1、高斯濾波簡(jiǎn)介

了解高斯濾波之前，我們首先熟悉一下高斯噪聲。高斯噪聲是指它的概率密度函數(shù)服從高斯分布（即正態(tài)分布）的一類(lèi)噪聲。如果一個(gè)噪聲，它的幅度分布服從高斯分布，而它的功率譜密度又是均勻分布的，則稱(chēng)它為高斯白噪聲。高斯白噪聲的二階矩不相關(guān)，一階矩為常數(shù)，是指先后信號(hào)在時(shí)間上的相關(guān)性，高斯白噪聲包括熱噪聲和散粒噪聲。

高斯濾波器是一類(lèi)根據(jù)高斯函數(shù)的形狀來(lái)選擇權(quán)值的線性平滑濾波器。高斯平滑濾波器對(duì)于抑制服從正態(tài)分布的噪聲非常有效。一維零均值高斯函數(shù)為：

g(x)=exp( -x^2/(2 sigma^2)

其中，高斯分布參數(shù)Sigma決定了高斯函數(shù)的寬度。對(duì)于圖像處理來(lái)說(shuō)，常用二維零均值離散高斯函數(shù)作平滑濾波器，高斯函數(shù)的圖形：

2、高斯濾波函數(shù)

對(duì)于圖像來(lái)說(shuō)，高斯濾波器是利用高斯核的一個(gè)2維的卷積算子，用于圖像模糊化（去除細(xì)節(jié)和噪聲）。

1) 高斯分布

一維高斯分布：

二維高斯分布：

2) 高斯核

理論上，高斯分布在所有定義域上都有非負(fù)值，這就需要一個(gè)無(wú)限大的卷積核。實(shí)際上，僅需要取均值周?chē)?倍標(biāo)準(zhǔn)差內(nèi)的值，以外部份直接去掉即可。如下圖為一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差為1.0的整數(shù)值高斯核。

3、高斯濾波性質(zhì)

高斯函數(shù)具有五個(gè)重要的性質(zhì)，這些性質(zhì)使得它在早期圖像處理中特別有用。這些性質(zhì)表明，高斯平滑濾波器無(wú)論在空間域還是在頻率域都是十分有效的低通濾波器，且在實(shí)際圖像處理中得到了工程人員的有效使用．高斯函數(shù)具有五個(gè)十分重要的性質(zhì)，它們是：

（1）二維高斯函數(shù)具有旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)性，即濾波器在各個(gè)方向上的平滑程度是相同的。一般來(lái)說(shuō)，一幅圖像的邊緣方向是事先不知道的，因此，在濾波前是無(wú)法確定一個(gè)方向上比另一方向上需要更多的平滑。旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)性意味著高斯平滑濾波器在后續(xù)邊緣檢測(cè)中不會(huì)偏向任一方向。

（2）高斯函數(shù)是單值函數(shù)。這表明，高斯濾波器用像素鄰域的加權(quán)均值來(lái)代替該點(diǎn)的像素值，而每一鄰域像素點(diǎn)權(quán)值是隨該點(diǎn)與中心點(diǎn)的距離單調(diào)增減的。這一性質(zhì)是很重要的，因?yàn)檫吘壥且环N圖像局部特征，如果平滑運(yùn)算對(duì)離算子中心很遠(yuǎn)的像素點(diǎn)仍然有很大作用，則平滑運(yùn)算會(huì)使圖像失真。

（3）高斯函數(shù)的傅立葉變換頻譜是單瓣的。正如下面所示，這一性質(zhì)是高斯函數(shù)付立葉變換等于高斯函數(shù)本身這一事實(shí)的直接推論。圖像常被不希望的高頻信號(hào)所污染(噪聲和細(xì)紋理)。而所希望的圖像特征（如邊緣），既含有低頻分量，又含有高頻分量。高斯函數(shù)付立葉變換的單瓣意味著平滑圖像不會(huì)被不需要的高頻信號(hào)所污染，同時(shí)保留了大部分所需信號(hào)。

（4）高斯濾波器寬度(決定著平滑程度)是由參數(shù)σ表征的，而且σ和平滑程度的關(guān)系是非常簡(jiǎn)單的。σ越大，高斯濾波器的頻帶就越寬，平滑程度就越好。通過(guò)調(diào)節(jié)平滑程度參數(shù)σ，可在圖像特征過(guò)分模糊(過(guò)平滑)與平滑圖像中由于噪聲和細(xì)紋理所引起的過(guò)多的不希望突變量(欠平滑)之間取得折衷。

（5）由于高斯函數(shù)的可分離性，較大尺寸的高斯濾波器可以得以有效地實(shí)現(xiàn)。二維高斯函數(shù)卷積可以分兩步來(lái)進(jìn)行，首先將圖像與一維高斯函數(shù)進(jìn)行卷積，然后將卷積結(jié)果與方向垂直的相同一維高斯函數(shù)卷積。因此，二維高斯濾波的計(jì)算量隨濾波模板寬度成線性增長(zhǎng)而不是成平方增長(zhǎng)。

4、高斯濾波應(yīng)用

高斯濾波后圖像被平滑的程度取決于標(biāo)準(zhǔn)差。它的輸出是領(lǐng)域像素的加權(quán)平均，同時(shí)離中心越近的像素權(quán)重越高。因此，相對(duì)于均值濾波（mean filter）它的平滑效果更柔和，而且邊緣保留的也更好。

高斯濾波被用作為平滑濾波器的本質(zhì)原因是因?yàn)樗且粋€(gè)低通濾波器，見(jiàn)下圖。而且，大部份基于卷積平滑濾波器都是低通濾波器。

圖：高斯濾波器（標(biāo)準(zhǔn)差=3像素）的頻率響應(yīng)。The spatial frequency axis is marked in cycles per pixel, and hence no value above 0.5 has a real meaning。

5、高斯濾波步驟

（1）移動(dòng)相關(guān)核的中心元素，使它位于輸入圖像待處理像素的正上方

（2）將輸入圖像的像素值作為權(quán)重，乘以相關(guān)核

（3）將上面各步得到的結(jié)果相加做為輸出

6、高斯濾波源碼(C語(yǔ)言版)（點(diǎn)擊閱讀原文前往查看源碼）

高斯濾波處理之后：

高斯濾波處理之前：