diào)諧放大器(Stagger-Tuned Amplifier)設(shè)計(jì)中的應(yīng)用

當(dāng)綜合一個(gè)網(wǎng)絡(luò)以產(chǎn)生精確所規(guī)定的連續(xù)增加的衰減幅度時(shí)，總是需要解出其衰減方程的個(gè)根，其中是多項(xiàng)式的最高次冪，也是濾波器中必須使用的元件數(shù)量。對(duì)于目前正在考慮的高斯逼近，這些重要的根值或極點(diǎn)位置顯然是通過選擇公式(6)的適當(dāng)數(shù)量的項(xiàng)(前項(xiàng))并將它們?cè)O(shè)為零，然后求解得到的個(gè)根。濾波器網(wǎng)絡(luò)函數(shù)是的有理函數(shù)，而不是；因此，在網(wǎng)絡(luò)綜合過程中使用，需要將上述得到的根乘以。上述步驟的結(jié)果詳見表1，其中包括了高達(dá)9階的高斯逼近。在每種情況下，所得到的極點(diǎn)位置已經(jīng)重新歸一化到頻響的3dB截止點(diǎn)，由于只有個(gè)左半平面極點(diǎn)用于網(wǎng)絡(luò)綜合，所以只顯示帶負(fù)號(hào)的實(shí)根。

3.1 使用單調(diào)諧中間級(jí)的參差調(diào)諧放大器設(shè)計(jì)

如果通過設(shè)計(jì)使用單調(diào)諧中間級(jí)的梯形調(diào)諧中頻放大器來滿足指標(biāo)是可行的，那么表1的數(shù)據(jù)就構(gòu)成了放大器中間級(jí)的完整設(shè)計(jì)數(shù)據(jù)。

例如，如果要制作一個(gè)5級(jí)參差調(diào)諧放大器，以實(shí)現(xiàn)5階高斯逼近，那么需要：兩個(gè)單調(diào)諧電路，各自的3dB帶寬為所需的總3dB帶寬的倍；這兩個(gè)電路將從所需的中頻失諧，頻率間隔等于所需的總3dB帶寬的一半。然后需要兩個(gè)單調(diào)諧中間級(jí)，其各自的3dB帶寬等于所需的總3dB帶寬的倍；這兩個(gè)電路將從所需的中頻失諧，頻率間隔等于所需的總3dB帶寬的倍的一半。最后，需要一個(gè)單調(diào)諧中間級(jí)，其3dB帶寬為所需的總3dB帶寬的倍；此電路不會(huì)從中頻失諧(detuned)。

放大器所需的總增益可以在5個(gè)級(jí)之間按任意期望的分布來分配。

3.2 實(shí)現(xiàn)高斯幅度逼近的雙調(diào)諧級(jí)聯(lián)放大器

如果通過使用低階中間級(jí)和電子管分隔的系統(tǒng)來滿足選擇性要求，那么對(duì)于給定數(shù)量的放大器級(jí)聯(lián)，可以通過使用雙調(diào)諧中間級(jí)來實(shí)現(xiàn)比3.1節(jié)中的更高階逼近。表1中的極點(diǎn)位置數(shù)據(jù)也可直接用于設(shè)計(jì)這樣的雙調(diào)諧中間級(jí)。對(duì)于同步調(diào)諧的情況，作者強(qiáng)烈推薦(因?yàn)檩p微失諧的影響要小于的情況)所需的值可以直接從這樣一個(gè)事實(shí)中得到：的值必須等于由雙調(diào)諧電路提供的極點(diǎn)對(duì)的實(shí)部。所需的耦合系數(shù)可直接從值等于這一極點(diǎn)對(duì)的虛部這一事實(shí)中得到。上述表達(dá)式中的是整個(gè)放大器所期望的總3dB帶寬。

表 1高斯幅度逼近的個(gè)左半平面根

4. 多元件高斯濾波器網(wǎng)絡(luò)

當(dāng)簡單的(單極點(diǎn)和雙極點(diǎn))間隔網(wǎng)絡(luò)無法用于構(gòu)建所需的相對(duì)衰減形狀并且需要一個(gè)單一的集總濾波器單元時(shí)，仍然必須使用第3節(jié)給出的極點(diǎn)位置進(jìn)行必要的綜合過程，但知道這些極點(diǎn)位置只是過程的第一步。在進(jìn)行其他步驟之前，展示一些可以直接應(yīng)用所得設(shè)計(jì)信息的實(shí)際網(wǎng)絡(luò)將會(huì)很有幫助。

4.1 低通梯形網(wǎng)絡(luò)

圖3顯示了眾所周知的基本低通梯形網(wǎng)絡(luò)，可以設(shè)計(jì)為高斯響應(yīng)逼近。通過應(yīng)用基爾霍夫定律，為這樣一個(gè)網(wǎng)絡(luò)的個(gè)元件計(jì)算傳輸函數(shù)，讀者會(huì)發(fā)現(xiàn)這個(gè)網(wǎng)絡(luò)可以描述為：(A)耦合系數(shù)-給出相鄰電抗之間的關(guān)系；(B)描述與每個(gè)單獨(dú)電抗相關(guān)的電阻損耗的值。值得注意的是，端點(diǎn)處的電抗的值不僅包括它們自身的內(nèi)部損耗，而且更重要的是，還包括連接到這些端部元件的源或負(fù)載的電阻。這些和關(guān)系在圖3中詳細(xì)說明。需要注意的是，通過將歸一化值(小和倒數(shù))乘以歸一化帶寬變量，可以得到所需的實(shí)際耦合系數(shù)[例如，]和衰減斜率(或)。

圖3A - 對(duì)于以并聯(lián)電容器開始的梯形網(wǎng)絡(luò)，3dB帶寬歸一化和與 '，，和 之間的關(guān)系是：，，依此類推。；依此類推。

圖3B - 對(duì)于以串聯(lián)電感器開始的梯形網(wǎng)絡(luò)，3dB截止歸一化 '和 與，，和 之間的關(guān)系是：，，依此類推。，依此類推。

圖3 - 本文設(shè)計(jì)數(shù)據(jù)可以直接應(yīng)用到的低通梯形網(wǎng)絡(luò)。要設(shè)計(jì)大百分比帶通網(wǎng)絡(luò)，首先使用所需的總3dB帶寬為設(shè)計(jì)上述低通結(jié)構(gòu)，然后在每個(gè)并聯(lián)電容器上放置一個(gè)諧振電感，并將一個(gè)諧振電容與每個(gè)串聯(lián)電感連接，使得每個(gè)產(chǎn)生的諧振電路都調(diào)諧到通帶的幾何平均頻率上。

4.2 帶通梯形網(wǎng)絡(luò)

圖4顯示了適用于小百分比帶通需求的重要情況的耦合諧振器帶通電路。在這里，應(yīng)用基爾霍夫定律于網(wǎng)絡(luò)并求解得到的傳輸函數(shù)，該網(wǎng)絡(luò)完全由：(A)相鄰諧振器之間的耦合系數(shù)和(B)每個(gè)單獨(dú)諧振器的值來描述；需要注意到，端點(diǎn)諧振器的值由連接到這些端部元件的源或負(fù)載電阻以及這些諧振器的內(nèi)部損耗決定。這些和關(guān)系詳見圖4。通過將歸一化值(小和)乘以歸一化帶寬變量，可以得到所需的實(shí)際耦合系數(shù)[例如，]和衰減()。

5. 相量相對(duì)衰減方程(Phasor Relative-Attenuation Equation)及其僅在一端有阻性負(fù)載的網(wǎng)絡(luò)應(yīng)用

5.1 無耗或均勻損耗元件的相量相對(duì)衰減方程

給定一個(gè)與式(5)形式相同的相對(duì)衰減幅度方程，相應(yīng)的相量方程總是可以寫成以下形式：

對(duì)于無耗元件網(wǎng)絡(luò)，方括號(hào)中多項(xiàng)式的系數(shù)是通過將表1中的個(gè)左半平面根關(guān)聯(lián)的個(gè)因子相乘而得到的，僅僅是產(chǎn)生最小幅值的帶寬處方括號(hào)多項(xiàng)式的幅值。對(duì)于高斯相對(duì)形狀，多項(xiàng)式的最小幅值出現(xiàn)在低通情況的零頻率處和帶通情況的中心頻率(zero fractional bandwidth)處；因此，對(duì)于這些響應(yīng)形狀，。

當(dāng)濾波器的每個(gè)元件(低通梯形中的電抗和帶通情況下的諧振器)具有相同的有限值時(shí)，仍然需要使用形式(7)，但是首先需要通過將每個(gè)根的實(shí)部幅值減少一個(gè)等于每個(gè)元件歸一化未加載減值(歸一化未加載的倒數(shù))的量來修改所需相對(duì)衰減的個(gè)左半平面根。然后，將得到的修改后或“預(yù)失真”的根值用于相乘以形式(7)的個(gè)因子。對(duì)于使用修改后根值的這種情況，應(yīng)該意識(shí)到，得到的方程不是我們所期望的相對(duì)衰減幅值形狀的相量；而是與“預(yù)失真”幅值形狀對(duì)應(yīng)的相量。

譯注：作者在這里考慮了元件的Q值，也就是元件的寄生電阻R，當(dāng)需要考慮元件電阻R時(shí)，就需要預(yù)先從根減去一個(gè)R所引起的衰減量，即實(shí)部減小一個(gè)值。這樣最終得到的表達(dá)式就是考慮了Q值的表達(dá)式，可以用來綜合有限Q值的濾波器。

5.2 連分?jǐn)?shù)展開過程

現(xiàn)在，可以直接使用(7)中的結(jié)果系數(shù)來獲得圖3和圖4中梯形網(wǎng)絡(luò)所需的和值，其中網(wǎng)絡(luò)中使用無窮大值或均勻有限值元件。

連分?jǐn)?shù)展開過程的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)將在第6節(jié)給出，方法如下：在下面的(8)中，通過將(7)中的第1、3、5等項(xiàng)作為分子，將第2、4、6等項(xiàng)作為分母來形成分?jǐn)?shù)：

圖4A - 使用并聯(lián)諧振電路的節(jié)點(diǎn)網(wǎng)絡(luò)。每個(gè)節(jié)點(diǎn)的由給出，其中節(jié)點(diǎn)電容(或電感)是在其他所有節(jié)點(diǎn)短路時(shí)跨越節(jié)點(diǎn)的電容或電感。對(duì)于所示的三種耦合類型：, 和。任何相鄰的一對(duì)諧振器都可以通過所示的三種方法中的任何一種耦合，然后如果有必要的話，可以將等效的T型替換為容性或感性的型。在將所有其他節(jié)點(diǎn)短路時(shí)，每個(gè)節(jié)點(diǎn)必須在處諧振。

圖4B - 使用串聯(lián)諧振電路的網(wǎng)狀網(wǎng)絡(luò)。每個(gè)網(wǎng)孔(mesh)的由給出，其中網(wǎng)孔電感(或電容)是與網(wǎng)格串聯(lián)的其他所有網(wǎng)格斷開時(shí)的電容。對(duì)于所示的三種耦合類型，, 和。任何相鄰的一對(duì)諧振器都可以通過所示的三種方法中的任何一種耦合；然后，如果有必要的話，可以將等效型替換為容性或感性的T型。每個(gè)網(wǎng)孔在其他所有網(wǎng)孔斷開時(shí)必須在處諧振。

圖4 - 本文設(shè)計(jì)數(shù)據(jù)可以直接應(yīng)用的小百分比帶通梯形網(wǎng)絡(luò)以及3dB截止點(diǎn)歸一化和與、、和之間的關(guān)系。對(duì)于兩種網(wǎng)絡(luò)，和 當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，這個(gè)分?jǐn)?shù)是所需的電抗梯形網(wǎng)絡(luò)的短路輸入阻抗，從一端觀察到負(fù)載，歸一化為這個(gè)負(fù)載電阻的值；也就是說，對(duì)于為奇數(shù)，它是。(通過將短路替換為開路，將阻抗替換為導(dǎo)納，將電阻替換為電導(dǎo)，可以得到的奇數(shù)的對(duì)偶輸入函數(shù)。)

當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，分?jǐn)?shù)(8)是所需的電抗梯形網(wǎng)絡(luò)的歸一化開路輸入阻抗。(同樣，可以使用對(duì)偶性來獲得為偶數(shù)的對(duì)偶輸入函數(shù)。)

接下來，將(8)展開為連分?jǐn)?shù)形式，由連分?jǐn)?shù)展開的第一個(gè)商給出梯形網(wǎng)絡(luò)第一個(gè)臂的歸一化阻抗，即靠近負(fù)載電阻的那一臂。下一個(gè)商給出梯形網(wǎng)絡(luò)第二個(gè)臂的歸一化導(dǎo)納。第三個(gè)商給出第三個(gè)梯形臂的阻抗，依此類推；阻抗和導(dǎo)納函數(shù)交替出現(xiàn)(這種同樣適用對(duì)偶情形)。

上述連分?jǐn)?shù)展開產(chǎn)生的商的數(shù)值部分通常被稱為歸一化梯形網(wǎng)絡(luò)系數(shù)，用字母、、等表示。要從這些值轉(zhuǎn)換為歸一化衰減和耦合系數(shù)形式的電路常數(shù)，我們使用以下簡單的關(guān)系式：

5.3 單端接載梯形網(wǎng)絡(luò)的設(shè)計(jì)

5.3.1 無耗元件設(shè)計(jì)數(shù)據(jù)，

當(dāng)完成(7)，(8)和(9)所描述的數(shù)值計(jì)算工作后，可獲得表2中的設(shè)計(jì)數(shù)據(jù)，該數(shù)據(jù)用于生成高斯幅度逼近的無耗元件梯形網(wǎng)絡(luò)，最高可達(dá)9階。注意表中給出了歸一化端部元件的；這只是歸一化衰減的倒數(shù)。此外，必須意識(shí)到實(shí)際所需的耦合系數(shù)和端部衰減是通過將表2中給出的歸一化值乘以歸一化帶寬變量(對(duì)于低通濾波器)或(對(duì)于帶通濾波器)來獲得的。

表2的最后一列給出了小百分比帶通情況下的梯形網(wǎng)絡(luò)的網(wǎng)格-網(wǎng)格之間的增益，其中和是獨(dú)立選擇的，電壓控制電流源的梯形一端，輸出電壓出現(xiàn)在梯形的另一端。注意有意思的一點(diǎn)是，對(duì)于恒定的端接諧振電容，當(dāng)高斯逼近的階數(shù)提高時(shí)，傳輸增益顯著降低。

表 2單端加載的“無耗”梯形的階高斯濾波器設(shè)計(jì)數(shù)據(jù)

對(duì)于低通和大百分比帶通情況，沒有給出零頻率增益列，因?yàn)樵诰哂袩o限元件的情況下，等效戴維南電源的開路電壓將始終出現(xiàn)在輸出端子上。

5.3.2 均勻有耗元件的設(shè)計(jì)數(shù)據(jù)， 和

對(duì)于由均勻有耗元件組成的5級(jí)和8級(jí)單端加載網(wǎng)絡(luò)，表3和表4分別給出了用于使有耗網(wǎng)絡(luò)產(chǎn)生5階和8階高斯逼近所需的歸一化的和。為了節(jié)省空間，針對(duì)工程師所使用的網(wǎng)絡(luò)元件的歸一化無載 的特定值，給出了所需的 和 。顯然，要獲取任何其他歸一化無載 的設(shè)計(jì)數(shù)據(jù)，讀者可以通過從這些數(shù)據(jù)構(gòu)建圖表來進(jìn)行插值。

值得注意的是，歸一化無載值較低的元件，如0.7或0.8，可以用于構(gòu)建實(shí)際高斯響應(yīng)形狀的濾波器。

表3和表4的最后兩列給出了有耗網(wǎng)絡(luò)的最大傳輸阻抗()；倒數(shù)第二列以一種對(duì)于小百分比帶通電路最有用的方式進(jìn)行歸一化；而最后一列以一種對(duì)于低通梯形電路最有用的方式進(jìn)行歸一化。

在倒數(shù)第二列中，對(duì)于小百分比帶通情況，給出了格間增益， 和 是第一個(gè)和最后一個(gè)諧振器的獨(dú)立選擇的節(jié)點(diǎn)電容， 是源的跨導(dǎo)。

在表3的最后一列(低通增益)， 是并聯(lián)在低通梯形網(wǎng)絡(luò)中負(fù)載電容器上所需的總阻抗。在表4中的相應(yīng)列中， 是串聯(lián)在低通梯形網(wǎng)絡(luò)端部電感器上的附加電阻。

確保將源和負(fù)載正確連接到在一端或兩端具有并聯(lián)元件的梯形網(wǎng)絡(luò)的簡單步驟如下：

(A)設(shè)計(jì)完整梯形網(wǎng)絡(luò)，其中需要包括加載電阻，而不需要考慮實(shí)際源或負(fù)載的具體連接方式和值。

(B)在網(wǎng)絡(luò)兩端的電阻上分別畫一個(gè)無限阻抗電流源，并在網(wǎng)絡(luò)另一端的電阻上畫一個(gè)開路輸出電壓端子；在表3和表4的最后兩列中給出的是這個(gè)開路輸出電壓與這個(gè)無限阻抗輸入電流的比值。

(C)實(shí)際要使用的等效電流源幾乎總是會(huì)有一些并聯(lián)電阻和并聯(lián)電容與它相關(guān)聯(lián)：因此，將輸入節(jié)點(diǎn)的并聯(lián) 和 分成兩部分，一部分等于必須由要使用的源提供的部分，剩下的部分由電路設(shè)計(jì)者提供。在網(wǎng)絡(luò)負(fù)載端采用類似的方法，找到電路設(shè)計(jì)者必須提供的最后一個(gè)節(jié)點(diǎn)或網(wǎng)格的那部分。

表 3僅在一端加載的均勻耗散梯形網(wǎng)絡(luò)的5階高斯濾波器的設(shè)計(jì)數(shù)據(jù)

為了節(jié)省空間，這個(gè)設(shè)計(jì)信息是針對(duì)特定的歸一化無載 值給出的。要獲得任何歸一化無載 的設(shè)計(jì)數(shù)據(jù)，讀者應(yīng)該根據(jù)這些數(shù)據(jù)為 和每個(gè) 與 繪制一張圖。

6. 反射系數(shù)及其在雙端加載網(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì)中的應(yīng)用

在達(dá)林頓(Darlington)1935年的經(jīng)典論文 中，他提出了一種用于綜合兩端阻性加載的無源網(wǎng)絡(luò)的基本方法(實(shí)際上，這種通用的達(dá)林頓綜合方法的一個(gè)極限情況是在第5節(jié)中為單端加載網(wǎng)絡(luò)給出的基礎(chǔ))。下面給出了描述達(dá)林頓綜合方法基本原理。

一個(gè)基本事實(shí)是，如果我們知道純無源梯形網(wǎng)絡(luò)在電阻終端處所需的相量電壓或電流反射系數(shù)方程，那么可以從這個(gè)方程中得到該相同網(wǎng)絡(luò)短路(或開路)輸入阻抗(或?qū)Ъ{)的更簡單表達(dá)式。然后，如果沒有無限衰減的有限頻率點(diǎn)，那么通過對(duì)這個(gè)輸入阻抗進(jìn)行簡單的連分?jǐn)?shù)展開，將依次給出滿足原始指定的相量反射系數(shù)的梯形網(wǎng)絡(luò)的每個(gè)無源臂所需的元件值。

有了上述工具，要綜合產(chǎn)生高斯幅度逼近的網(wǎng)絡(luò)，需要解決的問題是：如何從所需的相對(duì)衰減幅度的形狀開始，從中得到一個(gè)終端無源網(wǎng)絡(luò)的相應(yīng)相量的反射系數(shù)？

6.1 反射系數(shù)幅度的計(jì)算

由于指定了一個(gè)純無源終端網(wǎng)絡(luò)，這個(gè)問題非常簡單——所有通過網(wǎng)絡(luò)輸入端接收的功率都必須出現(xiàn)在負(fù)載電阻上，這樣才能產(chǎn)生所需的相對(duì)衰減形狀；因此可以使用下面三個(gè)量之間的已知關(guān)系：來自電阻源的可用功率 、復(fù)輸入阻抗接收的功率以及這個(gè)電阻源和這個(gè)復(fù)輸入阻抗之間的反射系數(shù)的幅度平方；即，

對(duì)(10)進(jìn)行簡單的操作，得到重要的形式，

其中 是在接受峰值功率頻率下網(wǎng)絡(luò)接收的功率。

表 4僅在一端加載的均勻耗散梯形網(wǎng)絡(luò)的8階高斯濾波器設(shè)計(jì)數(shù)據(jù)

為了節(jié)省空間，這個(gè)設(shè)計(jì)信息是針對(duì)特定的歸一化無載 值給出的。要獲得任何歸一化無載 的設(shè)計(jì)數(shù)據(jù)，讀者應(yīng)該根據(jù)這些數(shù)據(jù)為 和每個(gè) 與 繪制一張圖。

由于在任何頻率下接收的功率 和在峰值頻率下接收的功率 都傳遞給完全相同的負(fù)載電阻，它們的比值當(dāng)然也等于，這是我們所需的相對(duì)衰減形狀的幅度平方的方程。由于指定了所需的幅度形狀，因此，(10A)中的方程 是已知的。

(10A)中的量 是在峰值響應(yīng)頻率下接受的功率與電阻源可提供的最大功率之間的比值，因此是必須選擇的一個(gè)簡單比例；可以使用從1到0的任何值。通常，對(duì)于在兩端阻性加載的網(wǎng)絡(luò)，希望峰值頻率的輸出等于源可提供的最大功率，因此將 設(shè)置為1。對(duì)于僅在一端電阻性加載的網(wǎng)絡(luò)，負(fù)載不傳遞功率；在這里， 設(shè)置為零。(第5節(jié)已經(jīng)討論了這種情況。)

以上解釋了從指定的高斯逼近相對(duì)衰減形狀方程(6)到純無源電阻終端網(wǎng)絡(luò)必須具有的電壓或電流反射系數(shù)的幅度平方的轉(zhuǎn)換。重寫(10A)的形式，突出(5)中在分子中的重要作用。通過將(5)的形式作為(10A)的分母，可以得到：

6.2 相量反射系數(shù)的確定

接下來的問題是確定與幅度相關(guān)的相量反射系數(shù)。我們可以分別考慮的分子和分母相量。

首先考慮的分母，需要解決分母的 根(共有 個(gè))，它們必須乘以，然后，因?yàn)檫@個(gè)分母是(5)中的多項(xiàng)式部分，即物理可實(shí)現(xiàn)的傳輸函數(shù)，所以需要選擇 個(gè)左半平面 的根，將它們組成的 個(gè)根因子相乘得到相量分母。對(duì)于理想 元件，這些分母根當(dāng)然是表1中已給出的那些；對(duì)于均勻耗散的網(wǎng)絡(luò)元件，這些分母根是通過將表1中根的實(shí)部幅度減小每一個(gè)元件的歸一化衰減量而形成的預(yù)失真根。

接下來考慮的分子；這個(gè)方程表明，首先要形成已經(jīng)得到的預(yù)失真相量分母多項(xiàng)式的幅度，然后找到這個(gè)方程多項(xiàng)式部分的最小值，然后從這個(gè)多項(xiàng)式中減去乘積?，F(xiàn)在可以找到這個(gè)新多項(xiàng)式的 根。然后將這些根乘以，并選擇得到的 根中的 個(gè)，組成所需的 個(gè)根因子。這里出現(xiàn)了一個(gè)小問題——因?yàn)檫@個(gè)分子不是一個(gè)物理傳輸或輸入函數(shù)，所以這 個(gè)根可以有多種選擇方式，但始終要記住，從這些根形成的相量必須具有原始分子的幅度。在本文中，首先選擇所有 個(gè)右半平面根，形成一個(gè)與(10B)的分子相對(duì)應(yīng)的相量。

當(dāng)上述根因子相乘時(shí)，現(xiàn)在可以寫出與相對(duì)應(yīng)的相量反射系數(shù)，

其中， 和 是分母和分子的 個(gè)根因子相乘時(shí)得到的數(shù)值系數(shù)。

6.2.1 確定短路或開路輸入阻抗

從上述相量電壓或電流反射系數(shù)，可以立即得到相應(yīng)的終端歸一化輸入阻抗或?qū)Ъ{；它是(11)的分母與分子之比與分母減分子之比。

與相應(yīng)的短路或開路導(dǎo)納相比，這種終端輸入阻抗的展開相當(dāng)繁瑣，因此直接從(11)中導(dǎo)出后者函數(shù)是非?？扇〉摹@是通過在終止輸入阻抗的分子中省略第2、4、6、...項(xiàng)，分母中省略第1、3、5、...項(xiàng)來實(shí)現(xiàn)的；得到的結(jié)果是(12)，可以直接從(11)中得到。

當(dāng) 是奇數(shù)時(shí)，這個(gè)比值是所需的無耗梯形網(wǎng)絡(luò)的短路輸入阻抗，從梯形網(wǎng)絡(luò)的一端看，歸一化到將在這一端使用的加載電阻 的值；也就是說，對(duì)于 是奇數(shù)，(12) 是。(將短路換成開路，阻抗換成導(dǎo)納，電阻換成電導(dǎo)，就可以得到 為奇數(shù)的對(duì)偶輸入函數(shù)。)

當(dāng) 是偶數(shù)時(shí)，(12) 是所需的無耗梯形網(wǎng)絡(luò)的歸一化開路輸入阻抗。(再次使用對(duì)偶性質(zhì)可以獲得 是偶數(shù)的對(duì)偶輸入函數(shù)。)

接下來，將(12)以連分?jǐn)?shù)形式展開，連分?jǐn)?shù)展開的第一個(gè)商給出第一個(gè)梯形臂的無耗部分必須具有的歸一化阻抗(靠近 加載電阻的臂)；接下來的商給出梯形網(wǎng)絡(luò)第二個(gè)臂的無耗部分的歸一化導(dǎo)納；第三個(gè)商給出第三個(gè)梯形臂的無耗阻抗，等等；阻抗和導(dǎo)納函數(shù)交替出現(xiàn)。(再次使用對(duì)偶性質(zhì)。)

上述連分?jǐn)?shù)展開產(chǎn)生的商的數(shù)值部分通常稱為歸一化梯形網(wǎng)絡(luò)系數(shù)，我們將其表示為, ...。為了將這些 轉(zhuǎn)換為電路常數(shù)的歸一化衰減量和耦合系數(shù)形式，使用(13)中的簡單關(guān)系。

6.3 確定網(wǎng)絡(luò)另一端的短路(開路)輸入阻抗

在上述過程中，實(shí)際上已經(jīng)通過短路或開路梯形來移除了遠(yuǎn)端加載電阻；因此，有必要使用額外的步驟來確定所需的加載。推薦的做法如下：為了獲得相量反射系數(shù)(11)的分子，從(10B)的分子根中選擇了個(gè)根，它們成對(duì)共軛。現(xiàn)在，如果使用關(guān)于 軸的另外 個(gè)鏡像根來形成(11)的分子，那么在觀察網(wǎng)絡(luò)另一端時(shí)，將得到所需的相量反射系數(shù)，歸一化到必須在這另一端使用的加載電阻。

表 5兩端阻性負(fù)載的階零功耗高斯濾波器設(shè)計(jì)數(shù)據(jù)，無耗元件梯形網(wǎng)絡(luò)

兩組根產(chǎn)生的數(shù)值系數(shù)相同，但是，對(duì)于鏡像根，(11)分子中的第2、4、6、...項(xiàng)的符號(hào)將與原始根集合獲得的符號(hào)相反。

因此，當(dāng)形成該網(wǎng)絡(luò)另一端的短路(開路)輸入阻抗(導(dǎo)納)函數(shù)時(shí)，它將完全以(12)的形式呈現(xiàn)，但分母項(xiàng)將由指示的 U 和 之差而不是和組成。

將這個(gè)新函數(shù)以連分?jǐn)?shù)形式展開，將給出歸一化到網(wǎng)絡(luò)遠(yuǎn)端的終止電阻的梯形網(wǎng)絡(luò)臂阻抗。連分?jǐn)?shù)展開的商的數(shù)值部分給出了一組新的梯形網(wǎng)絡(luò)系數(shù)，并從以下公式中獲得元件衰減量和耦合系數(shù)：

需要的最后一個(gè)臂的加載衰減量 是所需的信息，作為數(shù)值工作的檢查，(14)中的相應(yīng)歸一化 應(yīng)該與(13)中的相同。應(yīng)該記住， 是每個(gè)網(wǎng)絡(luò)元件的歸一化均勻未加載衰減量；也就是說，對(duì)于低通無耗阻抗， 和，對(duì)于要使用的帶通諧振器，。

6.4 雙端接載最大功率傳輸梯形網(wǎng)絡(luò)的數(shù)值設(shè)計(jì)數(shù)據(jù)

6.4.1 無耗元件設(shè)計(jì)數(shù)據(jù)

當(dāng)完成(10B)、(11)、(12)、(13)和(14)所概述的數(shù)值工作后，我們可以得到表5中的設(shè)計(jì)數(shù)據(jù)，該數(shù)據(jù)用于產(chǎn)生高斯幅值逼近的無耗元件梯形網(wǎng)絡(luò)，直至第9階。

與本文中呈現(xiàn)的所有設(shè)計(jì)數(shù)據(jù)一樣，這些是3dB帶寬歸一化值。對(duì)于帶通情況，實(shí)際所需的是通過將 值乘以所需的 的倒數(shù)來獲得的，實(shí)際所需的 是通過將 值乘以所需的 來獲得的。對(duì)于低通情況，歸一化帶寬變量是。

這些設(shè)計(jì)都具有零中頻功率損失；在通帶的中頻，所有來自等效電阻和源的可用功率都傳遞到電阻負(fù)載。根據(jù)這個(gè)事實(shí)，帶通和低通傳輸阻抗或增益可以簡單地計(jì)算出來。

在實(shí)踐中，表5中的無耗元件設(shè)計(jì)數(shù)據(jù)主要適用于低通和大百分比帶通濾波器，因?yàn)檫@些情況下對(duì)無限歸一化空載 的假設(shè)基本上是滿足的。(請(qǐng)記住，低通梯形網(wǎng)絡(luò)中電感器的歸一化空載 是)。

表 6均勻耗散梯形網(wǎng)絡(luò)電阻式兩端加載的5階最小功率損失高斯濾波器設(shè)計(jì)數(shù)據(jù)*

為節(jié)省空間，這些設(shè)計(jì)信息針對(duì)特定值的歸一化空載進(jìn)行呈現(xiàn)。要獲取任何歸一化空載的設(shè)計(jì)數(shù)據(jù)，讀者應(yīng)根據(jù)這些數(shù)據(jù)繪制和每個(gè)與的圖表。

表 7均勻耗散梯形網(wǎng)絡(luò)電阻式兩端加載的8階最小功率損失高斯濾波器設(shè)計(jì)數(shù)據(jù)*

為節(jié)省空間，此設(shè)計(jì)信息僅針對(duì)特定的歸一化無載Q值提供。要獲取任何歸一化無載Q值的設(shè)計(jì)數(shù)據(jù)，讀者應(yīng)根據(jù)這些數(shù)據(jù)繪制一張和每個(gè)與之間的圖表。

6.4.2 均勻損耗元件設(shè)計(jì)數(shù)據(jù) 和

在小百分比帶通電路中，歸一化無載諧振器 是一個(gè)重要的參數(shù)，其定義為。在實(shí)際應(yīng)用中，這個(gè) 很少大于10，甚至在某些情況下可能低至2或3。這意味著在這種情況下，我們不能假設(shè)電路元件具有無限無載值。

為了解決這個(gè)問題，我們可以對(duì)表1中的高斯逼近根位置進(jìn)行預(yù)失真處理，即將其除以。然后，按照第6節(jié)中的綜合過程進(jìn)行設(shè)計(jì)。這樣，我們可以得到表6中的5階有損高斯梯形設(shè)計(jì)數(shù)據(jù)和表7中的8階有損高斯梯形網(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì)數(shù)據(jù)。這些高斯梯形電路在源阻抗和電阻負(fù)載之間工作，能夠在給定無載元件的情況下，實(shí)現(xiàn)最小的中頻功率損耗。

在這些表格中，最后一列給出的增益信息類型與表3和4中詳細(xì)描述的相同。簡而言之，這些增益信息可以幫助我們了解在不同設(shè)計(jì)條件下，電路的性能如何受到影響。通過對(duì)這些數(shù)據(jù)的分析，我們可以優(yōu)化電路設(shè)計(jì)，從而在實(shí)際應(yīng)用中實(shí)現(xiàn)更好的性能。

7. 設(shè)計(jì)實(shí)例

7.1 低通濾波器實(shí)例

7.1.1 要求：一個(gè)5階低通高斯濾波器，3dB帶寬為1.32MHz。

7.1.2 使用在3dB截止頻率處測量的無載Q值為100的電感在經(jīng)濟(jì)和結(jié)構(gòu)上是可行的；當(dāng)然，這就是低通歸一化無載元件Q，即。從表3或表6的第一列(讀者可以根據(jù)這些表格準(zhǔn)備的圖表的橫坐標(biāo))可以看出，Q值為100將導(dǎo)致一組所需的k值和末端q值與無限無載Q集合可以忽略不計(jì)的差異。[準(zhǔn)確的所需值可以從準(zhǔn)備好的圖(圖5)中讀取，但對(duì)于這個(gè)例子，我們將使用無限無載Q集合。]

圖5-最低損耗(Minimum-transducer-loss)3dB截止歸一化和，需要產(chǎn)生高斯逼近幅度形狀。 和。

7.1.3 單端加載的濾波器在正確調(diào)整單個(gè)負(fù)載電阻和k值方面對(duì)其正常運(yùn)行的依賴程度要高于雙端加載的網(wǎng)絡(luò)。因此，決定使用雙端加載設(shè)計(jì)；將使用表6。

7.1.4 為了吸收與等效源相關(guān)的分布電容，將使用其第一個(gè)元件為對(duì)地電容的低通梯形。

譯注：簡單來說，我們使用這種具有并聯(lián)電容作為第一個(gè)元件的低通梯形電路來優(yōu)化電路設(shè)計(jì)，使其能夠在降低與源等效相關(guān)的并聯(lián)電容影響的同時(shí)，保持濾波器的性能。

7.1.5 值得注意的是，如果源等效和負(fù)載電阻是由諸如電子管或晶體管之類的有源元件產(chǎn)生的，那么在整個(gè)源信號(hào)周期內(nèi)確保它們的動(dòng)態(tài)阻抗保持真正恒定的值非常重要。在不使用顯著負(fù)反饋的情況下，這很難實(shí)現(xiàn)，通常情況下，在信號(hào)周期的低電流部分，動(dòng)態(tài)阻抗明顯高于高電流部分。最安全的做法是將潛在的非線性源和負(fù)載與網(wǎng)絡(luò)的末端隔離，并使用真正的電阻來提供源和負(fù)載電阻。

簡而言之，如果我們使用像電子管或晶體管這樣的有源組件產(chǎn)生等效源和負(fù)載電阻，那么就需要確保在整個(gè)驅(qū)動(dòng)信號(hào)周期內(nèi)，這些組件的動(dòng)態(tài)阻抗保持恒定。如果不采取適當(dāng)?shù)拇胧缭谟性丛車鷳?yīng)用負(fù)反饋，這將難以實(shí)現(xiàn)。在信號(hào)周期的低電流部分，動(dòng)態(tài)阻抗通常會(huì)比高電流部分更高，從而影響電路性能。

為了避免這種問題，最好的做法是將具有非線性特性的發(fā)生器和負(fù)載與網(wǎng)絡(luò)隔離，并使用真正的電阻器件來提供發(fā)生器和負(fù)載電阻。這樣可以確保電路在整個(gè)信號(hào)周期內(nèi)保持穩(wěn)定的性能，從而提高整體系統(tǒng)的效率和準(zhǔn)確性。

7.1.6 在要插入濾波器的系統(tǒng)中，信號(hào)幅度和增益考慮要求整體低通濾波器的傳輸阻抗至少為75Ω。從表6的低通傳輸阻抗列可知，這要求(上的結(jié)果負(fù)載電阻)為150Ω。

7.1.7 現(xiàn)在通過從開始，逐個(gè)元件向右進(jìn)行低通設(shè)計(jì)。

(A) 對(duì)于第一個(gè)元件為對(duì)地電容的低通梯形網(wǎng)絡(luò)，

Therefore,

Therefore,

is of course the 3 -decibel-down radian frequency of the combination by itself ; thus the 3-decibel-down frequency of this combination must equal 10.1 megacycles. 當(dāng)然是組合本身的3dB截止弧度頻率；因此，這個(gè)組合的3dB截止頻率必須等于10.1MHz。

在完成的濾波器中，檢驗(yàn)和是否正確的一個(gè)好方法是實(shí)驗(yàn)測量這個(gè)組合的3dB截止頻率。

圖6 - 低通高斯逼近濾波器的實(shí)際尺寸示意圖，該濾波器是根據(jù)第7.1節(jié)的低通設(shè)計(jì)示例綜合的。

(B) 對(duì)于這個(gè)低通梯形網(wǎng)絡(luò)，

因此,

得到,

當(dāng)然是組合本身的諧振頻率；因此，必須與已知的在5.85MHz處諧振。

在完成的濾波器中，確定正確的最佳方法是實(shí)驗(yàn)測量和的諧振頻率。

(C) 要獲得第三個(gè)低通元件值，

因此，必須與在2.64MHz處諧振；

(D) 和 (E) 依次應(yīng)用和列得到所需的相鄰臂諧振頻率和元件值，即MHz；uH，MHz；pF。

(F) 最后，列給出了組合本身所需的3dB截止頻率

現(xiàn)在低通濾波器的設(shè)計(jì)已經(jīng)完成。圖6是一個(gè)實(shí)際濾波器的照片。

這種濾波器的實(shí)驗(yàn)觀測性能值得關(guān)注，圖7是一個(gè)復(fù)合圖像，顯示了類似于上述設(shè)計(jì)單元的濾波器的一些響應(yīng)特性，但其3dB帶寬為0.84MHz。

7.2 帶通濾波器設(shè)計(jì)示例

7.2.1 需求：一個(gè)用于載波中心雙邊帶系統(tǒng)的5階帶通高斯濾波器。所需中頻為70MHz，所需的3dB帶寬為2.75MHz。因此，所有與衰減量和耦合系數(shù)相關(guān)的參數(shù)需要被歸一化處理，歸一化的基準(zhǔn)是3dB帶寬與帶寬之比，其值為。

圖7A - 濾波器的3dB帶寬為0.840MHz，掃描速度為us/cm。驅(qū)動(dòng)為0.18us脈沖源。

圖7B - 與圖7A相同的脈沖輸出，但示波器增益增加了，使得一個(gè)垂直檔位為峰值脈沖輸出的；顯示的下沖和振鈴約為峰值輸出的60dB以下。

圖7C - 濾波器輸出作為脈沖輸入寬度(恒定輸入幅度)的函數(shù)。輸入脈沖寬度分別為和0.10us。掃描速度為us/cm。

7.2.2 在70MHz的頻率下，使用具有150至200區(qū)間的無載Q值的商用鐵氧體磁芯調(diào)諧線圈作為諧振器是實(shí)際和經(jīng)濟(jì)的。將要使用的鍍銀云母電容器具有約1000的Q值。因此，諧振器的無載Q值將在130至170的范圍內(nèi)。為了獲得實(shí)際的諧振器無載Q值，重要的是將實(shí)際的電感和電容放置在將在濾波器實(shí)體中使用的屏蔽隔室中，然后使用與屏蔽諧振器非常松散耦合的源和檢測器測量其無載3dB帶寬。如果測量的無載諧振器Q值為150，那么歸一化的無載Q值將為。因此，表3和6中的第二行給出的設(shè)計(jì)數(shù)據(jù)可以直接使用。如前所述，可以通過繪制表格的適當(dāng)區(qū)域來獲得任何可用諧振器無載Q值的k值和末端元素q值。

7.2.3 濾波器將在五極管(pentode tube)之間工作，因此可以使用僅在一端加載的設(shè)計(jì)；然而，由于使用雙端加載設(shè)計(jì)時(shí)，響應(yīng)形狀對(duì)元件值變化的敏感性較低，因此將采用后者來進(jìn)行設(shè)計(jì)。

7.2.4 在驅(qū)動(dòng)電子管的柵極和陰極之間放置一個(gè)75Ω的電阻，因?yàn)闁艠O對(duì)電子管的偏置電壓變化和老化所致的傳輸時(shí)間和空間電荷輸入阻抗變化較大。如果要在較小的公差范圍內(nèi)復(fù)現(xiàn)響應(yīng)形狀，那么最好不要在這個(gè)柵極到陰極阻抗中使用濾波器諧振器。還決定在柵極和陰極之間使用一個(gè)電感器來抵消該端口的輸入電容(約13pF)。由于它的帶寬非常寬，所以在濾波器的整個(gè)帶寬范圍內(nèi)，它可以被認(rèn)為是一個(gè)純75Ω的電阻終端，用于連接濾波器本身到柵極的75Ω電纜。由于它有適當(dāng)?shù)慕K端匹配，所以這個(gè)電纜的長度并不關(guān)鍵。

7.2.5 對(duì)于多諧振電路濾波器，實(shí)用的校準(zhǔn)方法與正確的設(shè)計(jì)同樣重要——文獻(xiàn)中提供了一種推薦的校準(zhǔn)方法。當(dāng)濾波器的低Q端連接到源時(shí)，此過程中使用的交替最大值和最小值更容易觀察。在表6中，諧振器1位于濾波器的低Q端；因此，出于校準(zhǔn)的原因，這一端將由源驅(qū)動(dòng)，75Ω負(fù)載將轉(zhuǎn)換為濾波器的高Q端(第五個(gè))諧振器(轉(zhuǎn)換過程將在后面討論)。

7.2.6 系統(tǒng)要求管子和濾波器電路提供的柵-柵電壓增益至少為1。簡單地計(jì)算負(fù)載功率與可用源功率的方程，可得結(jié)果為

其中為等效源電阻，比值為功率增益(小于1)，以dB為單位給出在表5、6和7的功率損耗列。對(duì)于歸一化的無載Q值為5.88，表6顯示中頻功率損耗為3.3dB或。如果電子管驅(qū)動(dòng)具有12000uΩ的，(15)表明源阻抗必須為820Ω才能使得柵-柵增益為1。

7.2.7 出于兩個(gè)原因，決定將濾波器的第一個(gè)諧振器直接放置在驅(qū)動(dòng)管的陽極中。

(A) 820Ω的源電阻與管子和接線輸出電容(約4pF或570Ω的電抗)并聯(lián)。因此，當(dāng)諧振時(shí)，等效源將具有1.44的Q值，或歸一化Q值為0.056。從表6可知，諧振器1的歸一化加載Q值必須為0.1309；源歸一化Q值顯然不是與此值相比為零，因此不能認(rèn)為源是純阻性的，并試圖通過阻抗變換將其耦合到這個(gè)端諧振器。

(B) 即使它是一個(gè)純阻性源，可能也無法構(gòu)造出一個(gè)作為單獨(dú)實(shí)體的變壓器，該變壓器具有可忽略的頻率響應(yīng)；也就是說，與此端接諧振器所需的低加載Q值相比，歸一化Q值可忽略不計(jì)。

7.2.8 在小百分比帶寬濾波器中，內(nèi)部諧振器的電感(或電容)的中頻電抗可以獨(dú)立于響應(yīng)頻率要求或增益要求來選擇——可以根據(jù)獲得最大無載諧振器Q值和實(shí)用機(jī)械結(jié)構(gòu)的要求來選擇電抗值。

對(duì)于這些內(nèi)部諧振器，將使用85Ω的電抗，需要27pF的總節(jié)點(diǎn)電容。

對(duì)于小百分比帶寬濾波器的端部諧振器，有如下需要注意的地方：

(A)如果要將電阻性源或負(fù)載通過阻抗變換來正確設(shè)置第一個(gè)和/或最后一個(gè)諧振器，則這里的諧振器電抗也可以根據(jù)實(shí)用的機(jī)械結(jié)構(gòu)和高無載Q值來選擇。

由于要將歐姆電阻負(fù)載轉(zhuǎn)換為正確的第五諧振器，這個(gè)端部諧振器可以類似于內(nèi)部諧振器；一個(gè)需要27pF總諧振電容的電感器。

(B)然而，如果源或負(fù)載要直接連接到第一個(gè)或最后一個(gè)諧振器，則源電阻與諧振器電抗之間的比值必須恰好滿足表6中(或)列的要求；如果源電阻固定，則必須使用特定的諧振器電抗，反之亦然。

在本例中，源電阻已固定為820Ω，并且將直接放置在第一個(gè)諧振器上。注意到，其中是將源電阻單獨(dú)放置在諧振器上產(chǎn)生的歸一化衰減值，(16)可以簡單地導(dǎo)出，并給出諧振器電抗與源電阻之間所需的關(guān)系。

其中是表6中列的倒數(shù)，是列的倒數(shù)。

將值代入(16)可得，或pF。

7.2.9 現(xiàn)在每個(gè)節(jié)點(diǎn)的總電容已經(jīng)確定，需要決定要在相鄰節(jié)點(diǎn)之間使用的耦合機(jī)制。關(guān)于耦合機(jī)制選擇的堅(jiān)定規(guī)則很難制定-一般來說，由機(jī)械結(jié)構(gòu)支配的設(shè)計(jì)者的獨(dú)創(chuàng)性可以導(dǎo)致多種選擇。我們將在第一個(gè)節(jié)點(diǎn)和第二個(gè)節(jié)點(diǎn)之間使用電容耦合，在第二個(gè)節(jié)點(diǎn)和第三個(gè)節(jié)點(diǎn)之間使用電容耦合和輔助互感耦合的組合，在第三個(gè)節(jié)點(diǎn)和第四個(gè)節(jié)點(diǎn)之間使用電容耦合，在第四個(gè)節(jié)點(diǎn)和第五個(gè)節(jié)點(diǎn)之間使用互感耦合，以及通過高側(cè)電容阻抗轉(zhuǎn)換來正確地用75歐姆電阻負(fù)載加載第五個(gè)諧振器。

7.2.10 使用表6第二行的設(shè)計(jì)數(shù)據(jù)，現(xiàn)在可以設(shè)計(jì)濾波器網(wǎng)絡(luò)。

在下面的步驟中，計(jì)算將給出所需耦合系數(shù)所需的耦合電容或互感。然而，必須指出的是，由于用于濾波器網(wǎng)絡(luò)實(shí)物中的屏蔽封裝導(dǎo)致接地平面靠近，這會(huì)顯著影響電容器提供的直接電容值，甚至更強(qiáng)烈地影響電感器或一對(duì)電感器提供的自感或互感值。因此，特別是當(dāng)需要較小的值時(shí)，濾波器中實(shí)際所需的耦合電容器和/或電感器通常無法通過表(例如)測量組件直接獲得；文獻(xiàn)中詳細(xì)介紹了一種實(shí)驗(yàn)性設(shè)置每個(gè)耦合系數(shù)和每個(gè)端部的推薦方法。由于所述方法在濾波器組件將在最終實(shí)物中占據(jù)的確切位置下測量兩個(gè)明確定義的響應(yīng)峰之間的帶寬，因此實(shí)際上可以將每個(gè)系數(shù)設(shè)置為所需值的1%以內(nèi)。一旦獲得了正確的值，可以使用表或直接測量物理尺寸來復(fù)制這些正確的值。

(A) 所需的是

我們已經(jīng)通過在步驟7.2.8中使用(16)滿足了這個(gè)要求。

(B) 第一節(jié)點(diǎn)和第二節(jié)點(diǎn)之間所需的耦合系數(shù)是

因此，所需的高側(cè)耦合電容為

(C) 第二節(jié)點(diǎn)和第三節(jié)點(diǎn)之間所需的耦合系數(shù)是

在電感器盡可能靠近的機(jī)械布局下，測量得到的互感耦合系數(shù)為0.0344(此通過峰值帶寬方法測量)。因此，所需的電容耦合為

因此，所需的高側(cè)耦合電容為

(D) 第三節(jié)點(diǎn)和第四節(jié)點(diǎn)之間所需的耦合系數(shù)是

由于只使用高側(cè)電容耦合，

(E) 第四節(jié)點(diǎn)和第五節(jié)點(diǎn)之間所需的耦合系數(shù)是

由于這個(gè)系數(shù)是由互感耦合提供的，所以峰值帶寬測量是設(shè)置電感4和5之間物理間距以獲得此值的推薦方法。

因?yàn)檫@個(gè)特定的系數(shù)對(duì)整個(gè)濾波器的3dB帶寬度有重大影響，設(shè)計(jì)師可能希望使電感器編號(hào)5的位置略微可調(diào)，以便生產(chǎn)線上的調(diào)整可以用來精確設(shè)置濾波器的3dB帶寬。

(F) 最后，必須設(shè)置加載的端部諧振器。從表6中，

這個(gè)是由第五個(gè)諧振器的空載和75Ω負(fù)載的變換阻抗效應(yīng)所共同決定的。對(duì)這個(gè)關(guān)系進(jìn)行簡單處理，得到(17)式所需的變換阻抗：

將當(dāng)前值代入(17)得到所需的變換阻抗 5030Ω。這里所需的大阻抗變換可以通過在75Ω負(fù)載和第五個(gè)諧振器頂部之間連接一個(gè)高側(cè)電容器來簡單地實(shí)現(xiàn)，其電抗為

因此

使用這種簡單的變換方法，傳遞給負(fù)載的電壓相對(duì)于頻率略微不對(duì)稱，高頻響應(yīng)的下降速度不如低頻響應(yīng)——對(duì)于小百分比帶寬，通常可以忽略所產(chǎn)生的不對(duì)稱性。

圖-直接綜合的節(jié)點(diǎn)網(wǎng)絡(luò)。

圖-第7.2節(jié)描述的精確等效網(wǎng)絡(luò)使得在電路中加入一段同軸電纜成為可能。

圖8-70MHz中頻5階帶通高斯逼近濾波器的原理圖，該濾波器在第7.2節(jié)的帶通設(shè)計(jì)實(shí)例中綜合。電容以pF為單位，電阻以Ω為單位。未標(biāo)記的電阻表示空載諧振器的等效損耗。給出的元件值僅顯示兩位有效數(shù)字，而耦合系數(shù)公差通常要求2-5%的精度。這樣做是為了強(qiáng)調(diào)在沒有在濾波器中占據(jù)的確切物理位置的情況下，通常無法通過對(duì)組件的測量來精確調(diào)整這些耦合系數(shù)。相反，這些必須通過等效于峰值帶寬測量過程的方法來設(shè)置。類似地，必須發(fā)展類似于例如描述的充分校準(zhǔn)方法，并在本文的圖10中加以說明。

圖9-第7.2節(jié)帶通設(shè)計(jì)實(shí)例中綜合的70MHz帶通5階高斯逼近濾波器的實(shí)現(xiàn)。此濾波器的第一個(gè)諧振器包含在另一個(gè)單元中。

圖是所得濾波器的示意圖。

7.2.11 為了制造的目的，希望濾波器是一個(gè)獨(dú)立的無源實(shí)體。通過在濾波器負(fù)載端使用75Ω電纜連接器，可以將此端與設(shè)備的其余部分物理分離(參見第7.2.4節(jié))。然而，由于濾波器的第一個(gè)諧振器直接連接到驅(qū)動(dòng)管的陽極，顯然不可能將濾波器的這一端與設(shè)備的其余部分物理分離。如果希望將最后四個(gè)諧振器作為一個(gè)單獨(dú)的單元，通過電纜連接到包含第一個(gè)諧振器的單元，可以使用以下步驟。

圖10-當(dāng)將檢測器耦合到第一個(gè)諧振器并使用以下校準(zhǔn)方法時(shí)，在5階高斯逼近濾波器的第一個(gè)諧振器上出現(xiàn)的電壓幅度與頻率現(xiàn)象：(A) 第二個(gè)諧振器被短路，第一個(gè)諧振器在期望的中頻(70MHz)調(diào)諧為最大電壓。(B) 第三個(gè)諧振器被短路，第二個(gè)在期望的中頻調(diào)諧為最小電壓。(C) 第四個(gè)諧振器被短路，第三個(gè)調(diào)諧為最大中頻電壓。(D) 第五個(gè)諧振器被短路，第四個(gè)調(diào)諧為最小中頻電壓。(E) 最終負(fù)載被短路，第五個(gè)諧振器調(diào)諧為最大中頻電壓。(F) 最終負(fù)載被正確地轉(zhuǎn)換成第五個(gè)諧振器，然后重新調(diào)諧為最大中頻電壓。(G) 得到的5階高斯逼近傳輸形狀。

(A) 第一和第二節(jié)點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)到地電容的一部分與總的(2.57pF)結(jié)合形成一個(gè)容性。

(B) 將此容性轉(zhuǎn)換為容性T。

(C) 通過一段電纜實(shí)現(xiàn)此T的并聯(lián)臂，電纜的長度(當(dāng)然，與波長相比必須非常短)應(yīng)該足夠提供所需的并聯(lián)電容。

圖 顯示了包含這個(gè)“耦合系數(shù)電纜”的濾波器原理圖。

值得注意的是，820Ω源電阻上留有4pF的電容；這是驅(qū)動(dòng)電子管的輸出電容。因此，已經(jīng)從變換為T的電容包括3.4pF的并聯(lián)腿和2.6pF的高側(cè)腿。再次強(qiáng)調(diào)，在第7.2.10步中得到的電容值和圖8中僅給出的兩位有效數(shù)字僅供參考——耦合系數(shù)和端Q值應(yīng)通過其他地方詳細(xì)介紹的程序進(jìn)行實(shí)驗(yàn)調(diào)整和檢查，精度為正負(fù)2%。

圖9是一個(gè)實(shí)例的照片，其中高斯中頻濾波器的最后四個(gè)諧振器包含在一個(gè)鑄件中。左側(cè)進(jìn)入的電纜提供了圖要求的11pF電容，以滿足，右側(cè)的電纜通向75Ω電阻負(fù)載。

為了使濾波器能正常工作，每個(gè)節(jié)點(diǎn)必須精確地調(diào)諧到期望的中頻(70MHz)。圖10顯示了當(dāng)應(yīng)用推薦的調(diào)諧方法時(shí)，在第一個(gè)諧振器上觀察到的輸出電壓(通過松耦合的檢測器)；最后的照片顯示了正確校準(zhǔn)濾波器的傳輸幅度-沒有重新調(diào)整調(diào)諧控制便獲得了此傳輸圖像。

審核編輯：湯梓紅